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专题 18.14 平行四边形中的折叠问题（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 18.14 平行四边形中的折叠问题（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 18.14 平行四边形中的折叠问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
2．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
3．如图，已知在△ABC中∠BAC ＞ 90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠C＝∠EFD B．∠B＝∠BFD C．BF∥DE D．△ABC的面积等于△BDF的面积
4．如图，将□沿对角线折叠，使点落在处，若，则=( )
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．6
6．如图，将△ABC沿AB边对折，使点C落在点D处，延长CA到E，使AE＝AD，连接CD交AB于F，连接ED，则下列结论中：
①若C△ABC＝12，DE＝5，则C四边形ABDE＝17；
②AB∥DE；
③∠CDE＝90°；
④S△ADE＝2S△ADF，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，为中点，连接AD，把沿着AD折叠得到，连接，若，则线段的长是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
13．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A＇处． 若∠1 = 50°，则∠BDA = ________．
15．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处且平分，若，则____________．
16．如图，平行四边形中，点在边上，以为折痕，将折叠，使点A正好与上的点重合，若的周长为16，的周长为28，则的长为______．
17．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．
19．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．
20．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）与所在直线的位置关系______；
（2）的大小为______°；
（3）当四边形是平行四边形时，的值为______．
21．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为．已知，那么的面积为_________．
22．如图，在平行四边形纸片中，，点分别在边上，将纸片沿折叠，使点分别落在点处，且经过点．当时，，则的长是_______．
23．在£ ABCD中，∠A60°，，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为___________.
24．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF．若∠A＝45°，AD＝，AB＝8，则AE的长为_____．
25．如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________．
①；②；③；④
26．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿折叠得到，点落在对角线上．若，，，则的周长为________．
27．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝9cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），沿着直线DE剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿过△BDE的顶点D的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__cm．
28．如图，中，，点E为的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F连接，并延长交于点P，连接，若，，则下列说法：①；②四边形是平行四边形；③；其中正确的是_______．
29．如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，的值是_____．
30．已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．
（1）当点落在上时，________；
（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
31．如图，已知中，，点M、N分别在线段、上，将沿直线折叠，使点A的对应点D恰好落在线段上．
（1）当四边形为平行四边形时，则平行四边形必为_________；
（2）当为直角三角形时，则折痕的长为_________．
32．如图，在平行四边形中，为边上点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为_________．
33．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为_____．
三、解答题
34．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，当四边形是平行四边形时，求的值．
35．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
2．D
【分析】
B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B’E＝BE＝2，DE−B’E即为所求．
【详解】
解：如图，B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．
过点D作DG⊥BA交BA延长线于G，
∴∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°，
∴
∴，
∵E是AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
∴GE=AE+AG=5
∴
由折叠的性质可知
∴DB’＝．
故选D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B’在何位置时，B’D的值最小，是解决问题的关键．
3．D
【分析】
根据折叠的性质直接可判断选项A，连接CF，再根据中点的性质和折叠的性质可得DF＝CD，继而即可判断选项B，根据中位线定理即可判断选项C，利用中点的性质判定选项D．
【详解】
解：连接CF，
∵将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，
∴∠C＝∠EFD，DF＝CD，EF＝CE故选项A说法正确，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，故选项B说法正确，
∵∠EAF＝∠B＋∠ACB,∠AFE＝∠DFE＋∠BFD，
∴∠EAF＝∠AFE,
∴AE＝EF，
∴AE＝CE，
又BD＝CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BF∥DE，故选项C说法正确，
由折叠的性质可得：△CDE≌△FDE，
∴S△CDE＝S△FDE，
∴AE＝CE，
∴S△ADE＝S△CDE，S△AEF＝S△CEF，
∴S△ABC＝S△ABD＋2S△ADE，S△BDF＝S△ABD＋S△ADF，故选项D说法错误，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质，三角形中位线定理，解题的关键是做辅助线构造三角形．
4．D
【分析】
由平行线的性质可得∠DAC＝∠B'AB＝40°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝20°，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B'AB＝40°，
同理，∠2＝∠DAC＝40°，
∵将□ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝120°，
故选：D．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5．C
【分析】
连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的长度，即可解决问题．
