专题 18.43 直角坐标系背景下的平行四边形（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.43 直角坐标系背景下的平行四边形（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共87页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.43 直角坐标系背景下的平行四边形（专项练习）
一、填空题
1．如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P．若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 _____．

二、解答题
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，求点的坐标；
(3)若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．


3．已知中，，，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．
(1)求直线BD的表达式．
(2)在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．
(3)直线BD上是否存在点F，使为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．



4．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．
(1)求直线AC的表达式．
(2)平面内是否存在点P，使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标．
(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足的面积为30，求点Q的坐标．




5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E．
(1)求证：；
(2)请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；
(3)若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．


6．如图1，已知点C的坐标是（4，4），过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、点D，点E是线段OD上一点（不与点O、D重合），连接BE，作点O关于直线BE的对称点O'，连接CO'，点P为CO'的中点，连接BP，延长CO'与BE的延长线交于点F，连接DF．
（1）求证：∠PBF=45°；
（2）如图2，连接BD，当点O'刚好落在线段BD上时，求直线BF的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以M、O、O'、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．
（1）求点坐标；
（2）如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，求点坐标，写出解题过程．
（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；



8．已知如图，平面直角坐标系内的矩形OABC，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为（），D为AB边上一点，将△BCD沿直线CD折叠，得到△ECD，点B的对应点E落在线段OA上．
（1）求OE的长；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD方向运动，设运动时间为t，△PBD的面积为S，求S关于t的关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q为直线DE上一点，是否存在t，使得以点A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，并直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


9．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中满足关系式．
（1）求的值；
（2）在第三象限是否存在一点，使四边形的面积是三角形面积的倍，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D是坐标平面内的点，若点D与三点构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．

10．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．




11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD＝S平行四边形ABCD？若存在这样的点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．



12．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x＋5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B(﹣4，0)和点C，且与直线l1交于点D(2，m)．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；
（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．




13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C，且△ABC面积为10．
　　 　 　
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；
（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB=S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，平面直角坐标系中A（2，0），D（0，1），过O作OB⊥AD于点E，B为第一象限的点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接BC．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若OD＝BC，求证：△OBC≌△ADO；
（3）在第（2）问条件下若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N，且以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点N的坐标．




15．如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）当DP=6时，求t的值；
（3）如图2，作PF∥ x轴，交直线于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．



16．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知两点，且、满足；若四边形为平行四边形，且 ，点在轴上．
（1）如图①，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下运动，当时间为何值时，三角形的面积等于平行四边形面积的四分之一；
（2）如图②，当从点出发，沿轴向上运动，连接、，、、存在什么样的数量关系，请说明理由（排除在和两点的特殊情况）．



17．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线与的交点恰好在轴上，过点和的中点的直线交于点，线段，的长是方程的两根，请解答下列问题：
（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，在直线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


18．如图，在平面直角坐标系中，△BOC是以BO为底边的等腰三角形，点B在x轴正半轴上，△OAD是△OCB绕点O逆时针旋转60°得到的，点A在y轴正半轴上，连接DC，线段OA的长是关于x的方程x2﹣4x＋4＝0的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求四边形AOCD的面积；
（3）平面内是否存在点P，使以点D、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



19．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为．直线：与直线相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且的面积是面积的，求点D的坐标；
（3）平面内是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．



20．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4，∠AOC＝45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
（1）求出点C，B的坐标；
（2）设△APQ的面积是y，求y关于t的关系式；
（3）当t为何值时，AP⊥CB？此时，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．




21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

22．如图1，直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）若AB＝OB，则直线OA的解析式为 　　；
（2）在（1）的条件下，若OA＝2，在平面直角坐标系中是否存在点C，使得以A，B，O，C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若∠AOB＝60°，以OA为边作菱形OADE，点E在x轴上，F为菱形OADE外一点，EF⊥OF，M为OF上一点，∠EMF＝∠EMD，求证：DM＝OM+kME．





23．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．




24． 如图1，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线、及x轴于点M、N和Q．设运动时间为，连接．
①当时，求t的值．
②若四边形为平行四边形，试求出E点的坐标；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

　　　 　　　






25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝BC，点A在y轴的正半轴上，点B（﹣3，0），点C（2，0）．
（1）点A的坐标是（　 　，　 　）．
（2）点D是边AC上一点，且直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，求直线OD的表达式．
（3）点P是直线OD上一点，在x轴上是否存在点M，使以A、B、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．




26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别A（0，2）、C（2，0），∠OCA＝30°．
（1）求对角线AC所在的直线的函数解析式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以C、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27． 如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：．



28．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求点D的坐标；
（2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标．


29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝－x－1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系；
（3）当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．



30．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．


31．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．





















参考答案
1．（4，0）
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【详解】
解：在y=x+2中，当y=0时，x+2=0，
解得：x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），
在y=4x-4中，当x=0时，y=-4，
∴C点坐标为（0，-4），
联立方程组，
解得：，
∴P点坐标为（2，4），
设Q点坐标为（x，0），
∵点Q在x轴上，
∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线，
∴，
解得：x=4，
∴Q点坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，理解一次函数的图象性质，掌握平行四边形对角线互相平分，利用数形结合思想解题是关键．
2．(1)直线的解析式为；
(2)；
(3)的坐标为：或或
【解析】
【分析】
（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出，两点的坐标，进而得出线段的长，列出方程即可解答；
（3）分三种情形解答，先求得经过点的解析式，再联立，解方程组即可求解．
(1)
解：当时，，
．
设直线的解析式为，由题意得：
，
解得：．
直线的解析式为．
(2)
解：轴，
，的横坐标相同．
设，则．
为线段上一个动点，
，，
，．
．
解得：．
．
(3)
（3）如下图，当四边形为平行四边形时，


