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专题 18.32 特殊平行四边形最值问题专题训练（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 18.32 特殊平行四边形最值问题专题训练（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共46页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 18.32 特殊平行四边形最值问题专题训练（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）．
A．8 B． C． D．10
2．如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形的边长为6，点在上，，点为对角线上一动点连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
4．如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一 点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．则EC+GC的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．5 D．6
7．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．3 D．2.5
8．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．10 C． D．8
9．如图，在菱形中，，点是的中点，是对角线上的一个动点，若的最小值是9，则的长是（ ）
A． B． C．9 D．4.5
10．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3．E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2．Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ．则AP+PQ的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接 PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，2），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 _____．
14．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上，，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边，连接CG，线段CG的最小值是___________．
15．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则EPB的周长最小值为______．
17．如图，菱形的边长等于4，，为中点，为对角线上任意一点，则的最小值为______．
18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．
19．如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为________．
20．如图，点是正方形边上一点，，，点是对角线上的一动点，则的最小值是______．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为___．
22．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
23．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=，则PM+CQ的最小值为 ___．
24．如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．
25．如图,矩形中,,,连接,为上一动点,为中点,连接,则的最小值是______．
26．如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是_________．
27．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点为边上一点，且不与、重合．过点作于点， 于点，连接，则的最小值为________．
三、解答题
28．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
29．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
30．（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是 ．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值．
31．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF折叠，使得点A的对应点A’恰好落在边CD上．
（1）延长CB、A′F交于点H，求证：；
（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；
（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为______．
32． 如图所示，平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6．在不改变矩形ABCD的形状和大小的情况下，当矩形的顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD=30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，若四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
（3）在点A移动过程中是否存在某一位置，使点C到点O的距离有最大值?若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】
解：如图，连接，，，设交于点，
四边形正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴点与点是关于直线对称，
，
，
点为上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，
当点运动到点时，，
∴的最小值为的长度，
四边形为正方形，
，，
又∵，
∴，
，
的最小值是10．
故选：D．
【点拨】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时取最小值是解决本题的关键．
2．B
【分析】
连接MD、BM，根据菱形的性质可得MN+MB=MN+MD，则有连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，又有，可得△ABD是等边三角形，即可求出DN．
【详解】
解：连接MD、BM，
在菱形中，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，则MD=MB，
∴MN+MB=MN+MD，
连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，
即MN+MB最小值为DN的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AD=AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AN=BN=1，DN⊥AB，
在Rt△ADN中，
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和最值，能够得到MN+MB=MN+MD，即MN+MB最小值为DN的长是解本题的关键．
3．C
【分析】
根据正方形的性质及轴对称-最短距离问题模型得到点P的位置，然后利用勾股定理计算即可得解
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴点与点关于对称，
连接，与的交点即为使最小时点的位置，此时，
∵正方形的边长为6且，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故选C．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路径问题、正方形的性质，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
4．C
【分析】
连接AQ，过点D作，根据垂直平分线的性质得到，再根据计算即可；
【详解】
连接AQ，过点D作，
∵，面积为21，
∴，
∴，
∵MN垂直平分AB，
∴，
∴，
∴当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，
∵，
∴，
∴的值最小值为7；
故选C．
【点拨】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．
5．D
【分析】
连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【详解】
解：连接BD，DE，DQ
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，
∴BQ＝DQ，
∴C△BEQ＝BE＋BQ＋EQ＝BE＋DQ＋EQ≥BE＋DE，
∴当点D、Q、E在同一直线上时，C△BEQ＝能取得最小值，最小值为BE＋DE的长，
∵在Rt△AED中，DE＝＝＝5，
∴△BEQ周长的最小值＝BE＋DE＝4－3＋5＝6．
故选：D．