【详解】
解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，
∴∠EDM＝30°，
∵E是AD边上的中点，
∴DE＝AD＝BC＝3，AE＝A'E＝3，
∴Rt△DEM中，EM＝，DM＝，
∵CD＝6
∴CM＝，
∴Rt△CEM中，CE＝，
∵A'E+A'C≥CE，
∴A'C≥CE﹣A'E，
∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3﹣3，
故选：C．
【点拨】此题主要考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行四边形的性质．
6．D
【分析】
①由题知AE=AC，BD=BC，可得结论正确；
②由三角形外角知∠CAB+∠DAB=∠ADE+∠AED，又知∠CAB=∠DAB，∠ADE=∠AED，即可得∠CAB=∠DAB=∠ADE=∠AED，即可得证结论；
③由对称知CD⊥AB，由AB∥DE可得结论；
④由③知S△ADE=DF•DE，S△ADF=DF•AF，证AF是中位线可得AF=DE，即可得证结论．
【详解】
解：①由图形翻折可知，AD=AC，BD=BC，
∵AE=AD，
∴AE=AC，
∴C四边形ABDE=C△ABC+DE，
∵C△ABC=12，DE=5，
∴C四边形ABDE=17，故①正确；
②由图形翻折知，∠CAB=∠DAB，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
又∵∠CAB+∠DAB=∠ADE+∠AED，
∴∠CAB=∠DAB=∠ADE=∠AED，
∴AB∥DE，故②正确；
③由②知，AB∥DE，
由图形翻折知，CD⊥AB，
∴∠CFA=∠CDE=90°，故③正确；
④由③知，∠CFA=∠CDE=90°，
∴S△ADE=DF•DE，S△ADF=DF•AF，
∵AE=AC，AB∥DE，CF=DF，
∴AF是△DEF的中位线，
∴AF=DE，
∴S△ADE=2S△ADF，故④正确，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了图形的翻折，三角形的面积，平行线的判定和性质等知识点，熟练应用同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等是解题的关键．
7．C
【分析】
由题意∠1=2∠2，设∠2=x，易证∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：由翻折的性质可知：，
∵，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．D
【分析】
连接BE交AD于点F，由折叠的性质得出BD=DE，AD⊥BE，求出BE的长，可求出AF，DF的长，则可得出答案．
【详解】
解：连接BE交AD于点F，
∵把△ABD沿着AD折叠得到△AED，
∴BD=DE，AD⊥BE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴BD=CD=DE，
∴△BEC为直角三角形，∠BEC=90°，
∵CE=6，BC=10，
∴BE==8，
∵∠BEC=∠BFD=90°，
∴DF∥CE，
∴BF=EF=4，DF=CE=3，
∵AB=4，
∴AF==4，
∴AD=AF+DF=7，
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．C
【分析】
由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，再由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】
解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝60°，
∴△GEF是等边三角形，
∴EF＝FG＝GE＝6，
∴△GEF的周长为6×3＝18，
故选：C．
【点拨】考查平行四边形的性质、折叠的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键．
10．D
【分析】
根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为．
【详解】
由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴
∴是等边三角形，
∴的周长为，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定，解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11．B
【分析】
利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】
解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B
【点拨】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．D
【分析】
依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=8，AD=8，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长．
【详解】
解：由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，
∴∠BAC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴BC=2AB=8，
∴AD=8，
由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为8×3=24，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
13．B
【分析】
由折叠的性质可得AD⊥CC'，CN=C'N，由勾股定理可求AD，DN的长，即可求BC'的长．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，
∴AD⊥CC'，CN=C'N，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD=BC=
AD=
∵S△ACD=×AC×CD=×AD×CN
∴CN=
∴DN=，
∵CN=C'N，CD=DB，
∴C'B=2DN=，
故选：B．
【点拨】本题考查翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理可求DN的长是本题的关键．
14．25º
【分析】
由平行四边形的性质和折叠的性质可得AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，即可求解．
【详解】
∵将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，
∴AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，
∴∠1＝∠ADG＝50°，且∠ADG＝∠BDA+∠BDG，
∴∠BDA＝25°，
故答案为：25°．
【点拨】本题考查了翻折变换，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．
15．38°
【分析】
根据平行四边形的性质求出∠ADC和∠C，再根据折叠与角平分线的定义求出∠EDC，根据三角形的内角和即可求解．
【详解】
∵四边形是平行四边形
∴∠ADC=180°-，∠C=，
∵折叠且平分，
∴∠ADB=∠A’DB=∠EDC，
∴∠EDC=∠ADC=19°
∴180°-∠C-∠EDC=38°
故答案为：38°．
【点拨】此题主要考查平行四边形内的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
16．6
【分析】
根据翻折前后两图形全等以及平行四边形对边相等的性质，进行等量代换解题．
【详解】
∵是由翻折，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为6．
【点拨】本题考查了翻折变换(翻折、对称、折叠前后两图形全等)，平行四边形的性质(对边相等)，解题的关键是用翻折前后两图形全等的性质．
17．114
【分析】
由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行四边形的性质求出∠D即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°，
∴∠D＝∠B＝114°.
故答案为：114.
【点拨】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到∠BAC＝∠B′AC，从而得到∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC是解题的关键.