令，则，
．
，
直线的解析式为：．
令，则，
．
，
直线的解析式为：．
．
解得：．
．
如下图，当四边形为平行四边形时，

，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
当时，，
．
当四边形为平行四边形时，如下图，

，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为：，
当时，，
．
综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或．
【点拨】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．
3．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【解析】
【分析】
（1）分别求出B、D点的坐标，利用待定系数法求解析式即可求出直线BD的表达式；
（2）设点E的坐标为，利用求出t值，即可得出E点坐标；
（3）设点F的坐标为，分三种情况进行讨论，得出结果即可．
(1)
∵，由题可得，
∴，，又∵点D是AC的中点，
∴，∴设直线BD的表达式为：代入B，D可得：
，解得：，，
∴直线BD的表达式为：．
(2)
设点E的坐标为，
∵四边形ABCE是平行四边形，∴，
∴，，∴点E的坐标为．
(3)
∵点F在BD上，∴设点F的坐标为，
∴．
，∵是以AC为腰的等腰三角形，
∴当时，则，∴，
∴，解得：或．
∴点F的坐标为：或，
当时，则，∴，
，解得：或，
∴点F的坐标为或．
∴综上，点F的坐标为或或或．
【点拨】本题主要考查的是一次函数及其图像与平行四边形、等腰三角形的综合，分情况讨论是本题的关键．
4．(1)
(2)存在，
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数解析式求得的坐标，进而求得点的坐标，待定系数法求直线AC的表达式即可；
（2）过点P作y轴的垂线，垂足为Q，证明，，进而可得，，即可求得的坐标；
（3）过点B作于点H，勾股定理求得的长，进而根据三角形面积公式求得的长，由点Q在直线AC：上，设Q点坐标为，根据勾股定理列出方程即可求解．
(1)
∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
令，，令，
∴，，
∵点C为线段OB的中点，
∴，
设直线AC的表达式为，
∴，
解得：，
故直线AC的表达式为.
(2)
∵四边形ACPB是平行四边形.
∴且，且，
如图1，

过点P作y轴的垂线，垂足为Q，
∵，
∴，在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴.
(3)
如图所示，过点B作于点H，

，，
，

是等腰直角三角形

∵点Q为直线AC上一点且的面积为30，
∴，
∴，
∵点Q在直线AC：上，
∴设Q点坐标为，
∴，
∴，则，，
当时，，则，
当时，，则，
故Q点坐标为或
【点拨】本题考查了一次函数与几何图形结合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)，
(3)存在，或
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可得，，根据等角的余角相等可得，，根据即可证明；
（2）设直线的解析式为，待定系数法即可求得解析式，设，即可得的坐标，代入解析式即可求得，进而求得的坐标；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，根据中点坐标公式，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点P的坐标．
(1)
证明：由旋转得，.
又∵，
∴.
∴
在与中
∵
∴
(2)
与x轴、y轴相交于A、B两点，
令，得，则，
令，得，则
，
，
设，
，
，
点在直线上，将代入，
即，
解得，
，
,
设直线的解析式为
将点,代入得：

解得
直线的解析式为
(3)
设点P的坐标为（m ，0），点Q的坐标为，分两种情况考虑：
①若CD为边时，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
②若CD为对角线，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，或.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握利用全等三角形的判定定理AAS；利用一次函数图象上点的坐标特征；利用平行四边形的对角线互相平分的性质．
6．（1）见解析；（2）；（3）存在，M坐标为（，）或（，）或（，）．
【解析】
【分析】
（1）连接O'B，由点O关于直线BE的对称点O'，得∠OBF=∠O'BF=∠OBO'，由△BO'C是等腰三角形，点P为CO'的中点，得∠CBP=∠O'BP=∠CBO'，从而∠PBF'=∠OBC=45°；
（2）连接EO'，设OE=O'E=x，则DE=4-x，在Rt△DOE中，DO'2+O'E2=DE2，可得（8-4）2+x2=（4-x）2，解得x=8-4，E（0，8-4），设直线BF的解析式为y=kx+b，将B（4，0）、E（0，8-4）代入即得答案；
（3）过O'作O'G⊥OB于G，先求出O'、F坐标，设M（a，b），分三种情况：①以MO、O'F为对角线，②以MO'、OF为对角线，③以MF、OO'为对角线，用平行四边形对角线中点重合列方程即可求解．
【详解】
解：（1）连接O'B，如图：

∵C的坐标是（4，4），过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、点D，
∴OB=BC=4，
∵点O关于直线BE的对称点O'，
∴∠OBF=∠O'BF=∠OBO'，O'B=OB，
∴O'B=BC，即△BO'C是等腰三角形，
∵点P为CO'的中点，
∴∠CBP=∠O'BP=∠CBO'，
∴∠PBF=∠O'BF+∠O'BP=∠OBO'+∠CBO'=（∠OBO'+∠CBO'）=∠OBC=45°；
（2）连接EO'，如图：

在Rt△BOD中，OB=OD=4，
∴BD==8，
∵点O关于直线BE的对称点O'，
∴OE=O'E，O'B=OB=4，∠EO'B=∠EOB=90°，
∴∠DOE=90°，DO'=BD-O'B=8-4，
设OE=O'E=x，则DE=4-x，
在Rt△DOE中，DO'2+O'E2=DE2，
∴（8-4）2+x2=（4-x）2，
解得x=8-4，
∴E（0，8-4），
设直线BF的解析式为y=kx+b，将B（4，0）、E（0，8-4）代入得：
，解得，
∴直线BF的解析式为y=（1-）x+8-4；
（3）存在以M、O、O'、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
过O'作O'G⊥OB于G，如图：

