专题 18.31 特殊平行四边形最值问题专题训练（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.31 特殊平行四边形最值问题专题训练（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.31 特殊平行四边形最值问题专题训练（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，则的最小值是（ ）

A．1 B． C．2 D．
2．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．4 D．2+2
3．如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则ΔDNM周长的最小值是( )

A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（　　）

A．6 B．6 C．3 D．3
5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一动点．若，，则的值可能是（ ）

A．3.2 B．3.5 C．3.6 D．3.8
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）

A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（　　）

A．6 B．2 C．8 D．2
9．如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（ ）

A．8 B．10 C． D．
10．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（ ）

A． B．6 C．3 D．
11．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）

A．5 B．10 C．12 D．14


二、填空题
13．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝_____°．

14．如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____

15．如图，是长方形内部的动点， ，的面积等于9，则点到两点距离之和的最小值为__________.

16．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．

17．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以PA、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．

18．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．

19．如图，在四边形ABCD中，，，EF分别是边BC，CD上的动点，当的周长最小时，________°．

20．如图，菱形的边长为，点为边的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为__________．

21．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则QE＋QB的最小值为________．

22．如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是_____________．

23．如图，在中，，，，点E为边上的一个动点，连接，， 以、为邻边构造，连接，则的最小值为__________．

24．如图，在中，，点D为上一动点（不与点C重合），以，为一组邻边作平行四边形，当的值最小时，平行四边形的周长为_____．

25．如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．若点是直线上的一个动点，则的最小值______．

26．如图，是边长为2的正方形的对角线，为边上一动点，，为，的中点．当的值最小时，的值为______．

27．如图，正方形与矩形在直线的同侧，边，在直线上，且，，．保持正方形不动，将矩形沿直线左右移动，连接，，则的最小值为______．

28．如图，在正方形中，点为边的中点，点为对角线上一点，若，则的最小值为______．

29．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．


三、解答题
30．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接PB，PQ，求△PBQ周长的最小值．




31．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，.

（1）若、、三点共线，求的长；
（2）求的面积的最小值.



参考答案
1．B
【分析】
作点E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，E′B，则E′F的长即为PE+PF的最小值，由图可知，当点F与点B重合，BE′⊥AD时的值最小．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∵，
∴∠DAB=180°-∠ABC=180°-120°=60°，
作点E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，E′B，则E′F的长即为PE+PF的最小值，由图可知，当点F与点B重合，BE′⊥AD时的值最小，

在Rt△ABE′中，
∵AB=2，∠DAB=60°，
∴E′F=BE′=AB•sin∠DAB=．
故选：B．
【点拨】本题主要考查的知识点是菱形的性质以及利用点的对称求最值，根据题意判断出当点F与点B重合，BE′⊥AD时的值最小，是解此题的关键．
2．B
【详解】
解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，

∵AB=4，∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4×=，
∴PK+QK的最小值为，
故选B．
【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
3．D
【解析】
【分析】
由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为使DN＋MN最小的点，在Rt△BCM中利用勾股定理求出BM的长即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，则BM的长即为DN＋MN的最小值，
又CM＝CD−DM＝4−1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝CM2+BC2=32+42=5，
故△DMN周长的最小值＝5＋1＝6，
故选：D．

【点拨】本题考查的是轴对称−最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线AC对称，可知BM的长即为DN＋MN的最小值是解答此题的关键．
4．C
【分析】
根据已知得出四边形AEMF是矩形，得出EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
∴EF＝AM，
要使EF最小，只要AM最小即可，
过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，
∴AM＝AB＝ ，
即EF＝
故选：C．
【点拨】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短.
5．C
【分析】
根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC＝PE+AP＝AE，

根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．
∵∠ABC＝60°，AB=BC
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE＝CE ，
∴AE⊥BC，

∴AE＝＝．
故选：C．
【点拨】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据，然后判断出最小时，的值最小，再根据垂线段最短解答.
【详解】
解：∵，
∴最小时，的值最小，
由垂线段最短可知当时，的值最小，最小值为．
当点在点时，．
∴的取值范围为，
故选A．．
【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，垂线段最短.得出最小时，的值最小是解决问题的关键.
7．D
【分析】
连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】
解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．

所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值为4
故选： D．

【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
8．D
【分析】
由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝4，
∴AD＝AB＝6，
∴DE＝＝2，
故PB+PE的最小值是2．
故选：D．