18．40°
【分析】
由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再由三角形的外角性质得∠AEC=∠D+∠DAE=70°，则∠AED=110°，然后由折叠的性质得∠AED=∠AED′=110°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
19．
【分析】
过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．
【详解】
解：过E作EH⊥AD于H，
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴AE＝EB＝2，
∵∠A＝45°，EH⊥AH，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，
∴AH＝，
∵点A′在∠BAD外部，
则由题意知△FQE为等腰三角形，
∴∠FEB＝∠FQE，
设∠AFE＝a，
∵△EFA'为△EFA根据EF对折，
∴∠AFE＝∠A'FE＝a，
∴∠BEF＝，
又∵∠BEF为△AEF的外角，
∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，
∴＝45°+a，
∴a＝30°，
在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝，
∴EF＝，
∴，
又∵BC＝AD＝2，
∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20． 30°
【分析】
（1）根据折叠性质和平角定义证得，再根据平行线的判定可得与所在直线的位置关系；
（2）根据折叠性质和平角定义证得，再根据平行线的性质证得，进而由求解即可；
（3）根据折叠性质和平行四边形的性质证得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得， ，，进而求解即可．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
故答案是：AD∥BC；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，
由（1）结论知，
∴，
∴，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠性质、平行线的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平角定义，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系是解答的关键．
21．
【分析】
过点E作EH⊥BC，垂足为H，依据平行四边形的性质和折叠的性质证明△EBC≌△FGC，得到的面积等于的面积，求出EH，即可计算结果．
【详解】
解：过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，∠D=∠B，AD=BC，
由折叠可得，∠A=∠ECG，∠B=∠G，AD=CG，
∴∠BCD=∠ECG，BC=CG，
∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF，
∴∠ECB=∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA），
∴的面积等于的面积，
∵∠B=60°，
∴∠BEH=30°，
∴BH=BE=1，
∴EH==，又BC=4，
∴S△FCG=S△BCE==，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用相关性质证明三角形全等．
22．
【分析】
首先延长DC与A′D′的延长线交于点H，由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易求得△BCH是等腰三角形，△D′FH是含30°角的直角三角形，然后设DE=x，利用勾股定理求出x，即可求得答案．
【详解】
解：延长DC，交A′D′的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠D=120°，∠DCB=∠A=60°，
由翻转变换的性质可知，∠ED′B=120°，
∴∠ED′H=60°，又D′E⊥CD，
∴∠H=30°，
∴∠CBH=30°，
∴CB=CH，
设DE=x，则DC=x+1，D′E=x，
∵AD-AB=1，
∴BC=x+1+1=x+2，
∴CH=x+2，
∴EH=x+3，
∵∠H=30°，
∴D′H=2D′E=2x，
∴EH==x，
∴x=x+3，
解得：x=，
∴AB=DC=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
23．4或12
【分析】
根据题意得折叠之后可能落在线段AB上，也有可能落在线段AB外，根据∠A60°，，及折叠的性质可得到是等边三角形及的长，进而求得AD的长．
【详解】
如图，∵=2，当点在线段上时，，
∵点是的中点，，由折叠的性质得，，
，是等边三角形，，；
如解图，当点在的延长线上时，，同理可知是等边三角形，，．
故答案为4或12．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质及等边三角形，关键是根据题意得到点落在线段上还是线段外，这是易错点，另外还需注意利用等边三角形的性质求解．
24．
【分析】
作CM⊥AB于M，由平行四边形的性质得出BC=AD=，BC∥AD，得出∠CBM=∠A=45°，利用勾股定理求出BM、CM，设AE=CE=，则BE=，EM=，根据勾股定理得出方程，解方程即可求出AE的长．
【详解】
作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠M=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=，BC∥AD，
∴∠CBM=∠A=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：，即，
∴BM=CM=4，
由折叠的性质得：AE=CE，
设AE=CE=，则BE=，EM=BE+BM=，
∵，即，
解得：．
即AE．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．②④
【分析】
根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解．
【详解】
解：∵将平行四边形纸片折叠，使点与点重合
∴根据翻折的性质可知，
∴，，
∴在和中，
∴，
∴
∴（故②正确）
∴（故③错误）
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵，
∴
∴（故④正确）
∵折痕与对角线没有重合，
∴对角线和不垂直
∴不是菱形
∴
∴
∴（故①错误）．
故答案是：②④
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
26．6.
【分析】
先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE，从而可求出的周长.
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴BC=AD=5,
∵，
∴AC= ==4
∵沿折叠得到，
∴AF=AB=3，EF=BE，
∴的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF
=BC+AC-AF
=5+4-3=6
故答案为6.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键.
27．24．
【分析】
由直角三角形的性质和折叠的性质可得，沿的角平分线所在直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形是平行四边形，由直角三角形的性质可求的长，即可求平行四边形的周长．
【详解】
解：，，，将该纸片沿过点的直线折叠，
，
如图2，过点作平分交于点，此时沿所在直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形是平行四边形，
，
，
平行四边形的周长
故答案为
【点拨】本题考查翻折变换、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，求的长是本题的关键．
28．①②③.
【分析】
根据折叠的性质和HL可判断①；
由①可进一步推得DF＝FG，设DF＝x，在Rt△BCF中利用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可判断③；
根据题意和折叠的性质可得∠AEB＝∠GEB，AE＝DE＝EG，进一步利用三角形的外角性质可得∠AEB＝∠EDG，得出BE∥DP，即可判断②．
【详解】
解：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，
∴ED＝EG，
在矩形ABCD中，∵∠A＝∠EDC＝90°
∴∠EGF＝90°，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），故①正确；
∴DF＝FG，
设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x，
在Rt△BCF中，（）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，解得x＝4，
∴GF：GB＝4：6＝2：3，故③正确；
∵将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，E是AD的中点，
∴∠AEB＝∠GEB，AE＝DE＝EG，
∴∠EGD＝∠EDG，
又∵∠EGD+∠EDG＝∠AEB+∠GEB，
∴∠AEB＝∠EDG，
∴BE∥DP，
∵ED∥BP，
∴四边形BEDP是平行四边形，故②正确.
