广东省深圳市深圳高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

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深圳高级中学（集团）2021-2022学年第一学期期末考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1 已知集合，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，解不等式求出集合，再进行交集运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知原命题为假命题，故命题的否定为真命题，再利用，即可得到答案.【详解】由题意可得“”是真命题，故或.故选：A.3. “”是“”的（　　）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式得：或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4. 已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.【详解】令，则，所以函数（，且）的图象恒过点，又角的终边经过点，所以，故选：A.5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计的大小，由此确定它们的大小关系.【详解】∵是第二象限角，∴，∵ 指数函数在上为减函数，且，∴，∴ ，∵为上的增函数，∴，∴故选：B.6. 设正实数满足，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.7. 函数的部分图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A，B；再由时的函数值符号即可判断作答.【详解】函数定义域为，其 图象可由函数的图象右移3个单位而得，而，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此，函数图象关于点对称，选项A，B不满足；又当时，，，即有，则当时，图象x轴上方，D不满足，所以函数的部分图象大致为C.故选：C8. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（    ）参考数据：参考时间轴：A. 宋 B. 唐 C. 汉 D. 战国【答案】D【解析】【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，当时，，于是得：，解得，由得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 下列四个命题，其中为假命题的是(    )A. 若函数f(x)在上是增函数，在上也是增函数，则f(x)是增函数B. y＝x＋1和表示同一函数C. 函数的单调递增区间是D. 若函数值域是，则实数a＝0或【答案】ABC【解析】【分析】A：根据单调性的定义即可判断；B：同一函数，定义域相同，对应关系相同；C：对数型复合函数单调性根据“同增异减”原则在定义域内进行研究；D：根据开口向上的二次函数的值域计算方法求出参数a即可.【详解】A中，如在上是增函数，在上也是增函数，但不能说为增函数，故A是假命题；B中，与的对应关系不同，故B是假命题；C中，，在单调递减，在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故C为假命题；D中，若函数的值域是，，则，解得或，故D是真命题，故选：ABC．10. 函数s=f（t）的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（    ）A. 函数s=f（t）的定义城为[-3，-1]∪[0，+∞）B. 函数s=f（t）的值域为（0，5]C. 当s∈[2，4]时，有三个不同的t值与之对应D. 当时，【答案】ABD【解析】【分析】直接由函数定义域和值域对应关系可判断，结合单调性定义可判断D.【详解】由函数图象可知，函数s=f（t）的定义域为[-3，-1]∪[0，+∞），值域为（0，5]，故AB正确；当时，有三个不同的t值与之对应，当时，有两个不同的t值与之对应，故C错；因为函数s=f（t）在上单调递增，所以当时，，故D正确；故选：ABD11. 设函数，则在下列区间中函数存在零点的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】结合图象，再计算端点处的函数值，根据零点存在定理可判断每个选项的正误.【详解】 ,由于 ，故 ，所以 ，故在上存在零点， ，由于 ，，故在 上存在零点，也在上存在零点，取 ，则，而，故在上存在零点，作出函数 的图象，如图：由于  ，，结合图象可知在上没有零点，故选：BCD  【点睛】12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）A. 函数为偶函数B. C. 若，则的最小值为D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】AC【解析】【分析】A选项，化简得到，判断出偶函数；B选项，代入求解即可；C选项，结合最大值为1，最小值为及题干条件得到，或，进而得到的最小值为；D选项，平移变换得到函数解析式.【详解】，为偶函数，A正确；，B错误；最大值为1，最小值为，又，所以，或，当时，，，，，故，，的最小值为；同理当时，的最小值为；综上：的最小值为，C正确；函数的图象向右平移个单位长度得到函数，D错误；故选：AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的值为_______【答案】【解析】【分析】直接按照诱导公式转化计算即可．【详解】tan300°=tan（300°﹣360°）=tan（﹣60°）=﹣tan60°=故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值．一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化．14. 若函数，则______．【答案】##0.5【解析】【分析】首先计算，从而得到，即可得到答案.【详解】因为，所以.故答案为：15. 已知，则___________.【答案】##-0.28【解析】【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，则.故答案为：.16. 设当时，函数取得最大值，则__________.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.【详解】由辅助角公式可知，，，，当，时取最大值，即，，故答案为.四､解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 计算：（1）；（2）.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式18. 已知为第三象限角，且.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；    （2）﹒【解析】【分析】(1)利用三角函数的诱导公式即可化简；(2)根据求出sinα，＝－cosα＝即可求得﹒【小问1详解】．【小问2详解】∵，∴，又为第三象限角，∴，∴．19. 已知函数．（1）求函数的最小正周期与单调增区间；（2）求函数在上的最大值与最小值．【答案】（1），单调增区间    （2），【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；（2）利用整体法求函数的最值.【小问1详解】解：，函数的最小正周期，令，解得，所以单调递增区间为【小问2详解】，，，即，所以，.20. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】（1）    （2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【解析】【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案【小问1详解】由题意知，当时，，所以a=300.当时，；当时，.所以，【小问2详解】当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.21. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标：（2）先把图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.【小问1详解】由题意可得：，可得，所以，因为，所以，可得，所以，由可得，因为，所以，，所以.令可得，所以对称中心为.【小问2详解】由题意可得：，当时，，，若关于的方程有实数根，则有实根，所以，可得：.所以实数的取值范围为.22. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若函数，讨论函数的零点个数.【答案】（1）    （2）    （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意条件，分别求解的定义域和解对数不等式即可完成求解；（2）通过题意条件，找到和两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；（3）通过题意条件，通过讨论的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求解.【小问1详解】函数，由，可得，即的定义域为；不等式，所以，即为，解得，则原不等式的解为；【小问2详解】函数，若存在，使得成立，则和在上的值域的交集不为空集；由（1）可知：时，显然单调递减，所以其值域为；若，则在上单调递减，所以的值域为，此时只需，即，所以；若，则在递增，可得的值域为，此时与的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数的范围是；【小问3详解】由，得，令，则，画出图象，当，只有一个，对应3个零点，当时，，此时，由，得在，三个分别对应一个零点，共3个，在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当时，只有1个零点，当或时，有3个零点，当时，有5个零点.【点睛】方法点睛：对于“存在，使得成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.