∵△BOD是等腰直角三角形，
∴△O'BG是等腰直角三角形，
∵O'B=OB=4，
∴O'G=BG=4，
∴OG=OB-BG=4-4，
∴O'（4-4，4），
∵C（4，4），
设直线CO'为y=mx+n，则，
解得，
∴直线CO'为y=（）x+8-8，
联立BF、CO'解析式得，
解得，
∴F（，），
设M（a，b），以M、O、O'、F为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①以MO、O'F为对角线，如图：

此时MO的中点即是O'F的中点，而MO中点为（，），O'F中点为（，），
∴，解得，
∴M（，）；
②以MO'、OF为对角线，如图：

同理可得，解得，
∴M（，）；
③以MF、OO'为对角线，如图：

同理可得，解得，
∴M（，）；
综上所述，M坐标为（，）或（，）或（，）．
【点拨】本题考查了一次函数的综合应用，涉及轴对称变换、勾股定理应用、平行四边形的判定及性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质：对角线互相平分列方程组解决问题．
7．（1）；（2），过程见解析；（3）存在，，，．
【解析】
【分析】
（1）联立方程，解方程即可求得；
（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）解方程组：得：，
点坐标是；
（2）设点坐标是，
∵是以为底边的等腰三角形，
，
，
解得，
点坐标是；                                                       
（3）存在；
令y=0代入，得，解得：x=，
∴C（，0），
设M（x，y）如图所示：

①当AC是对角线时，x=2+-0=，y=3，
∴点M坐标是（5.5，3）；
②当AO是对角线时，x=2+0-=-1.5，y=3，
∴点M坐标是（-1.5，3）；
③当CO是对角线时，x=0+-2=1.5，y=-3，
∴点M坐标是（1.5，-3），
综上所述：点M坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．
【点拨】本题是一次函数的几何综合题，考查了交点的求法，勾股定理的应用，平行四边形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
8．（1）；（2）；（3）t=1，，或t=3，，或t=7，，
【解析】
【分析】
（1）先求出OC=6，由折叠的性质可知，再利用勾股定理求解即可；
（2）过点P作PF⊥BC交直线BC于F，连接PD，分P在线段CD上和在CD的延长线上两种情况讨论求解即可；
（3）分当AB以点A、B、Q、P为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形APQB是平行四边形的边时，当四边形AQPB是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ，
∴OC=AB=6， ，
由折叠的性质可知，DE=BD，，
∴，
（2）如图，过点P作PF⊥BC交直线BC于F，连接PD
由题意可知CP=2t
∵，∠COE=90°，
∴，∠OCE=30°，
∴∠ECB=60°，
由折叠的性质可知∠BCD=∠ECD
∴∠FCP=∠ECD=30°，
∴PF= ，
∴
设BD=DE=x，则AD=6-x，
∵，
∴，
解得x=4，
∴BD=4，
当P在线段CD上时，


当P在CD的延长线上时，


∴综上所述
（3）由（1）（2）得BD=4，，PF=t ，，
∴AD=2，
∴，，
设直线DE的解析式为，
∴，
解得，
∴直线DE的解析式为，
设，
当AB以点A、B、Q、P为顶点的平行四边形的对角线时，
∴（平行四边形两条对角线的中点坐标相同），
解得，
∴，
当AB为四边形APQB是平行四边形的边时，
∴AB∥PQ，AB=PD=6
∴
解得，
∴，；
当AB为四边形AQPB是平行四边形的边时，
∴AB∥PQ，AB=PD=6
∴
解得
∴，；
∴综上所述，当t=1，，或t=3，，或t=7，，时以点A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形；
【点拨】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．（1）；（2）存在，；（3）点D的坐标为
【解析】
【分析】
（1）由两个非负数的和为零，则这两个数都为零这一规律列方程即可求出a、b的值；
（2）存在符合条件的点P，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，先求出△ABC的面积，再用含m的代数式表示四边形ACPO的面积，且根据四边形ACPO的面积是三角形ABC面积的倍列方程，求出m的值，得到点P的坐标；
（3）点D与A、B、C三点构成平行四边形，可按照以AC、BC为邻边或以AB、AC为邻边或以AC、BC为邻边分类讨论，分别求出点D的坐标．
【详解】
（1）解：，
又，
且，
；
（2）存在，如图1，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，

则∠BEC＝90°，
由（1）得，A（0，3），B（−4，3），
∴AB∥x轴，
∴∠OCE＝∠BEC＝90°，
∴CE⊥x轴，
∵C（−2，0），
∴E（−2，3），
∴AB＝4，CE＝3，OC＝2，
∴S△ABC＝AB•CE＝×4×3＝6，
∵S四边形ACPO＝S△AOC＋S△POC，且S四边形ACPO＝S△ABC，P（−1，m）在第三象限，
∴×2×3＋×2（−m）＝×6，
解得，m＝−6，
∴P（−1，−6）；
（3）如图2，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，

∵AB∥x轴，CD∥AB，
∴点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝−2＋4＝2，
∴D（2，0）；
如图3，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，则点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝−2−4＝−6，
∴D（−6，0）；
如图，作CE⊥AB于点E，延长CE到点D，使DE＝CE，连结AD、BD，

由（1）和（2）得，B（−4，3），E（−2，3），CE⊥x轴，
∴AE＝BE，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵DE＝CE＝3，
∴CD＝6，
∴D（−2，6），
综上所述，点D的坐标是（2，0）或（−6，0）或（−2，6）．
【点拨】此题重点考查平面直角坐标系的有关知识、两个非负数的和为零，则这两个数都为零在求值问题中的应用、平行四边形的有关知识以及在平面直角坐标系中求面积、求点的坐标等知识与方法，此题难度不大，但综合性较强，是很好的练习题．
10．（1）D（-6,4），E（-3,2）；（2）点N的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质即可得到点D的坐标，过点E作EF⊥OC于F，EH⊥CD与H，则四边形EFCH是矩形，利用矩形的性质求出点E的坐标；
（2）根据平行四边形对角顶点的横、纵坐标的和分别为零求解即可．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），
∴OA=OB=3，OC=4，CD⊥OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，CD∥AB，
∴点D的坐标为（-6,4）；
过点E作EF⊥OC于F，EH⊥CD与H，则四边形EFCH是矩形，
∵点E是线段OD的中点，
∴CE=OE=DE，
∴CH=DH=3，CF=OF=2，
∴点E的坐标为（-3,2）；