【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质以及勾股定理是解答此题的关键．
6．A
【分析】
如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE=CG，推出EC+CG=EC+ED=EC+TE，根据TE+EC≥TC即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC═AD=4，∠ABC=90°，∠ADB=45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAD=∠ADB=45°，
∵D，T关于AE对称，
∴AD=AT=4，∠TAE=∠EAD=45°，
∴∠TAD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴B，A，T共线，
∴CT=，
∵EG=CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG=DE，
∴EC+CG=EC+ED=EC+TE，
∵TE+EC≥TC，
∴EC+CG≥，
∴EC+CG的最小值为，
故答案为：A．
【点拨】本题考查轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．B
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，运动轨迹是线段AB，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G的轨迹也是一条线段，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，
从而可知△EBH为等边三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBE=90°，
∴∠GHE=∠FBE=90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HG交DC于点N，
过点C作CM⊥HN于M，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM于P，可知四边形HEPM为矩形，
则CM=MP+CP=HE+EC=1+2=3，
故选：B．
【点拨】本题考查了线段最值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型．
8．A
【分析】
过点C作，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，当时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点C作，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，
当时，PQ有最小值，即直线与直线的距离为，
，
，
，
，
,
解得：，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
9．A
【分析】
先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，在Rt△AMD中根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出AD的值，最后根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】
连接PD，BD，
∵PB=PD，
∴PM+PB=PM+PD，
连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，
∴这个P点就是要的P点，
又∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，∠ADM=30°
∵M为AB的中点，
∴MD⊥AB，
∵MD=9，
∴AD2= +
解得： AD=
∴AB=．
故选：A．
【点拨】本题考查的是菱形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握所学知识，属中等难度．
10．C
【分析】
作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，DQ，则AP=A'P，DQ=EF=1，当A'，P，Q，D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于A'D-DQ的长，求得A'D的长，即可得到AP+PQ的最小值．
【详解】
如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，DQ，
则AP=A'P，DQEF=1，
∴AP+PQ=A'P+PQ，
∴当A'，P，Q，D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于A'D﹣DQ的长，
在Rt△AA'D中，A'D5，
∴A'D﹣DQ=5﹣1=4，
∴AP+PQ的最小值等于4．
故选：C．
【点拨】考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．D
【分析】
根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，
∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，
∴OG=12，
（勾股定理），
∴，
∴PD+PE的长度最小值为，
故选D．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．D
【分析】
点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．
【详解】
解：连接AD，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴AD即为AP+BP的最小值，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（3，），
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴AD=，
故选：D．
【点拨】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
13．
【分析】
如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=．
【详解】
如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形
故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2
∴∠ABD=60°
∴∠ABF=60°-30°=30°
∴AF=
∴FG=AD-AF=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想． 它的应用能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化． 特殊四边形的几何问题， 很多困难源于问题中的可动点． 如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路， 常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式， 确定运动变化过程中的数量关系， 图形位置关系， 分类画出符合题设条件的图形进行讨论， 就能找到解决的途径， 有效避免思维混乱．
14．
【分析】
把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，根据旋转的性质得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四边形HEPQ为矩形，则PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接着计算出CP，从而得到CQ的长，然后利用垂线段最短得到CG的最小值．
【详解】
解：∵△EFG为等边三角形，
∴EF＝EG，
把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，
如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，
∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，
即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，
∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，
∴CP＝CE＝＝，
∴CQ＝CP＋PQ＝＋2＝．
∴CG的最小值为．
故答案为．
【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．
15．
【分析】
在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】
解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），
∴OB＝4，OA＝1，
∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，
∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
16．
【分析】
延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，先说明B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF，由E、G分别为DB、AB的中点，再结合中位线定理得EG＝AD＝BC＝1，EG⊥AB，从而有EF，EB＝，故△EPB的周长最小值为．
【详解】
解：延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，