【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，其中涉及正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
9．C
【分析】
先找到点A关于OB的对称点C，连结CD交OB于点P′，当点P运动到P′时PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．
【详解】
正方形ABCO，
A、C两点关于OB对称，
连接CD，交OB于，

，
，
当C、P、D三点共线时，取最小值，
，，
，
故选择：C．
【点拨】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键．
10．A
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED=，
∴EF+BF的最小值为．
故选：A．

【点拨】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．
11．D
【分析】
取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值．
【详解】
解：因为，为的中点，
取的中点，连接MN，CN，

易得，
所以.
在点的运动过程中，的值不变，
因为，
当，，三点在同一条直线上时，最小，
此时．
故选：D
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．
12．B
【分析】
由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．

∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10．
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
13．45
【详解】
解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．

14．
【分析】
连接BD，由菱形的性质得到AB＝AD，推出△ABD是等边三角形，得到BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN，点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值；求得HM＝1.5，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E是AD的中点，
∴BE⊥AD，
取AB与CD的中点M，N，连接MN，
∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM＝AE，
∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，
∴MB＝3，∠HMB＝60°，
∴HM＝1.5，
∴AE＝3，
∵∠AEB＝∠MHB＝90°，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，
∴EC＝3，
故答案为3．

【点拨】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
15．
【分析】
根据三角形的面积，计算出三角形BPC的高，由此得出P点的运动轨迹是平行于BC的线段MN上，找到C点关于MN的对称点E，连接BE，BE的长度即为，此时线段最短.
【详解】
解：∵的面积等于9,BC=6，
∴PE=9×2÷6=3，
即△BPC得高为3，

P点在长方形内部且平行于BC的线段MN上，
CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE
连接BE交MN与点P此时最短，且=BE
在Rt△BCE,
所以BE=
故答案为
【点拨】本题考查了特殊平行四边形动点问题，求线段最值，解决本题的关键是熟练掌握最短路径问题模型，根据题意找到切入点，能够正确运用勾股定理计算直角三角形中的边长问题.
16．10
【分析】
根据正方形对角线的性质：AC上的点到点B、D的距离相等，连接DE交AC于点P即可．
【详解】
解：如图：

连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，
PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，
∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
DE＝
＝
＝10．
∴PB+PE的最小值为10．
故答案为10．
【点拨】本题考查了正方形的性质，涉及了线段和的最小值问题，依据两点之间线段最短确定动点P的位置是解题的关键.
17．3
【分析】
作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如图，利用正方形的性质得△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，则AM＝PM，PN＝BN，所以MN＝AB＝3，再证明四边形O1MNO2为矩形得到O1Q＝MN＝3，然后根据垂线段最短得到O1O2的最小值．
【详解】
解：作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如图，

∵四边形APDC和四边形PBEF都为正方形，
,
∴△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，
∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，
∴AM＝PM，PN＝BN，
∴MN＝PM+PN＝AB＝3，
∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，
,
∴四边形O1MNO2为矩形，
∴O1Q＝MN＝3，
∵O1O2≥O1Q，
∴O1O2的最小值为3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．
18．56
【分析】
连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE，根据菱形的性质和垂线段最短可得此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长，然后根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求出结论．
【详解】
解：连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=56°
∴菱形ABCD是以BD所在直线为对称轴的轴对称图形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC
∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=（180°－∠ADC）=62°
∴此时AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA
根据垂线段最短可知：此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长
∵CF⊥AD
∴∠AFC=90°
∴∠ECA=90°－∠DAC=28°
∴∠EAC=28°
∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°
故答案为：56．
【点拨】此题考查的是菱形的性质、垂线段最短的应用、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握菱形的性质、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解决此题的关键．
19．40º
【分析】
据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A″，A′，利用三角形内角和求∠A′+∠A″，进而得出∠EAB+∠FAD，即可得出答案．
【详解】
解：作A关于BC和CD的对称点A″，A′，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．

∵∠C=70°，
∴∠DAB=110°，
∵∠A″+∠DAB+∠A′=180º，
∴∠A′+∠A″=180º-∠BAD=180º-110º=70°，
∵∠A′=∠FAD，∠A″=∠EAB，
∴∠EAB+∠FAD=70°，
∴∠EAF=110°-70°=40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
20．3
【分析】
找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可．
【详解】
解：连接，交于，连接交于，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则，
，
即就是的最小值．
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
（等腰三角形三线合一的性质）．
在中，．
即的最小值为3．
故答案为3．