故答案为①②③.
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理和折叠的性质，本题的突破点是设DF＝x，在Rt△BCF中根据勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．
【分析】
由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=PB，即可求解．
【详解】
解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP=180°，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB=180°，
∵∠DQR+∠CQR=180°，
∴∠DQA+∠CQP=90°，
∴∠AQP=90°，
∴∠B=∠AQP=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，
由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD=PC，
∴AR=PR，
又∵∠AQP=90°，
∴QR=AP，
∵∠PAB=30°，∠B=90°，
∴AP=2PB，AB=PB，
∴PB=QR，
∴=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
30．4 -3≤≤7
【分析】
（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；
（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=-3，进而即可得到答案．
【详解】
（1）解：∵把沿折叠到，
∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形中，点落在上，
∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，
∴∠A′EB=∠A′BE，
∴A′E=A′B，
又∵AE= A′E，AB= A′B，
∴AE= AB=6，
又∵，
∴AD=10，
∴DE=10-6=4，
故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
∵，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE=AB=3，
∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠NDC=60°，
又∵CD=AB=6，
∴DN=CD=3，CN=，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCA′，
∵把沿折叠到，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，
∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠BA′C=∠ADC，
∴，
∴CE=BC=10，
∴EN=，
∴ED=-3，
∴的范围是：-3≤≤7．
故答案是：-3≤≤7．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
31．菱形 或．
【分析】
（1）根据折叠可知AM=MD，然后结合四边形为平行四边形即可判断；
（2）依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
【详解】
（1）解：由折叠易有：AM=MD，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=，
∴∠C=30°，AB=AC=+2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=+2，
∴AN=2，BN=，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，特殊直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
32．66°
【分析】
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=42°，又由折叠的性质得：∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°，再由三角形的外角性质得∠AEF=∠D+∠DAE =57°，然后由三角形内角和定理可得∠AED'=108°，最后由角的和差即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=42°，
又∵∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°(折叠的性质)
∴∠AEF=∠D+∠DAE=42°+15°=57°，
∴∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'=123°，
∴∠FED'=123°-57°=66°．
故答案为66°．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
33．2或6．
【分析】
分两种情况讨论，由折叠的性质，矩形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：如图1，当点A'落在CD上，
∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝A'P，AD＝A'D，∠DAP＝∠DA'P＝90°，
∴∠PA'C＝90°，且∠B＝∠C＝90°，
∴四边形PBCA'是矩形，
∴BC＝A'P＝AP＝6，
∴当AP＝6时，四边形PBCA'是矩形，
如图2，当点P，点A'，点C共线，
∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝A'P，AD＝A'D＝6，∠DAP＝∠DA'P＝90°，
∴A'C＝＝＝8，
∴PC＝8+A'P＝8+AP，
∵PC2＝PB2+BC2，
∴（8+AP）2＝（10﹣AP）2+36，
∴AP＝2，
故答案为2或6．
【点拨】此题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论解决是本题的关键．
34．（1）30°；（2）
【分析】
（1）由折叠的性质可得、、，从而得到、、，所以，即可求解；
（2）由（1）得为直角三角形，根据折叠的性质可以推出为的中点，，从而得到的值．
【详解】
解：（1）由折叠可知：、
又∵
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
即，
∴，则，
由折叠可知，，
∴．
（2）若四边形为平行四边形，则，
∴，
由折叠可知：，
∴，∴，
同理可得：，即为的中点，
由（1）可知，，，且，
设，则，∴，
∴，∴．
【点拨】此题考查了折叠的有关性质，涉及了直角三角形的有关性质，熟练掌握折叠和直角三角形的有关性质是解题的关键．
35．（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；（4）或或
【分析】
（1）在直线中，分别令x=0，y=0，可得A，B坐标；
（2）由翻折不变性可知，，，，在中，，利用，即可求解；
（3）证明，则，，即可求解；
（4）分是边、是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）对于直线，令，得到，
，
令，得到，
．
．；
（2）由（1）可得：．，
，，
，
，
由翻折不变性可知，，，，
，设，
在中，，
，
，
解得，
；
（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、，
过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
为等腰直角三角形，故，
，，
，
，，
，
，，
即，，
解得：，，
故点的坐标为、点；
由于、的位置可能互换，故点的坐标为、点；
综上，点的坐标为或；
（4）点是的中点，则点，而点，
设点，点，
①当是边时，
点向右平移1个单位向下平移3个单位得到点，同样点右平移1个单位向下平移3个单位得到点，
故且或且，
解得：或，
故点的坐标为或；
②当是对角线时，
由中点公式得：且，
解得：，故点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．
专题 18.14 平行四边形中的折叠问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
2．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
3．如图，已知在△ABC中∠BAC ＞ 90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠C＝∠EFD B．∠B＝∠BFD C．BF∥DE D．△ABC的面积等于△BDF的面积
4．如图，将□沿对角线折叠，使点落在处，若，则=( )
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3﹣3 D．6
6．如图，将△ABC沿AB边对折，使点C落在点D处，延长CA到E，使AE＝AD，连接CD交AB于F，连接ED，则下列结论中：
①若C△ABC＝12，DE＝5，则C四边形ABDE＝17；
②AB∥DE；
③∠CDE＝90°；
④S△ADE＝2S△ADF，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，为中点，连接AD，把沿着AD折叠得到，连接，若，则线段的长是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
13．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A＇处． 若∠1 = 50°，则∠BDA = ________．
15．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处且平分，若，则____________．
16．如图，平行四边形中，点在边上，以为折痕，将折叠，使点A正好与上的点重合，若的周长为16，的周长为28，则的长为______．
17．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．
19．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．
20．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）与所在直线的位置关系______；
（2）的大小为______°；
（3）当四边形是平行四边形时，的值为______．
21．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为．已知，那么的面积为_________．
22．如图，在平行四边形纸片中，，点分别在边上，将纸片沿折叠，使点分别落在点处，且经过点．当时，，则的长是_______．
23．在£ ABCD中，∠A60°，，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为___________.