∵AF＝AB，∠DAB＝90°，
∴AD垂直平分BF，即B、F关于直线AD对称，
∴PB＝PF，
∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，
∵E、G分别为DB、AB的中点，
∴EG∥AD，EG＝AD＝BC＝1，FG＝AF＋AG＝4＋2＝6，
∴EG⊥AB，
∴EF＝，
EB＝，
∴△EPB的周长最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、最短距离问题、勾股定理、中位线定理，延长BA至F，使得AF＝AB，构造B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF是解决本题的关键．
17．
【分析】
连接AE，交BD于点P’，连接CP’，过点A作AM⊥CB交CB的延长线于点M，可得的最小值=AE，由∠BAM=30°，得AM=，进而即可求解．
【详解】
解：连接AE，交BD于点P’，连接CP’，过点A作AM⊥CB交CB的延长线于点M，
∵在菱形中，点A、C关于BD对称，
∴的最小值=CP’+EP’=AP’+EP’=AE，
∵，AD∥BC，
∴∠ABM=，
∴∠BAM=30°，
∴BM==2，AM=，
∵为中点，
∴BE=2，
∴ME=2+2=4，
∴AE=，即：的最小值=．
【点拨】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称—最短路线，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
18．
【分析】
作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．
【详解】
如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，
∵E，F为AB，AC的中点，BC=2，
∴，，
∵B为EQ中点，，
∴BP为的中位线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．
19．4
【分析】
以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH=BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH=GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【详解】
解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=4，EN=NC=2，∠HEC=60°，
∴BN=4=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．10
【分析】
根据正方形的性质，点A与点C是对称点，连接CE，则CE是AP+PE的最小值，运用勾股定理计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C是对称点，连接CE，则CE长是AP+PE的最小值，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=8，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD=8，∠CDE=90°，
∴CE==10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称求线段和最小值，勾股定理，熟练确定线段和的最小值线段，并灵活用勾股定理求值是解题的关键．
21．
【分析】
根据点到直线垂线段距离最短可得，当PM垂直AD时，QM最短，此时A，Q，P三点共线，由于在AMQ中，AM的长是一个定值，若使其周长最小，需满足AQ+QM的值为最小即可，进而利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：如图，
因为点P是直线AD上的一个动点，AM为定值，要使AMQ周长的最小，
则当PM垂直AD时，QM最短，此时A，Q，P三点共线，AQ的也为最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠PAB=∠QPM=90°，
∴四边形ABMP也为矩形，
∵AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，PM＝PQ，
∴QP=MP= AB=5，PA＝BM=4，
∴，，
∵在RtMPQ，且PM＝PQ，
∴，
所以AMQ周长的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查几何最值问题，解决本题的关键是要正确掌握解决几何最值问题的方法．
22．
【分析】
如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】
解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵，，
∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点，则
∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小，
∴在中，AD＝4，，
∴，
∴DF+CF的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
23．
【分析】
如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．
【详解】
解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∴AC=BD=，
∴OD=OB=OA=OC=，
∵AM=OM，AT=DT，
∴MT=OD=，
∴MT=PQ=，
∵MT∥PQ，
∴四边形PQTM是平行四边形，
∴PM=TQ，
∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，
∵∠CMT=90°，MT=，CM=，
∴CT=，
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．
24．
【分析】
在上方作，作于，作于，交于，将转化为，则的最小值为的长度，根据图形分别求和即可．
【详解】
解：在上方作，作于，作于，交于，
，
，
当、、三点共线时，最小，即为的长度，
，，
，
，，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段的长度是关键．
25．
【分析】
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得,当 时,取最小值,再求出 的面积,根据,即可得出答案．
【详解】
如图,由题意可知:当点E与点D重合时,点P位于CD边的中点P1处,即 ,
当点E与点B重合时,点P位于CB边的中点P2处,,
∴ 且,
∵为中点,∴且,
∴点P的运动轨迹是线段P1P2,
∴当 时,取最小值,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=8,BC=AD=6,
∴,,
在 中,,
∵ ,
即 ,
解得: ．
故答案:．
【点拨】本题考查了线段的最值问题以及利用切割法求一般图形的面积,解题的关键是找准线段取最值时的位置,熟练掌握切割法求面积．
26．5
【分析】
过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，，当时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
【详解】
解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点， ，
∴FE为△APM的中位线，
∴ ，
当EF取最小值时，即PM最短，
当时，PM最短，
此时 ，
∵，
在 中，，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键PM⊥AD．
27．
【分析】
首先根据菱形的性质和勾股定理求得菱形的边长，然后根据三个角是直角的四边形为矩形证明四边形是矩形，进而得到，所以的最小值即为的最小值，而当时，有最小值，此时利用三角形面积即可求解．
【详解】
连接，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
，
的最小值为．
故答案为．
【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，以及特殊四边形中的线段最值问题，关键是将所求线段转化为．
28．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形；
（2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决．
【详解】
解：（1）证明：四边形是矩形
与相等且互相平分
关于的对称图形为
，
四边形是菱形
（2）解：作于，交于，则如图所示：
沿所在直线折叠，得到
，
在中，
即的最小值为．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键．
29．（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
（2）矩形的性质和勾股定理求解．
（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝，即可得到答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得：
OC²+OD²＝2²，
∵OD＝OC，
∴OC＝；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝3，
∴OC＝OD＝，
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∴CQ＝，
即PE+PQ的最小值为．
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.