（2）存在点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形
∵C（0，4），D（-6,4），E（-3,2），
∴当点N与点D为对角顶点时，N(3,2)；
当点N与点C为对角顶点时，N(-9,2)；
当点N与点E为对角顶点时，N(-3,6)；
∴点N的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定定理及性质定理，熟记各定理是解题的关键．
11．（1），面积为24；（2）存在，M点坐标或
【解析】
【分析】
（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得到A、B的坐标，然后根据平移方式即可得到C、D的坐标，由此即可求解；
（2）设M坐标为，则，求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
解得，，，
∴，，
∵将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴，，     
S四边形ABCD=4×6=24；             
（2）在y轴上存在一点M，使S四边形ABCD，
设M坐标为，
∴，                 
解得或
∴M点坐标或．


【点拨】本题主要考查了坐标与图形，根据平移方式确定点的坐标，四边形面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（1）；（2）(﹣2，7)；（3）(2，0)或(2，6)或(﹣2，4)．
【解析】
【分析】
（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出G，E两点的坐标，进而得出线段GE的长，列出方程即可解答；
（3）分三种情形解答，先求得经过点H的解析式，再联立，解方程组即可求解．
【详解】
解：（1）∵当x＝2时，y＝﹣2+5＝3＝m，
∴D(2，3)．
设直线l2的解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得： ．
∴直线l2的解析式为．
（2）∵EF⊥x轴，
∴G，E的横坐标相同．
设G(n，﹣n+5)，则E(n，)．
∵E为线段BC上一个动点，
∴﹣n+5＞0，＞0，
∴FG＝﹣n+5，FE＝．
∴EG＝FG﹣FE＝＝6．
解得：n＝﹣2．
∴G(﹣2，7)．
（3）如下图，当四边形AHCD为平行四边形时，

令x＝0，则，
∴C(0，2)．
∵CH∥AD，
∴同理可得：直线CH的解析式为：y＝﹣x+2．
令x＝0，则y＝﹣1×0+5＝5，
∴A(0，5)．
∵AH∥CD，
∴直线AH的解析式为：．
∴．
解得：．
∴H(﹣2，4)．
如下图，当四边形AHDC为平行四边形时，

∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵AH∥DC，
∴直线AH的解析式为，
∴当x＝2时，，
∴H(2，6)．
当四边形ADHC为平行四边形时，如下图，

∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵CH∥AD，
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，
当x＝2时，y＝﹣2+2＝0，
∴H(2，0)．
综上，存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：(2，0)或(2，6)或(﹣2，4)．
【点拨】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．
13．（1）直线BC的解析式为y=﹣x+4；（2）满足条件的点G坐标为（0，）或（0，﹣1）；（3）存在，满足条件的点D的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形：①当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．求出．②当时，如图中，同法可得，利用待定系数法即可解决问题．
（3）利用三角形的面积公式求出点的坐标，求出直线的解析式，作交直线于，此时，，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，，，再根据对称性可得解决问题．
【详解】
解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有，
．
直线的解析式为．
（2），，，
，设，
①当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．

∴∠M=∠N=90°，
∠MBF+∠BFM=90°，
四边形是正方形，
∴FG=QG，∠FGQ=90°，
∴∠MBF+∠NBQ=90°，
∴∠MFB=∠NGQ
，
，，
，
点在直线上，
，
，
．
②当时，如图中，同法可得，

点在直线上，
，
，
．
综上所述，满足条件的点坐标为或．
（3）存在

如图3中，设，，
，
，
，
，，直线的解析式为，
作交直线于，此时，，
当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，，，
根据对称性可得点关于点的对称点，也符合条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或，．
【点拨】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线．
14．（1）y＝x＋1；（2）见详解；（3）（−3，0）或（3，0）或（7，0）
【解析】
【分析】
（1）设直线AD的解析式为：y＝kx＋b，把A（2，0）、D（0，1）代入y＝kx＋b，解之可得答案；
（2）先证明∠OAD=∠COB，再利用AAS证明△OBC≌△ADO即可；
（3）先求出B（1，2），再分两种情况：①当ON为边时，根据平行四边形的对边平行且相等可得BM∥AN且BM＝AN，令y＝2求出点M的坐标，从而得到BM的长度；②当ON为对角线时，设N（n，0），M （m，m＋1），列出方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）设直线AD的解析式为：y＝kx＋b，
把A（2，0）、D（0，1）代入y＝kx＋b，得：，
解得：，
∴直线解析式为y＝x＋1；
（2）∵OB⊥AD，
∴∠OAD+∠AOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠COB，
在△OBC和△ADO中，
∵
∴△OBC≌△ADO（AAS）；
（3）∵△OBC≌△ADO，
∴CO=OA=2，
∵BC=OD=1，
∴B（1，2）
∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①如图，当ON为边时，

∴BM∥x轴，且BM＝ON，
∴x＋1＝2，解得x＝−2，
∴点M的坐标为（−2，2），
∴BM＝1−（−2）＝1＋2＝3，
N在点O的左边时，ON＝BM＝3，
∴点N的坐标为（−3，0），点N在点O的右边时，ON＝BM＝3，
∴点N的坐标为（3，0），
②当ON为对角线时，设N（n，0），M （m，m＋1），
则，解得：，