24．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF．若∠A＝45°，AD＝，AB＝8，则AE的长为_____．
25．如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________．
①；②；③；④
26．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿折叠得到，点落在对角线上．若，，，则的周长为________．
27．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝9cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），沿着直线DE剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿过△BDE的顶点D的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__cm．
28．如图，中，，点E为的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F连接，并延长交于点P，连接，若，，则下列说法：①；②四边形是平行四边形；③；其中正确的是_______．
29．如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，的值是_____．
30．已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．
（1）当点落在上时，________；
（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
31．如图，已知中，，点M、N分别在线段、上，将沿直线折叠，使点A的对应点D恰好落在线段上．
（1）当四边形为平行四边形时，则平行四边形必为_________；
（2）当为直角三角形时，则折痕的长为_________．
32．如图，在平行四边形中，为边上点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为_________．
33．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为_____．
三、解答题
34．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，当四边形是平行四边形时，求的值．
35．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
2．D
【分析】
B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B’E＝BE＝2，DE−B’E即为所求．
【详解】
解：如图，B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．
过点D作DG⊥BA交BA延长线于G，
∴∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°，
∴
∴，
∵E是AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
∴GE=AE+AG=5
∴
由折叠的性质可知
∴DB’＝．
故选D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B’在何位置时，B’D的值最小，是解决问题的关键．
3．D
【分析】
根据折叠的性质直接可判断选项A，连接CF，再根据中点的性质和折叠的性质可得DF＝CD，继而即可判断选项B，根据中位线定理即可判断选项C，利用中点的性质判定选项D．
【详解】
解：连接CF，
∵将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，
∴∠C＝∠EFD，DF＝CD，EF＝CE故选项A说法正确，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，故选项B说法正确，
∵∠EAF＝∠B＋∠ACB,∠AFE＝∠DFE＋∠BFD，
∴∠EAF＝∠AFE,
∴AE＝EF，
∴AE＝CE，
又BD＝CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BF∥DE，故选项C说法正确，
由折叠的性质可得：△CDE≌△FDE，
∴S△CDE＝S△FDE，
∴AE＝CE，
∴S△ADE＝S△CDE，S△AEF＝S△CEF，
∴S△ABC＝S△ABD＋2S△ADE，S△BDF＝S△ABD＋S△ADF，故选项D说法错误，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质，三角形中位线定理，解题的关键是做辅助线构造三角形．
4．D
【分析】
由平行线的性质可得∠DAC＝∠B'AB＝40°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝20°，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B'AB＝40°，
同理，∠2＝∠DAC＝40°，
∵将□ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝120°，
故选：D．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5．C
【分析】
连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的长度，即可解决问题．
【详解】
解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，
∴∠EDM＝30°，
∵E是AD边上的中点，
∴DE＝AD＝BC＝3，AE＝A'E＝3，
∴Rt△DEM中，EM＝，DM＝，
∵CD＝6
∴CM＝，
∴Rt△CEM中，CE＝，
∵A'E+A'C≥CE，
∴A'C≥CE﹣A'E，
∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3﹣3，
故选：C．
【点拨】此题主要考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行四边形的性质．
6．D
【分析】
①由题知AE=AC，BD=BC，可得结论正确；
②由三角形外角知∠CAB+∠DAB=∠ADE+∠AED，又知∠CAB=∠DAB，∠ADE=∠AED，即可得∠CAB=∠DAB=∠ADE=∠AED，即可得证结论；
③由对称知CD⊥AB，由AB∥DE可得结论；
④由③知S△ADE=DF•DE，S△ADF=DF•AF，证AF是中位线可得AF=DE，即可得证结论．
【详解】
解：①由图形翻折可知，AD=AC，BD=BC，
∵AE=AD，
∴AE=AC，
∴C四边形ABDE=C△ABC+DE，
∵C△ABC=12，DE=5，
∴C四边形ABDE=17，故①正确；
②由图形翻折知，∠CAB=∠DAB，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
又∵∠CAB+∠DAB=∠ADE+∠AED，
∴∠CAB=∠DAB=∠ADE=∠AED，
∴AB∥DE，故②正确；