30．（1）见解析；（2）135°；（3）BM长的最大值为4，最小值为1．
【分析】
（1）延长DE至F，使EF=DE，连接CF，证明△AED≌△CEF，得到AD=CF，∠A=∠ACF，证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据平行线的性质得到∠MPD=∠ABD、∠NPD+∠PDC=180°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）延长CB至H，连接FH，AH，根据三角形中位线定理得到BM=FH，根据勾股定理求出AH，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：（1）延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，
在△AED和△CEF中，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，
∴AB∥CF，
∵AD＝DB，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）解：∵M、P分别为AD、BD的中点，
∴MP∥AB，
∴∠MPD＝∠ABD，
∵N、P分别为BC、BD的中点，
∴PN∥CD，
∴∠NPD+∠PDC＝180°，
∴∠NPD＝180°﹣∠PDC，
∵∠PDC＝∠E+∠ABD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°﹣∠E﹣∠ABD＝135°，
故答案为：135°；
（3）解：延长CB至H，使 连接FH，AH，
∵CM＝MF，
∴BM＝FH，
由勾股定理得，AH＝＝5，
当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2，
当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8，
∴BM长的最大值为4，最小值为1．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
31．（1）证明见解析；（2）EF＝；（3）．
【分析】
（1）如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．证明△A′HC∽△EQ′T，可得结论．
（2）如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．想办法求出EH，FH，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）注意到G为AA'的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在∠AFA'的角平分线上，因此作GH⊥AB于H，GP⊥A'F于P，则GP＝GH，根据垂线段最短原理可知GH就是所求最小值．
【详解】
（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，
∴∠TDE＝∠A＝60°，
∵DT＝DE，
∴△DET是等边三角形，
∴∠T＝∠C＝60°，
∵∠EA′F＝∠A＝60°，
∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，
∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，
∴∠TA′E＝∠A′HC，
∴△A′HC∽△EQ′T，
∴＝，
∵ET＝DE，AE＝A′E，
∴＝．
（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．
∵∠A＝60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠MDF＝60°，
∴∠MFD＝30°，
设MD＝x，则DF＝2x，FM＝x，
∵DG＝1，
∴MG＝x+1，
∴（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，
解得：x＝0.3，
∴DF＝0.6，AF＝1.4，
∴AH＝AF＝0.7，FH＝AF•sin∠A＝1.4×＝，
∵CD＝BC，∠C＝60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵A′是CD的中点，
∴BA′⊥CD，
∵BC＝2，A′C＝1，
∴BA′＝，
设BE＝y，则A′E＝2﹣y，
∴（）2+y2＝（2﹣y）2，
解得：y＝0.25，
∴AE＝1.75，
∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，
∴EF＝＝＝．
（3）解：如图3中，过点G作GH⊥AB于H，过点G作GP⊥A'F于P，过点A′作A'Q⊥AB于Q．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，
∴A'Q＝DR，
∵∠BAD＝60°，
∴A'Q＝
∵A'与A关于EF对称，
∴EF垂直平分AA'，
∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，
∴GP＝GH，
又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB
∴GH∥A'B，
∴GH＝A'Q＝，
所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了四边形综合，结合相似三角形的判定与性质，勾股定理计算是解题的关键．
32．（1）点的坐标为；（2）；（3）存在，的最大值为8．
【分析】
(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；
(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；
(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5， OM+CM＝8，分两种情况，即当O、M、C三点不在同一条直线和三点共线时，分别进行判断解决即可.
【详解】
(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为(2，3+2)；
(2)∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3 (负值舍去)，
∴OA＝3；
(3)OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，
∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OM+CM＝8.
当O、M、C三点不在同一条直线时，在△OCM中，
OC＜OM+CM＝8.