∴点N的坐标是（7，0），
综上所述，点N的坐标为（−3，0）或（3，0）或（7，0）．
【点拨】本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，综合性较强，画出图形，分类讨论是解题的关键．
15．（1）；（2）t=2或t=-6；（3） P（6，6）或（，）
【解析】
【分析】
（1）设直线AB的解析式为，先求出C的坐标，然后用待定系数法求出AB的解析式即可；
（2）由题意可得P（t,），D（t，-t），则，由此求解即可；
（3）先求出F的坐标，E点的坐标，根据AE=PF，求解即可．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为，
∵C的横坐标为-2，且C在上，
∴C（-2，2），
∴，
解得
∴直线AB的解析式为：；
（2）∵动点P的横坐标为t，
∴P（t,），D（t，-t），
∴，
∴
解得t=2或t=-6   
（3）由（2）得P（t,），
∵PF∥x轴，且F在直线y=-x上，
∴点P和F的纵坐标相同，
∴F（，），
∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，
∴AE=PF，
∵E（t，0）
∴
解得或
∴ P（6，6）或（，）．
【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行线的性质，绝对值等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16．（1）1或3；（2）∠APD =∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB-∠CDP，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由非负数的性质求出a，b，得到AB的长，结合点C坐标求出平行四边形ABCD的面积，再根据的面积等于平行四边形面积的，列出方程，解之即可；
（2）分点P在线段OC上和点P在OC的延长线上，两种情况，过P作PQ∥AB，利用平行线的性质求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴a=-4，b=3，
即A（-4，0），B（3，0），
∴AB=3-（-4）=7，又C（0，4），
∴OC=4，
∴平行四边形ABCD的面积=4×7=28，
由题意可知：PC=2t，则OP=，
∵的面积等于平行四边形面积的，
∴，
解得：t=1或t=3，
（2）如图，当点P在线段OC上时，
过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，
∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，
∴∠APD=∠DPQ+∠APQ=∠CDP+∠PAB；

当点P在OC的延长线上时，
过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，
∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，
∴∠APD=∠APQ-∠DPQ=∠PAB-∠CDP．

【点拨】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握坐标和图形的关系，将坐标与线段长进行转化，同时适当添加辅助线，构造平行线．
17．（1）；（2）存在，点的坐标为：或或
【解析】
【分析】
（1）先解方程可得CD和DE的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA＝30°，分别计算AC、BD、DM的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM的长，得D的坐标；
（2）分三种情况：①以CF为边时，在CF的上方，②以CF为边，在CF的下方，③以CF为对角线时，分别根据平移规律求点P的坐标
【详解】
（1），，或6，
∵，∴，，∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，中，，
∴，∵，
∴，
∴，，∴；
（2）①∵，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，∴
∴当与重合时，如图1，四边形是平行四边形，
∵，∴，
∴，
∴，，
中，，，
∴，∴；

②如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，由①知：，∴，中，，，
∴，

∴，连接，∵，，
∴，∴，，
∴，∴，由①知：，
由到的平移规律可得到的平移规律，则，即；
③如图3，四边形是平行四边形，

同理知：，，，∴；
综上所述，点的坐标为：或或．
【点拨】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，通过求Q的坐标来求P的坐标，根据平移规律得出结果．
18．（1）D（，3）．（2）2．（3）点P的坐标为（3，3）或（﹣，3）或（，﹣3）．
【解析】
【分析】
（1）先解方程，求得OA的长，再过点D作DH⊥y轴，根据Rt△ADH中的边角关系，求得点D的坐标；
（2）先运用SAS判定△DOC≌△BOC，得出CD＝BC，进而判定四边形AOCD是菱形，并计算菱形的面积；
（3）根据平行四边形的不同位置，分三种情况，得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）解方程x2﹣4x+4＝0，得x＝2，
∴OA＝2，
由旋转可得，AD＝BC＝OC＝OA＝2，∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠CBO＝∠BOC＝∠AOD＝∠ADO＝30°，
过点D作DH⊥y轴于点H，则∠HAD＝60°，∠HDA＝30°，
在Rt△ADH中，AD＝2，
∴AH＝1，HD＝，
∴OH＝3，
∴点D的坐标为（，3）．

（2）∵∠BOC＝∠AOD＝30°，
∴∠COD＝30°，
在△DOC和△BOC中
，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴CD＝BC，
∴CD＝OC＝OA＝AD，
∴四边形AOCD是菱形，
∴菱形OACD的面积＝AO×DH＝2．
（3）存在．连接BD，过O作BD的平行线，过B作OD的平行线，过D作OB的平行线，交于P1、P2、P3三点，则四边形P1DOB、四边形P2OBD、四边形P3BDO均为平行四边形
由OB＝OD，∠BOD＝60°可知，△OBD是等边三角形，
∴四边形P1DOB、四边形P2OBD、四边形P3BDO均为菱形，
∴P1、P2、P3三点离x轴的距离＝OH＝3，
如图，在Rt△ADH中，HD＝，OH＝3，
∴OD＝2，
又∵P1H＝P1D+DH＝2+＝3，P2H＝P2D﹣DH＝2﹣＝，
∴P1（3，3），P2（﹣，3），
又∵P3与D关于x轴对称，D（，3），
∴P3（，﹣3），
故点P的坐标为（3，3）或（﹣，3）或（，﹣3）．

【点拨】本题属于四边形综合题，考查了几何变换中的旋转，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，解题时需要运用四边相等的四边形是菱形这一判定方法，并且注意菱形的面积等于底乘高，有时需要根据菱形对角线的长度求菱形的面积．此外，在判断平行四边形第四个顶点的位置时，需要进行分类讨论，不能遗漏．
19．（1）；（2）点的坐标为或；（3）存在，，，
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点C的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）由（1）中求得的解析式，可求得点A的坐标，过点作轴，垂足为点；过点作轴，垂足为点，设点D的坐标为(0，y)，根据面积关系则可得关于y的方程，解方程即可求得y的值，从而可得点D的坐标；
（3）利用平移的性质分三种情况讨论即可．
【详解】
（1）∵点C在直线上，且横坐标是1，
∴把代入中，得，
∴点C的坐标为．
设直线的解析式为，将点B，C的坐标代入，得
解得
∴直线的解析式为．
（2）∵点A是直线与轴的交点，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标为．
如图，过点作轴，垂足为点；过点作轴，垂足为点．