③由②知，AB∥DE，
由图形翻折知，CD⊥AB，
∴∠CFA=∠CDE=90°，故③正确；
④由③知，∠CFA=∠CDE=90°，
∴S△ADE=DF•DE，S△ADF=DF•AF，
∵AE=AC，AB∥DE，CF=DF，
∴AF是△DEF的中位线，
∴AF=DE，
∴S△ADE=2S△ADF，故④正确，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了图形的翻折，三角形的面积，平行线的判定和性质等知识点，熟练应用同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等是解题的关键．
7．C
【分析】
由题意∠1=2∠2，设∠2=x，易证∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：由翻折的性质可知：，
∵，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．D
【分析】
连接BE交AD于点F，由折叠的性质得出BD=DE，AD⊥BE，求出BE的长，可求出AF，DF的长，则可得出答案．
【详解】
解：连接BE交AD于点F，
∵把△ABD沿着AD折叠得到△AED，
∴BD=DE，AD⊥BE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴BD=CD=DE，
∴△BEC为直角三角形，∠BEC=90°，
∵CE=6，BC=10，
∴BE==8，
∵∠BEC=∠BFD=90°，
∴DF∥CE，
∴BF=EF=4，DF=CE=3，
∵AB=4，
∴AF==4，
∴AD=AF+DF=7，
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．C
【分析】
由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，再由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】
解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝60°，
∴△GEF是等边三角形，
∴EF＝FG＝GE＝6，
∴△GEF的周长为6×3＝18，
故选：C．
【点拨】考查平行四边形的性质、折叠的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键．
10．D
【分析】
根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为．
【详解】
由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴
∴是等边三角形，
∴的周长为，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定，解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11．B
【分析】
利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】
解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B
【点拨】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．D
【分析】
依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=8，AD=8，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长．
【详解】
解：由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，
∴∠BAC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴BC=2AB=8，
∴AD=8，
由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为8×3=24，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
13．B
【分析】
由折叠的性质可得AD⊥CC'，CN=C'N，由勾股定理可求AD，DN的长，即可求BC'的长．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，
∴AD⊥CC'，CN=C'N，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD=BC=
AD=
∵S△ACD=×AC×CD=×AD×CN
∴CN=
∴DN=，
∵CN=C'N，CD=DB，
∴C'B=2DN=，
故选：B．
【点拨】本题考查翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理可求DN的长是本题的关键．
14．25º
【分析】
由平行四边形的性质和折叠的性质可得AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，即可求解．
【详解】
∵将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，
∴AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，
∴∠1＝∠ADG＝50°，且∠ADG＝∠BDA+∠BDG，
∴∠BDA＝25°，
故答案为：25°．
【点拨】本题考查了翻折变换，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．
15．38°
【分析】
根据平行四边形的性质求出∠ADC和∠C，再根据折叠与角平分线的定义求出∠EDC，根据三角形的内角和即可求解．
【详解】
∵四边形是平行四边形
∴∠ADC=180°-，∠C=，
∵折叠且平分，
∴∠ADB=∠A’DB=∠EDC，
∴∠EDC=∠ADC=19°
∴180°-∠C-∠EDC=38°
故答案为：38°．
【点拨】此题主要考查平行四边形内的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
16．6
【分析】
根据翻折前后两图形全等以及平行四边形对边相等的性质，进行等量代换解题．
【详解】
∵是由翻折，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为6．
【点拨】本题考查了翻折变换(翻折、对称、折叠前后两图形全等)，平行四边形的性质(对边相等)，解题的关键是用翻折前后两图形全等的性质．
17．114
【分析】
由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行四边形的性质求出∠D即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°，
∴∠D＝∠B＝114°.
故答案为：114.
【点拨】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到∠BAC＝∠B′AC，从而得到∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC是解题的关键.