当A点运动，使得O、M、C三点在同一直线时，
此时OC= OM+CM＝8，为OC的最大值．
【点拨】本题考查了矩形的性质、同角的余角相等、勾股定理、特殊四边形的最值问题，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握在三角形中两边之和大于第三边，只有当三点共线时，C到点O的距离最大，解决本题要有良好的空间想象能力．
专题 18.32 特殊平行四边形最值问题专题训练（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）．
A．8 B． C． D．10
2．如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形的边长为6，点在上，，点为对角线上一动点连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
4．如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一 点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．则EC+GC的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．5 D．6
7．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．3 D．2.5
8．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．10 C． D．8
9．如图，在菱形中，，点是的中点，是对角线上的一个动点，若的最小值是9，则的长是（ ）
A． B． C．9 D．4.5
10．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3．E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2．Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ．则AP+PQ的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接 PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，2），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 _____．
14．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上，，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边，连接CG，线段CG的最小值是___________．
15．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则EPB的周长最小值为______．
17．如图，菱形的边长等于4，，为中点，为对角线上任意一点，则的最小值为______．
18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．
19．如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为________．
20．如图，点是正方形边上一点，，，点是对角线上的一动点，则的最小值是______．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为___．
22．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
23．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=，则PM+CQ的最小值为 ___．
24．如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．
25．如图,矩形中,,,连接,为上一动点,为中点,连接,则的最小值是______．
26．如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是_________．
27．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点为边上一点，且不与、重合．过点作于点， 于点，连接，则的最小值为________．
三、解答题
28．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
29．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
30．（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是 ．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值．
31．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF折叠，使得点A的对应点A’恰好落在边CD上．
（1）延长CB、A′F交于点H，求证：；
（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；
（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为______．
32． 如图所示，平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6．在不改变矩形ABCD的形状和大小的情况下，当矩形的顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD=30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，若四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
（3）在点A移动过程中是否存在某一位置，使点C到点O的距离有最大值?若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】
解：如图，连接，，，设交于点，
四边形正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴点与点是关于直线对称，
，
，
点为上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，
当点运动到点时，，
∴的最小值为的长度，
四边形为正方形，
，，
又∵，
∴，
，
的最小值是10．
故选：D．
【点拨】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时取最小值是解决本题的关键．
2．B
【分析】
连接MD、BM，根据菱形的性质可得MN+MB=MN+MD，则有连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，又有，可得△ABD是等边三角形，即可求出DN．
【详解】
解：连接MD、BM，
在菱形中，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，则MD=MB，
∴MN+MB=MN+MD，
连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，
即MN+MB最小值为DN的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AD=AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AN=BN=1，DN⊥AB，
在Rt△ADN中，
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和最值，能够得到MN+MB=MN+MD，即MN+MB最小值为DN的长是解本题的关键．
3．C
【分析】
根据正方形的性质及轴对称-最短距离问题模型得到点P的位置，然后利用勾股定理计算即可得解
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴点与点关于对称，
连接，与的交点即为使最小时点的位置，此时，
∵正方形的边长为6且，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故选C．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路径问题、正方形的性质，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
4．C
【分析】
连接AQ，过点D作，根据垂直平分线的性质得到，再根据计算即可；
【详解】
连接AQ，过点D作，
∵，面积为21，
∴，
∴，
∵MN垂直平分AB，
∴，
∴，
∴当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，
∵，
∴，
∴的值最小值为7；
故选C．
【点拨】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．
5．D
【分析】
连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【详解】
解：连接BD，DE，DQ
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，
∴BQ＝DQ，
∴C△BEQ＝BE＋BQ＋EQ＝BE＋DQ＋EQ≥BE＋DE，
∴当点D、Q、E在同一直线上时，C△BEQ＝能取得最小值，最小值为BE＋DE的长，
∵在Rt△AED中，DE＝＝＝5，
∴△BEQ周长的最小值＝BE＋DE＝4－3＋5＝6．
故选：D．
【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质以及勾股定理是解答此题的关键．