由点C的坐标为，可得，，
设点D的坐标为．
依题意，得，
即．
解得，即．
∴点的坐标为或．
（3）存在
①若平行四边形以OA、OC为邻边，则∥OA，且=OA=3
因此把点C(1，2)沿OA方向平移3个长度单位即可得到点
∴点的坐标为(4，2)
②若平行四边形以OA、AC为邻边，则∥OA，且=OA=3
因此把点C(1，2)沿AO方向平移3个长度单位即可得到点
∴点的坐标为(－2，2)
③若平行四边形以OC、AC为邻边，则∥AC，且=AC
∵C(1，2)，A(3，0)
∴点C(1，2)沿y轴向下平移2个单位长度再向右平移2个单位长度即可得到点A
∴点O沿y轴向下平移2个单位长度再向右平移2个单位长度即可得到点
∴点的坐标为(2，－2)

综上所述，满足条件的点E的坐标为，，．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，平行四边形的性质，平移变换的性质等知识，涉及分类讨论思想、方程思想、待定系数法等思想方法．具有一定的难度，是中考常考题型．
20．（1）B（12，4），C（4，4）；（2）y＝t2﹣4t+16（0≤t≤4）；（3）存在，点M的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）
【解析】
【分析】
（1）作CD⊥OA于点D，则△OCD是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标；
（2）过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，根据行程问题中速度、时间与距离之间的关系，用含t的代数式表示线段EQ、FQ、PC、PB的长，再由S△APQ＝S平行四边形OABC﹣S△OAQ﹣S△CPQ﹣S△APB，将△APQ的面积用含t的代数式表示并进行整理，即得到y关于t的关系式；
（3）当AP⊥CB时，则PA＝PB＝4，可求出此时t的值，再求出OE、QE的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以AP、AQ、PQ为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1，作CD⊥OA于点D，则∠ODC＝90°，

∵∠AOC＝45°，
∴∠DOC＝∠DCO＝45°，
∴OD＝CD，
∵OD2+CD2＝OC2，OC＝4，
∴2CD2＝（4）2，
∴OD＝CD＝4，
∴D（4，0），C（4，4），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝8，
∴xB＝4+8＝12，
∴B（12，4）.
（2）如图2，过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，则EF＝4，

∵∠OEQ＝90°，∠AOC＝45°，
∴∠EOQ＝∠EQO＝45°，
∴OE＝QE，
∵OE2+QE2＝OQ2，OQ＝t，
∴2QE2＝（t）2，
∴OE＝QE＝t，
∴QF＝4﹣t，
∵S△APQ＝S平行四边形OABC﹣S△OAQ﹣S△CPQ﹣S△APB，CP＝2t，BP＝8﹣2t，
∴y＝8×4﹣×8t﹣×2t（4﹣t）﹣×4（8﹣2t），
∴y＝t2﹣4t+16（0≤t≤4）．
（3）如图3，当AP⊥CB时，则PA＝4，∠OAP＝∠APB＝90°，
∵∠ABC＝∠AOC＝45°，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴PB＝PA＝4，
∴2t＝8﹣4，
解得，t＝2，
当平行四边形APQM1以AQ为对角线，设QM1交x轴于点E，
∵QM1∥PA，
∴∠OEQ＝∠OAP＝90°，
∴OE＝QE＝t＝1×2＝2，
∵QM1＝PA＝4，
∴EM1＝4﹣2＝2，
∴M1（2，﹣2）；
当平行四边形PAQM2以PQ为对角线，则QM2∥PA，QM2＝PA＝4，
∴EM2＝2+4＝6，
∴M2（2，6）；
当平行四边形AQPM3以AP为对角线，作M3G⊥CB交CB的延长线于点G，
∵PM3∥AQ，
∴∠APM3＝∠PAQ，
∴∠APB﹣∠APM3＝∠OAP﹣∠PAQ，
∴∠GPM3＝∠EAQ，
∵∠G＝∠AEQ＝90°，PM3＝AQ，
∴△PGM3≌△AEQ（AAS），
∴PG＝AE＝8﹣2＝6，GM3＝QE＝2，
∵xP＝12﹣4＝8，
∴xG＝8+6＝14，
∴M3（14，2），
综上所述，点M的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）．

【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系与平行四边形综合，准确计算是解题的关键．
21．（1）C（4，0），y＝﹣x+5；（2）M；（3）存在，满足条件的点D的坐标为（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C，设直线BC的表达式为y＝kx+b，将B、C的坐标代入求解即可；
（2）根据S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO求解即可；
（3）设直线AM的表达式为，，求出AM的解析式，然后分三种情况：①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时；②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时；③当BC为平行四边形的对角线时，讨论求解即可.
【详解】
解：（1）直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，5），
即OA＝2，OB＝5，
∵△ABC面积为15，
∴（OA+OC）•OB＝15，
∴OC＝4，
∴C（4，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
解得：
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+5；
（2）∵S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO＝15﹣×2×5＝10，
∴S△ACM＝×6×ym＝10，解得：ym＝，
∴
解得：xm＝，
∴M（，）；
（3）∵A（﹣2，0），M（，），
设直线AM的表达式为，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：
∴直线AM的表达式为：y＝x+2．
①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：

∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（7，0）；
②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F，