18．40°
【分析】
由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再由三角形的外角性质得∠AEC=∠D+∠DAE=70°，则∠AED=110°，然后由折叠的性质得∠AED=∠AED′=110°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
19．
【分析】
过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．
【详解】
解：过E作EH⊥AD于H，
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴AE＝EB＝2，
∵∠A＝45°，EH⊥AH，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，
∴AH＝，
∵点A′在∠BAD外部，
则由题意知△FQE为等腰三角形，
∴∠FEB＝∠FQE，
设∠AFE＝a，
∵△EFA'为△EFA根据EF对折，
∴∠AFE＝∠A'FE＝a，
∴∠BEF＝，
又∵∠BEF为△AEF的外角，
∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，
∴＝45°+a，
∴a＝30°，
在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝，
∴EF＝，
∴，
又∵BC＝AD＝2，
∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20． 30°
【分析】
（1）根据折叠性质和平角定义证得，再根据平行线的判定可得与所在直线的位置关系；
（2）根据折叠性质和平角定义证得，再根据平行线的性质证得，进而由求解即可；
（3）根据折叠性质和平行四边形的性质证得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得， ，，进而求解即可．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
故答案是：AD∥BC；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，
由（1）结论知，
∴，
∴，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠性质、平行线的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平角定义，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系是解答的关键．
21．
【分析】
过点E作EH⊥BC，垂足为H，依据平行四边形的性质和折叠的性质证明△EBC≌△FGC，得到的面积等于的面积，求出EH，即可计算结果．
【详解】
解：过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，∠D=∠B，AD=BC，
由折叠可得，∠A=∠ECG，∠B=∠G，AD=CG，
∴∠BCD=∠ECG，BC=CG，
∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF，
∴∠ECB=∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA），
∴的面积等于的面积，
∵∠B=60°，
∴∠BEH=30°，
∴BH=BE=1，
∴EH==，又BC=4，
∴S△FCG=S△BCE==，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用相关性质证明三角形全等．
22．
【分析】
首先延长DC与A′D′的延长线交于点H，由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易求得△BCH是等腰三角形，△D′FH是含30°角的直角三角形，然后设DE=x，利用勾股定理求出x，即可求得答案．
【详解】
解：延长DC，交A′D′的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠D=120°，∠DCB=∠A=60°，
由翻转变换的性质可知，∠ED′B=120°，
∴∠ED′H=60°，又D′E⊥CD，
∴∠H=30°，
∴∠CBH=30°，
∴CB=CH，
设DE=x，则DC=x+1，D′E=x，
∵AD-AB=1，
∴BC=x+1+1=x+2，
∴CH=x+2，
∴EH=x+3，
∵∠H=30°，
∴D′H=2D′E=2x，
∴EH==x，
∴x=x+3，
解得：x=，
∴AB=DC=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
23．4或12
【分析】
根据题意得折叠之后可能落在线段AB上，也有可能落在线段AB外，根据∠A60°，，及折叠的性质可得到是等边三角形及的长，进而求得AD的长．
【详解】
如图，∵=2，当点在线段上时，，
∵点是的中点，，由折叠的性质得，，
，是等边三角形，，；
如解图，当点在的延长线上时，，同理可知是等边三角形，，．
故答案为4或12．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质及等边三角形，关键是根据题意得到点落在线段上还是线段外，这是易错点，另外还需注意利用等边三角形的性质求解．
24．
【分析】
作CM⊥AB于M，由平行四边形的性质得出BC=AD=，BC∥AD，得出∠CBM=∠A=45°，利用勾股定理求出BM、CM，设AE=CE=，则BE=，EM=，根据勾股定理得出方程，解方程即可求出AE的长．
【详解】
作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠M=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=，BC∥AD，
∴∠CBM=∠A=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：，即，
∴BM=CM=4，
由折叠的性质得：AE=CE，
设AE=CE=，则BE=，EM=BE+BM=，
∵，即，
解得：．
即AE．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．②④
【分析】
根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解．
【详解】
解：∵将平行四边形纸片折叠，使点与点重合
∴根据翻折的性质可知，
∴，，
∴在和中，
∴，
∴
∴（故②正确）
∴（故③错误）
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵，
∴
∴（故④正确）
∵折痕与对角线没有重合，
∴对角线和不垂直
∴不是菱形
∴
∴
∴（故①错误）．
故答案是：②④
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
26．6.
【分析】
先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE，从而可求出的周长.
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴BC=AD=5,
∵，
∴AC= ==4
∵沿折叠得到，
∴AF=AB=3，EF=BE，
∴的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF
=BC+AC-AF
=5+4-3=6
故答案为6.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键.
27．24．
【分析】
由直角三角形的性质和折叠的性质可得，沿的角平分线所在直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形是平行四边形，由直角三角形的性质可求的长，即可求平行四边形的周长．
【详解】
解：，，，将该纸片沿过点的直线折叠，
，
如图2，过点作平分交于点，此时沿所在直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形是平行四边形，
，
，
平行四边形的周长
故答案为
【点拨】本题考查翻折变换、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，求的长是本题的关键．
28．①②③.
【分析】
根据折叠的性质和HL可判断①；
由①可进一步推得DF＝FG，设DF＝x，在Rt△BCF中利用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可判断③；
根据题意和折叠的性质可得∠AEB＝∠GEB，AE＝DE＝EG，进一步利用三角形的外角性质可得∠AEB＝∠EDG，得出BE∥DP，即可判断②．
【详解】
解：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，
∴ED＝EG，
在矩形ABCD中，∵∠A＝∠EDC＝90°
∴∠EGF＝90°，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），故①正确；
∴DF＝FG，
设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x，
在Rt△BCF中，（）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，解得x＝4，
∴GF：GB＝4：6＝2：3，故③正确；
∵将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，E是AD的中点，
∴∠AEB＝∠GEB，AE＝DE＝EG，
∴∠EGD＝∠EDG，
又∵∠EGD+∠EDG＝∠AEB+∠GEB，
∴∠AEB＝∠EDG，
∴BE∥DP，
∵ED∥BP，
∴四边形BEDP是平行四边形，故②正确.