6．A
【分析】
如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE=CG，推出EC+CG=EC+ED=EC+TE，根据TE+EC≥TC即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC═AD=4，∠ABC=90°，∠ADB=45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAD=∠ADB=45°，
∵D，T关于AE对称，
∴AD=AT=4，∠TAE=∠EAD=45°，
∴∠TAD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴B，A，T共线，
∴CT=，
∵EG=CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG=DE，
∴EC+CG=EC+ED=EC+TE，
∵TE+EC≥TC，
∴EC+CG≥，
∴EC+CG的最小值为，
故答案为：A．
【点拨】本题考查轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．B
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，运动轨迹是线段AB，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G的轨迹也是一条线段，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，
从而可知△EBH为等边三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBE=90°，
∴∠GHE=∠FBE=90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HG交DC于点N，
过点C作CM⊥HN于M，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM于P，可知四边形HEPM为矩形，
则CM=MP+CP=HE+EC=1+2=3，
故选：B．
【点拨】本题考查了线段最值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型．
8．A
【分析】
过点C作，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，当时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点C作，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，
当时，PQ有最小值，即直线与直线的距离为，
，
，
，
，
,
解得：，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
9．A
【分析】
先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，在Rt△AMD中根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出AD的值，最后根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】
连接PD，BD，
∵PB=PD，
∴PM+PB=PM+PD，
连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，
∴这个P点就是要的P点，
又∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，∠ADM=30°
∵M为AB的中点，
∴MD⊥AB，
∵MD=9，
∴AD2= +
解得： AD=
∴AB=．
故选：A．
【点拨】本题考查的是菱形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握所学知识，属中等难度．
10．C
【分析】
作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，DQ，则AP=A'P，DQ=EF=1，当A'，P，Q，D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于A'D-DQ的长，求得A'D的长，即可得到AP+PQ的最小值．
【详解】
如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，DQ，
则AP=A'P，DQEF=1，
∴AP+PQ=A'P+PQ，
∴当A'，P，Q，D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于A'D﹣DQ的长，
在Rt△AA'D中，A'D5，
∴A'D﹣DQ=5﹣1=4，
∴AP+PQ的最小值等于4．
故选：C．
【点拨】考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．D
【分析】
根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，
∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，
∴OG=12，
（勾股定理），
∴，
∴PD+PE的长度最小值为，
故选D．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．D
【分析】
点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．
【详解】
解：连接AD，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴AD即为AP+BP的最小值，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（3，），
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴AD=，
故选：D．
【点拨】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
13．
【分析】
如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=．
【详解】
如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形
故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2
∴∠ABD=60°
∴∠ABF=60°-30°=30°
∴AF=
∴FG=AD-AF=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想． 它的应用能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化． 特殊四边形的几何问题， 很多困难源于问题中的可动点． 如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路， 常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式， 确定运动变化过程中的数量关系， 图形位置关系， 分类画出符合题设条件的图形进行讨论， 就能找到解决的途径， 有效避免思维混乱．
14．
【分析】
把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，根据旋转的性质得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四边形HEPQ为矩形，则PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接着计算出CP，从而得到CQ的长，然后利用垂线段最短得到CG的最小值．
【详解】
解：∵△EFG为等边三角形，
∴EF＝EG，
把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，
如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，
∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，
即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，
∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，
∴CP＝CE＝＝，
∴CQ＝CP＋PQ＝＋2＝．
∴CG的最小值为．
故答案为．
【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．
15．
【分析】
在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】
解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），
∴OB＝4，OA＝1，
∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，
∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
16．
【分析】
延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，先说明B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF，由E、G分别为DB、AB的中点，再结合中位线定理得EG＝AD＝BC＝1，EG⊥AB，从而有EF，EB＝，故△EPB的周长最小值为．
【详解】
解：延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，
∵AF＝AB，∠DAB＝90°，