∵四边形BDEC为平行四边形，
∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，
∴△BDC≌△ECD（SAS），
∴EF＝OB，
∵B（0，5），
∴EF＝OB＝5，
∴点E的纵坐标是﹣5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7，
∴OF＝7，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，

∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），
∴DF＝OC，
∵C（4，0），
∴DF＝4，
∴OD＝4+7＝11，
∴D（﹣11，0）；
③当BC为平行四边形的对角线时，

∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（1，0）．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
【点拨】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．（1）y＝x；（2）（4，2）或（0，﹣2）或（0，2）；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）由，设的坐标为，代入直线求出，写出直线即可；
（2）由、求出的坐标为，再分四边形为平行四边形或平行四边形或平行四边形讨论，根据平行四边形性质两组对边分别平行且相等求出的坐标即可；
（3）由，得，由四边形是菱形，得，证出，得，再，得，再设，得，，即，结合四边形内角和为得，得，再用勾股定理得，得，再由，得，故．
【详解】
解：（1），
设的坐标为且，
将代入直线，
得：，
，
故答案为：；
（2）存在，理由：

，
，
，
的坐标为，
①若四边形为平行四边形，
，，
的坐标为，
②若四边形为平行四边形，
，，
的坐标为，
③若四边形为平行四边形，
，，
的坐标为，
综上，的坐标为或或；
（3）证明：如图，过点作，

，，
，
四边形是菱形，
，，
在与中，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
设，
，
，，
，
四边形的内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
设的坐标为，，
将代入直线，
得：，
，
，
．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数待定系数法，勾股定理，全等的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，角平分线的性质，直角三角形所对的边等于斜边的一半，四边形的内角和，根据平行四边形边的性质分类讨论是（2）小问的关键，利用角平分线性质证全等作为突破口是（3）小问关键．
23．（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；（4）或或
【解析】
【分析】
（1）在直线中，分别令x=0，y=0，可得A，B坐标；
（2）由翻折不变性可知，，，，在中，，利用，即可求解；
（3）证明，则，，即可求解；
（4）分是边、是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）对于直线，令，得到，
，
令，得到，
．
．；
（2）由（1）可得：．，
，，
，
，
由翻折不变性可知，，，，
，设，
在中，，
，
，
解得，
；
（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、，
过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，
交过点与轴的平行线于点，

为等腰直角三角形，故，
，，
，
，，
，
，，
即，，
解得：，，
故点的坐标为、点；
由于、的位置可能互换，故点的坐标为、点；
综上，点的坐标为或；
（4）点是的中点，则点，而点，
设点，点，
①当是边时，
点向右平移1个单位向下平移3个单位得到点，
同样点右平移1个单位向下平移3个单位得到点，
故且或且，
解得：或，
故点的坐标为或；
②当是对角线时，
由中点公式得：且，
解得：，故点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
24．（1）A（6，0），C（2，2）；（2）① t=2或6；②（，）；（3）或或或
【解析】
【分析】
（1）根据A是一次函数与x轴的交点令y=0得到x=6，联立一次函数和正比例函数的解析式，从而可得A、C点的坐标；
（2）①根据绝对值方程即可解决问题；②四边形CMEN是平行四边形则CM∥EN，CN∥ME，即可得到，，设直线ME的解析式为，直线EN的解析式为，求出，，然后联立和即可求解；
（3）根据菱形的性质，分OC为菱形的边和对角线进行讨论求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）对于直线，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．
联立，
解得，
∴C（2，2），
（2）①设M（6-t，-（6-t）+3），N（6-t，6-t），
∴MN=|-（6-t）+3-（6-t）|=|t-6|，
∵OA=2MN，
∴6=2|t-6|，
解得t=2或6；
②∵四边形CMEN是平行四边形
∴CM∥EN，CN∥ME，
∴，，
设直线ME的解析式为，直线EN的解析式为
把M（6-t，-（6-t）+3）代入中，
∴，
把N（6-t，6-t）代入中，
∴
∴直线ME的解析式为，直线EN的解析式为

解得：
∴E的坐标为（，）；
（3）∵C（2，2），
∴
当OC为菱形的边时，可得（，0），（，0），（，0），
当OC为菱形的对角线时，可得（2，0），
∴或或或时以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形.

【点拨】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．（1）0，4；（2）y＝2x；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（﹣5，0）
【解析】
【分析】
（1）设点A的坐标为(0，y)，AB=BC，由勾股定理列方程，即可求解；
（2）直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，可知OD是Rt△AOC的中线，则可求得的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形的平移和中点公式分别求解即可．
【详解】
（1）设点A的坐标为(0，y)，AB=BC，
则(0+3)2+y2=(2+3）2，
解得，
的坐标为，
故答案为：0，4；
（2）直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，
OD是Rt△AOC的中线，
为的中点，
，，
，即，
设直线的表达式为，
将代入求得，
直线的表达式为，
（3）点P是直线OD上一点，点M在x轴上，
设，，
①当是边时，点向右平移4个单位，向上平移3个单位得到，
将按如此方式平移可得，
即或，
解得或，
，
②当是对角线时，由中点公式可得，
，
解得，
．
综上所述，点的坐标为：，，．

【点拨】本题考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、中点公式的运用等，分类讨论是解题的关键．
26．（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为，，
【解析】
【分析】
（1）根据A（0，2）、C（2，0）直接用待定系数法求解析式即可；
（2）如图，过点作轴于点，根据，得进而求的，根据含30度直角三角形的性质可得,勾股定理可得，进而求得，即可求得点的坐标；
（3）分为平行四边形时，为平行四边形时，为平行四边形时三种情况写出点P的坐标即可．
【详解】
（1）设直线的解析式为，
将点A（0，2）、C（2，0）代入得：
，
解得：，
直线的解析式为．
（2）如图，过点作轴于点，


