甘肃省张掖市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

甘肃省张掖市2021—2022学年第一学期期末高一年级学业水平质量检测数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，则为（    ）

A.  B. 2 C. 3 D. 或3

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数的定义域求解.

【详解】因为，

所以．

故选：C

2. 若，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D. a，b大小不确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据作差比较法可得解.

【详解】解：因为

，

所以．

故选：B.

3. 已知幂函数在上单调递减，则（    ）

A.  B. 5 C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数的定义，求得或，再结合幂函数的性质，即可求解.

【详解】解：依题意，，故或；

而在上单调递减，在上单调递增，故，

故选：C.

4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项

【详解】对于A：为偶函数，在定义域上不是增函数，故A不正确；

对于B：为奇函数，在上单调递增，但在定义域上不是增函数，故B不正确；

对于C：既不是奇函数也不是偶函数，故C不正确；

对于D：，所以是奇函数，因为是上的增函数，故D正确；

故选：D

5. 函数的单调递减区间是（    ）

A. （） B. （）

C. （） D. （）

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦函数单调性，解得到答案.

【详解】解：，令，，解得，，故函数的单调递减区间为；

故选：A.

6. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，求出函数零点，根据零点个数，排除ABC，即可得出结果.

【详解】该函数的定义域为，由，得，所以可知函数只有一个零点，故排除ABC

故选：D

7. 设，，，则，，的大小关系（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比大小.

【详解】由已知得，，且，

，所以.

故选：A.

8. 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为3000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，，）（    ）

A 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年

【答案】B

【解析】

【分析】设经过年之后，投入资金为万元，根据题意列出与的关系式；1亿元转化为万元，令，结合参考数据即可求出的范围，从而判断出选项.

【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，

由题意可得：，即，

所以，

即，

又因为，所以，

即从2027年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.

故选：B．

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 下列关系式错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.

【详解】A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；

B选项根据子集的定义可知正确；

C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；

D选项是整数集，所以正确.

故选：AC.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 手表时针走过小时，时针转过的角度为

B. 把化为弧度是

C. 命题“若角的终边经过点，则 ”为真命题

D. 已知角为第二象限角，且，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：利用正角和负角的定义判断； 对于B：利用角度制和弧度制互化判断； 对于 C：利用三角函数的定义求解判断； 对于 D：利用平方关系和象限角的符号判断.

【详解】对于A：因为时针顺时针旋转，所以针转过的角为负角，，故错误；

对于B：，故正确；

对于 C：到原点Ｏ的距离，所以，故正确；

对于 D：根据得，，又因为角为第二象限角，所以，故正确；

故选：BCD

11. 若函数只有一个零点3，那么函数的零点是（ ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由列方程，求得的关系式，由此求得的零点.

【详解】由题意知，∴，，

∴，使，则或.

故选：AB.

12. 已知定义在上的奇函数满足. 当时，，则下列结论正确的是（    ）

A. 的图象关于轴对称 B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】先由题意求得函数的周期，然后逐项判断.

【详解】解：因为函数是奇函数，所以，的图象关于原点对称，

又函数满足，所以，

则，即，所以，

所以函数的周期，故AC错误；

又当时，，所以，故B正确

所以.故D正确

故选：BD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“，”的否定为____.

【答案】，

【解析】

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.

故答案为：，.

14. 已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为____.

【答案】4

【解析】

【分析】由扇形的面积公式列方程即可求解.

【详解】扇形的面积，即，解得：.

故答案为：.

15. 函数定义域为____.

【答案】∪

【解析】

【分析】根据题意列出满足的条件，解不等式组

【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.

故答案为：∪.

16. 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为____.

【答案】

【解析】

【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.

【详解】解：变形为：，即在上恒成立．

令，

若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；

当时，画出两个函数的图象，

要想满足在上恒成立，只需，即，解得：．

综上：实数a的取值范围是.

故答案为：

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

17. 已知全集，集合，集合.

（1）若，求；

（2）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合，利用补集和交集的定义可求得；

（2）分析可知且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，则或，

，因此，.

【小问2详解】

解：因为“”是“”必要不充分条件，于是得且，

所以，，解得.

所以实数的取值范围是.

18. 化简计算：

（1）计算：；

（2）化简：．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数运算法则、对数运算法则求得结果.

（2）利用诱导公式化简，结合同角商数关系即可求解.

【详解】（1）

；

（2）

.

19. 已知函数.

（1）请用“五点法”画出函数在上的图象（先列表，再画图）；

（2）求在上的值域；

（3）求使取得最值时的取值集合，并求出最值．

【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）取五个值，列表描点连线即可得出答案；

（2）根据图象求出的范围，即可得出答案；

（3）根据正弦函数最值即可得出答案.

【小问1详解】

列表如下：

在直角坐标系中描点连线，如图所示：

【小问2详解】

当时，，所以，所以.

所以在上的值域为

【小问3详解】

当时，取最大值2

令，则

当时，取最小值－2

令，则

所以使取得最大值时的取值集合为，且最大值为2

取得最小值时的取值集合为，且最大值为－2.

20. 设函数．

（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；

（2）当时，在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，是方程的解，利用韦达定理求解，代入，结合一元二次函数、方程、不等式的关系求解即可；

（2），代入转化不等式为，换元法求解的最大值即可

【小问1详解】

因为不等式的解集是，

所以是方程的解

由韦达定理

解得 

故不等式为，

即

解得或

故不等式得其解集为或

【小问2详解】

当时，

在上恒成立，

所以 

令，则

令，则，

由于均为的减函数

故在上为减函数

所以当时，取最大值，且最大值为3  

所以

所以

所以实数的取值范围为.

21. 某公司今年年初用万元收购了一个项目，若该公司从第年到第（且）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为万元，该项目每年运行的总收入为万元．

（1）试问该项目运行到第几年开始盈利？

（2）该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：

①当盈利总额最大时，以万元的价格卖出；

②当年平均盈利最大时，以万元的价格卖出．

假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．

【答案】（1）第年   

（2）选择方案②，理由见解析

【解析】

【分析】（1）设项目运行到第年盈利为万元，可求得关于的函数关系式，解不等式可得的取值范围，即可得出结论；

（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.

【小问1详解】

解：设项目运行到第年的盈利为万元，

则，

由，得，解得，

所以该项目运行到第年开始盈利．

【小问2详解】

解：方案①，

当时，有最大值．

即项目运行到第年，盈利最大，且此时公司总盈利为万元，

方案②，

当且仅当，即时，等号成立．

即项目运行到第年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为万元.

综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．

22. 函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定的解析式

（2）判断 在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；

（3）解关于的不等式．

【答案】（1）   

（2）增函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解

（2）由函数的单调性的定义证明

（3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解

【小问1详解】

根据题意，函数是定义在上的奇函数，

则，解可得；

又由，则有，解可得；

则

【小问2详解】

由（1）的结论，，在区间上为增函数；

证明：设，

则

又由，

则，，，，

则，即

则函数在上为增函数.

【小问3详解】

由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.

，

解可得：，

即不等式的解集为.