∴AD垂直平分BF，即B、F关于直线AD对称，
∴PB＝PF，
∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，
∵E、G分别为DB、AB的中点，
∴EG∥AD，EG＝AD＝BC＝1，FG＝AF＋AG＝4＋2＝6，
∴EG⊥AB，
∴EF＝，
EB＝，
∴△EPB的周长最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、最短距离问题、勾股定理、中位线定理，延长BA至F，使得AF＝AB，构造B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF是解决本题的关键．
17．
【分析】
连接AE，交BD于点P’，连接CP’，过点A作AM⊥CB交CB的延长线于点M，可得的最小值=AE，由∠BAM=30°，得AM=，进而即可求解．
【详解】
解：连接AE，交BD于点P’，连接CP’，过点A作AM⊥CB交CB的延长线于点M，
∵在菱形中，点A、C关于BD对称，
∴的最小值=CP’+EP’=AP’+EP’=AE，
∵，AD∥BC，
∴∠ABM=，
∴∠BAM=30°，
∴BM==2，AM=，
∵为中点，
∴BE=2，
∴ME=2+2=4，
∴AE=，即：的最小值=．
【点拨】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称—最短路线，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
18．
【分析】
作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．
【详解】
如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，
∵E，F为AB，AC的中点，BC=2，
∴，，
∵B为EQ中点，，
∴BP为的中位线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．
19．4
【分析】
以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH=BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH=GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【详解】
解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=4，EN=NC=2，∠HEC=60°，
∴BN=4=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．10
【分析】
根据正方形的性质，点A与点C是对称点，连接CE，则CE是AP+PE的最小值，运用勾股定理计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C是对称点，连接CE，则CE长是AP+PE的最小值，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=8，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD=8，∠CDE=90°，
∴CE==10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称求线段和最小值，勾股定理，熟练确定线段和的最小值线段，并灵活用勾股定理求值是解题的关键．
21．
【分析】
根据点到直线垂线段距离最短可得，当PM垂直AD时，QM最短，此时A，Q，P三点共线，由于在AMQ中，AM的长是一个定值，若使其周长最小，需满足AQ+QM的值为最小即可，进而利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：如图，
因为点P是直线AD上的一个动点，AM为定值，要使AMQ周长的最小，
则当PM垂直AD时，QM最短，此时A，Q，P三点共线，AQ的也为最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠PAB=∠QPM=90°，
∴四边形ABMP也为矩形，
∵AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，PM＝PQ，
∴QP=MP= AB=5，PA＝BM=4，
∴，，
∵在RtMPQ，且PM＝PQ，
∴，
所以AMQ周长的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查几何最值问题，解决本题的关键是要正确掌握解决几何最值问题的方法．
22．
【分析】
如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】
解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵，，
∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点，则
∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小，
∴在中，AD＝4，，
∴，
∴DF+CF的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
23．
【分析】
如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．
【详解】
解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∴AC=BD=，
∴OD=OB=OA=OC=，
∵AM=OM，AT=DT，
∴MT=OD=，
∴MT=PQ=，
∵MT∥PQ，
∴四边形PQTM是平行四边形，
∴PM=TQ，
∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，
∵∠CMT=90°，MT=，CM=，
∴CT=，
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．
24．
【分析】
在上方作，作于，作于，交于，将转化为，则的最小值为的长度，根据图形分别求和即可．
【详解】
解：在上方作，作于，作于，交于，
，
，
当、、三点共线时，最小，即为的长度，
，，
，
，，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段的长度是关键．
25．
【分析】
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得,当 时,取最小值,再求出 的面积,根据,即可得出答案．
【详解】
如图,由题意可知:当点E与点D重合时,点P位于CD边的中点P1处,即 ,
当点E与点B重合时,点P位于CB边的中点P2处,,
∴ 且,
∵为中点,∴且,
∴点P的运动轨迹是线段P1P2,
∴当 时,取最小值,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=8,BC=AD=6,
∴,,
在 中,,
∵ ,
即 ,
解得: ．
故答案:．
【点拨】本题考查了线段的最值问题以及利用切割法求一般图形的面积,解题的关键是找准线段取最值时的位置,熟练掌握切割法求面积．
26．5
【分析】
过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，，当时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
【详解】
解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点， ，
∴FE为△APM的中位线，
∴ ，
当EF取最小值时，即PM最短，
当时，PM最短，
此时 ，
∵，
在 中，，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键PM⊥AD．
27．
【分析】
首先根据菱形的性质和勾股定理求得菱形的边长，然后根据三个角是直角的四边形为矩形证明四边形是矩形，进而得到，所以的最小值即为的最小值，而当时，有最小值，此时利用三角形面积即可求解．
【详解】
连接，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
，
的最小值为．
故答案为．
【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，以及特殊四边形中的线段最值问题，关键是将所求线段转化为．
28．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形；
（2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决．
【详解】
解：（1）证明：四边形是矩形
与相等且互相平分
关于的对称图形为
，
四边形是菱形
（2）解：作于，交于，则如图所示：
沿所在直线折叠，得到
，
在中，
即的最小值为．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键．
29．（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
（2）矩形的性质和勾股定理求解．
（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝，即可得到答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得：
OC²+OD²＝2²，
∵OD＝OC，
∴OC＝；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝3，
∴OC＝OD＝，
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∴CQ＝，
即PE+PQ的最小值为．
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.