故答案为①②③.
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理和折叠的性质，本题的突破点是设DF＝x，在Rt△BCF中根据勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．
【分析】
由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=PB，即可求解．
【详解】
解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP=180°，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB=180°，
∵∠DQR+∠CQR=180°，
∴∠DQA+∠CQP=90°，
∴∠AQP=90°，
∴∠B=∠AQP=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，
由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD=PC，
∴AR=PR，
又∵∠AQP=90°，
∴QR=AP，
∵∠PAB=30°，∠B=90°，
∴AP=2PB，AB=PB，
∴PB=QR，
∴=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
30．4 -3≤≤7
【分析】
（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；
（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=-3，进而即可得到答案．
【详解】
（1）解：∵把沿折叠到，
∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形中，点落在上，
∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，
∴∠A′EB=∠A′BE，
∴A′E=A′B，
又∵AE= A′E，AB= A′B，
∴AE= AB=6，
又∵，
∴AD=10，
∴DE=10-6=4，
故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
∵，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE=AB=3，
∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠NDC=60°，
又∵CD=AB=6，
∴DN=CD=3，CN=，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCA′，
∵把沿折叠到，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，
∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠BA′C=∠ADC，
∴，
∴CE=BC=10，
∴EN=，
∴ED=-3，
∴的范围是：-3≤≤7．
故答案是：-3≤≤7．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
31．菱形 或．
【分析】
（1）根据折叠可知AM=MD，然后结合四边形为平行四边形即可判断；
（2）依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
【详解】
（1）解：由折叠易有：AM=MD，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=，
∴∠C=30°，AB=AC=+2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=+2，
∴AN=2，BN=，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，特殊直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
32．66°
【分析】
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=42°，又由折叠的性质得：∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°，再由三角形的外角性质得∠AEF=∠D+∠DAE =57°，然后由三角形内角和定理可得∠AED'=108°，最后由角的和差即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=42°，
又∵∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°(折叠的性质)
∴∠AEF=∠D+∠DAE=42°+15°=57°，
∴∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'=123°，
∴∠FED'=123°-57°=66°．
故答案为66°．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
33．2或6．
【分析】
分两种情况讨论，由折叠的性质，矩形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：如图1，当点A'落在CD上，
∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝A'P，AD＝A'D，∠DAP＝∠DA'P＝90°，
∴∠PA'C＝90°，且∠B＝∠C＝90°，
∴四边形PBCA'是矩形，
∴BC＝A'P＝AP＝6，
∴当AP＝6时，四边形PBCA'是矩形，
如图2，当点P，点A'，点C共线，
∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝A'P，AD＝A'D＝6，∠DAP＝∠DA'P＝90°，
∴A'C＝＝＝8，
∴PC＝8+A'P＝8+AP，
∵PC2＝PB2+BC2，
∴（8+AP）2＝（10﹣AP）2+36，
∴AP＝2，
故答案为2或6．
【点拨】此题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论解决是本题的关键．
34．（1）30°；（2）
【分析】
（1）由折叠的性质可得、、，从而得到、、，所以，即可求解；
（2）由（1）得为直角三角形，根据折叠的性质可以推出为的中点，，从而得到的值．
【详解】
解：（1）由折叠可知：、
又∵
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
即，
∴，则，
由折叠可知，，
∴．
（2）若四边形为平行四边形，则，
∴，
由折叠可知：，
∴，∴，
同理可得：，即为的中点，
由（1）可知，，，且，
设，则，∴，
∴，∴．
【点拨】此题考查了折叠的有关性质，涉及了直角三角形的有关性质，熟练掌握折叠和直角三角形的有关性质是解题的关键．
35．（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；（4）或或
【分析】
（1）在直线中，分别令x=0，y=0，可得A，B坐标；
（2）由翻折不变性可知，，，，在中，，利用，即可求解；
（3）证明，则，，即可求解；
（4）分是边、是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）对于直线，令，得到，
，
令，得到，
．
．；
（2）由（1）可得：．，
，，
，
，
由翻折不变性可知，，，，
，设，
在中，，
，
，
解得，
；
（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、，
过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
为等腰直角三角形，故，
，，
，
，，
，
，，
即，，
解得：，，
故点的坐标为、点；
由于、的位置可能互换，故点的坐标为、点；
综上，点的坐标为或；
（4）点是的中点，则点，而点，
设点，点，
①当是边时，
点向右平移1个单位向下平移3个单位得到点，同样点右平移1个单位向下平移3个单位得到点，
故且或且，
解得：或，
故点的坐标为或；
②当是对角线时，
由中点公式得：且，
解得：，故点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．
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