∠OCA＝30°，
，
翻折，
，，
，
，
，
在中，
，
，
．
（3）存在点P，使得以C、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，
如图所示，分三种情况考虑：


①当为对角线时，为平行四边形时，，
的纵坐标为，横坐标为，
，
②当为对角线时，为平行四边形时，，
的纵坐标为，横坐标为，
，
③当为对角线时，为平行四边形时，
A（0，2）、C（2，0）,
， ，
，
四边形为菱形，
菱形为轴对称图形，为对角线时，
点P3关于OC的对称点为点D，
P3，
综上所述，点的坐标为，，．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠问题，勾股定理，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，综合运用以上知识点是解题的关键．
27．（1），，，；（2）存在，或；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由非负数的性质得出，且，求出，，得出，，由平移的性质得，；
（2）设，由（1）由（1）得：，，∴，进而可得关于x的方程，即可得出答案；
（3）由平移的性质得，由平行线的性质得出，证出，即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵m，n满足，
∴，且，
∴，，
∴，，
由平移的性质得：，；


（2）解：存在，理由如下：
设，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）证明：由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行四边形的面积、三角形面积等知识；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
28．（1）点D的坐标为（1，2）；（2）存在，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）；（3）点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）
【解析】
【分析】
（1）设点C的坐标为（m，2），根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出OA，然后写出点D的坐标即可．
（2）根据直线解析式求出△EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CEB＝∠ECB＝45°，再根据平行线的性质可得∠DCE＝∠CEB＝45°，然后判断出△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①∠D＝90°时，根据点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解．
（3）根据平行四边形对边平行且相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上，求出OM的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中心的坐标，再求出点E关于中心的对称点，即为点M．
【详解】
（1）设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y＝x﹣2上，
∴2＝m﹣2，
∴m＝4，
即点C的坐标为（4，2），OB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，
∴OA=OB-AB=4-3=1，
∴点D的坐标为（1，2）．
（2）存在．
在y＝x﹣2中，令y=0，得x=2，即OE=2
∴BE=OB-OE=2
∴BE=BC
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB＝∠ECB＝45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P1，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P1的横坐标为1，
把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，
∴点P1（1，﹣1）；
②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，
所以，点P2的横坐标为，
把x＝代入y＝x﹣2得，y＝，
所以，点P2（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）．
（3）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴OE＝2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3，
∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），
若CE是对角线，则EM＝CD＝3，
OM＝OE+EM＝2+3＝5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2），
设点M的坐标为（x，y），
则＝，＝2，
解得x＝3，y＝4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）．

【点拨】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质 ，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟悉各性质是解题的关键，难点在于（2）（3）分类讨论．
29．（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或．
【解析】
【分析】
（1）分别求出两个函数时，的值，由此即可得出答案；
（2）先求出点的坐标，从而可得的面积，再利用的面积与、面积之间的关系即可得；
（3）先根据（2）的结论求出点的坐标，再分①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形；③四边形是平行四边形三种情况，利用平行四边形的对角线性质求解即可得．
【详解】
解：（1）对于函数，
当时，，即，
对于函数，
当时，，即；
（2），
，
联立，解得，即，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上，即时，

，
，
②如图，当点在射线上，且位于点右侧，即时，

，
，
综上，；
（3）当时，，解得，
对于函数，
当时，，即，
设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①当四边形是平行四边形时，则对角线与互相平分，
因此有，解得，
即此时点的坐标为；
②当四边形是平行四边形时，则对角线与互相平分，
因此有，解得，
即此时点的坐标为；
③当四边形是平行四边形时，则对角线与互相平分，
因此有，解得，
即此时点的坐标为；
综上，存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、平行四边形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
30．（1）；（2），；（3），或，或，
【解析】
【分析】
（1）由旋转可知，，，，过点作轴于点，求出，，再由待定系数法求直线的解析式；
（2）设，已知可知、为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求，；
（3）设，，，分三种情况讨论：①当、为平行四边形的对角线时，，；②当、为平行四边形的对角线时，，；③当、为平行四边形的对角线时，，．
【详解】
解：（1）轴绕点顺时针旋转交轴于点，
，
点，
，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
过点作轴于点，

，
，，
，，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
；
（2）设，
四边形为平行四边形，
、为平行四边形的对角线，
的中点，，的中点，，
，，
，，
，；
（3）在直线上，在轴上，
设，，，
①当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
②当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
③当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
综上所述：点的坐标为，或，或，．
【点拨】本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用平行四边形的性质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键．
31．（1）y＝x+；（2）△AOB的面积为；（3）存在， M的坐标为（，3）或（﹣，3）或（﹣，﹣3）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解一次函数解析式；
（2）令x＝0可求得OD的长，继而可求得S△BOD和S△AOD的面积，所以△AOB的面积S△AOB＝S△BOD+S△AOD；
（3）分情况讨论求解即可：平行四边形MCOB①以OB、CM为对角线；②以BC、OM为对角线；③以BM、CO为对角线．
【详解】
解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）在中，令x＝0得，
∴OD＝，
∴S△BOD＝OD•|xB|＝××1＝，
S△AOD＝OD•|xA|＝××2＝，
∴△AOB的面积S△AOB＝S△BOD+S△AOD＝；
（3）存在，理由如下：
在中，令y＝0得，
∴C（，0），
设M（m，n），而B（1，3），O（0，0），
①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：

∴，
解得：，
∴M（，3）；
②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：

∴，
解得，
∴M（，3）；
③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：

∴，
解得，
∴M（，﹣3）；
综上所述，M的坐标为：M（，3）或M（，3）或M（，﹣3）．
【点拨】本题考查一次函数的综合运用，涉及到待定系数法求解析式、平行四边形的性质、三角形的面积，解题的关键是根据平行四边形对角线互相垂直平分，列出关于m、n的方程组求解．