30．（1）见解析；（2）135°；（3）BM长的最大值为4，最小值为1．
【分析】
（1）延长DE至F，使EF=DE，连接CF，证明△AED≌△CEF，得到AD=CF，∠A=∠ACF，证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据平行线的性质得到∠MPD=∠ABD、∠NPD+∠PDC=180°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）延长CB至H，连接FH，AH，根据三角形中位线定理得到BM=FH，根据勾股定理求出AH，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：（1）延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，
在△AED和△CEF中，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，
∴AB∥CF，
∵AD＝DB，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）解：∵M、P分别为AD、BD的中点，
∴MP∥AB，
∴∠MPD＝∠ABD，
∵N、P分别为BC、BD的中点，
∴PN∥CD，
∴∠NPD+∠PDC＝180°，
∴∠NPD＝180°﹣∠PDC，
∵∠PDC＝∠E+∠ABD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°﹣∠E﹣∠ABD＝135°，
故答案为：135°；
（3）解：延长CB至H，使 连接FH，AH，
∵CM＝MF，
∴BM＝FH，
由勾股定理得，AH＝＝5，
当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2，
当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8，
∴BM长的最大值为4，最小值为1．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
31．（1）证明见解析；（2）EF＝；（3）．
【分析】
（1）如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．证明△A′HC∽△EQ′T，可得结论．
（2）如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．想办法求出EH，FH，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）注意到G为AA'的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在∠AFA'的角平分线上，因此作GH⊥AB于H，GP⊥A'F于P，则GP＝GH，根据垂线段最短原理可知GH就是所求最小值．
【详解】
（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，
∴∠TDE＝∠A＝60°，
∵DT＝DE，
∴△DET是等边三角形，
∴∠T＝∠C＝60°，
∵∠EA′F＝∠A＝60°，
∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，
∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，
∴∠TA′E＝∠A′HC，
∴△A′HC∽△EQ′T，
∴＝，
∵ET＝DE，AE＝A′E，
∴＝．
（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．
∵∠A＝60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠MDF＝60°，
∴∠MFD＝30°，
设MD＝x，则DF＝2x，FM＝x，
∵DG＝1，
∴MG＝x+1，
∴（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，
解得：x＝0.3，
∴DF＝0.6，AF＝1.4，
∴AH＝AF＝0.7，FH＝AF•sin∠A＝1.4×＝，
∵CD＝BC，∠C＝60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵A′是CD的中点，
∴BA′⊥CD，
∵BC＝2，A′C＝1，
∴BA′＝，
设BE＝y，则A′E＝2﹣y，
∴（）2+y2＝（2﹣y）2，
解得：y＝0.25，
∴AE＝1.75，
∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，
∴EF＝＝＝．
（3）解：如图3中，过点G作GH⊥AB于H，过点G作GP⊥A'F于P，过点A′作A'Q⊥AB于Q．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，
∴A'Q＝DR，
∵∠BAD＝60°，
∴A'Q＝
∵A'与A关于EF对称，
∴EF垂直平分AA'，
∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，
∴GP＝GH，
又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB
∴GH∥A'B，
∴GH＝A'Q＝，
所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了四边形综合，结合相似三角形的判定与性质，勾股定理计算是解题的关键．
32．（1）点的坐标为；（2）；（3）存在，的最大值为8．
【分析】
(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；
(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；
(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5， OM+CM＝8，分两种情况，即当O、M、C三点不在同一条直线和三点共线时，分别进行判断解决即可.
【详解】
(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为(2，3+2)；
(2)∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3 (负值舍去)，
∴OA＝3；
(3)OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，
∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OM+CM＝8.
当O、M、C三点不在同一条直线时，在△OCM中，
OC＜OM+CM＝8.
当A点运动，使得O、M、C三点在同一直线时，
此时OC= OM+CM＝8，为OC的最大值．
【点拨】本题考查了矩形的性质、同角的余角相等、勾股定理、特殊四边形的最值问题，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握在三角形中两边之和大于第三边，只有当三点共线时，C到点O的距离最大，解决本题要有良好的空间想象能力．
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