【点拨】本题主要考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
21．5
【分析】
连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【详解】
解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
则DE=BQ+QE==5，
故答案为：5．

【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
22．3
【分析】
根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形菱形，
∴A、C关于BD对称，
∵点E，C在BD的同侧，
∴当A、P、E三点共线时，的值最小，且最小值为AE；
∵以为斜边的的面积为3， ，
∴，
∴AE=3，
∴的最小值是3
故答案为：3．
【点拨】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．
23．
【分析】
根据平行四边形的性质得到EG，FG，根据垂线段最短得到EG⊥CD时取最小值，过点C作CH⊥AB于点H，求出CH的长度，从而得到结果．
【详解】
解：∵四边形EDGC是平行四边形，
∴EF=FG，
∴当EF⊥CD时，EF最小，此时EG最小，
过点C作CH⊥AB于点H，则CH=EF，
∵∠B=60°，
∴∠BCH=30°，
∵BC=8，
∴BH=4，
∴CH==，
∴EF的最小值为，
∴EG的最小值为，
故答案为：．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，找到EG最短时满足的条件．
24．4+
【分析】
根据题意，可知当DE⊥AE时，DE取得最小值，然后根据题目中的数据，即可得到AD、CD的长，从而可以得到当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长．
【详解】
解：当DE⊥AE时，DE取得最小值，设此时CD=x，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CD=AE，AD=CE，BC∥AE，
∵∠B=90°，DE⊥AE，
∴四边形BAED是矩形，
∴BD=AE，
∴BD=CD=x，
∵BC=BD+CD，BC=4，
∴BD=CD=2，
∵AB=3，∠B=90°，
∴AD=，
∴当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2++2+=4+，
故答案为：4+.
【点拨】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．
【分析】
利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出四边形DAD′E是平行四边形，然后根据菱形的判定定理得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=，DG=，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，AD=AD′，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∵AD=AD′，
∴四边形DAD′E是菱形，
∴D与D′关于AE对称，
连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，
过D作DG⊥BA于G，

∵CD∥AB，
∴∠DAG=∠CDA=60°，
∵AD=1，
∴AG=，DG=，
∴BG=，
∴BD==，
∴PD′+PB的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．
【分析】
延长，作关于的对称点，连接，交于点，此时 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．
【详解】
解：延长，作关于的对称点，
连接，交于点，此时 值最小.

正方形边长为，
，.
，为，的中点，
，.
为中点，
为的中位线，
.
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．
27．
【分析】
作点关于的对称点，连接，以，为邻边作平行四边形，则，当，，三点共线时，的最小值为的长，过点作于，依据勾股定理即可得到中，，即可得出的最小值为．
【详解】
解：如图所示，作点关于的对称点，连接，以，为邻边作平行四边形，

则，，
，
当，，三点共线时，的最小值为的长，
过点作于，
由题可得，，
中，，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
28．
【分析】
根据正方形是轴对称图形，找到A关于BD的对称点C，连接CE，由PE+PA=PE+PC≥CE，根据勾股定理即可求得最小值CE．
【详解】
如图，连接AC、EC，

∵P为对角线BD上一动点，正方形是轴对称图形，A、C关于BD对称，
∴PE+PA=PE+PC≥CE，
当C、P、E三点共线时取得最小值，最小值为CE的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=90°，AB=BC=2，
∵E是AB的中点，
∴BE=1，
∴CE= =，
故答案为：．
【点拨】本题考查了根据轴对称求最小值，正方形的性质，勾股定理，根据轴对称得出PE+PA=PE+PC≥CE是解题的关键．
29．①②③
【分析】
①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2．
【详解】
解：①连接BE，交FG于点O，如图，

∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
30．1＋．
【分析】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．
【详解】
解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2cm，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP=DP，
∴BP+PQ=DP+PQ=DQ．
在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD＝
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1（cm）．
【点拨】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基本题.

31．（1）3；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理求出AO长，易得AE长，由正方形的性质利用SAS可证，根据全等三角形对应边相等可得结论；
（2）过点作于点，当三点共线，最小，求出EH长，根据三角形面积公式求解即可.
【详解】
（1）由旋转得：，，
∵是边的中点，∴.
在中，.
∴.
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴.
在和中

∴.
∴.
（2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动.
过点作于点.

∵，
∴
当三点共线，最小，.
∴.
【点拨】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.