海南省海口中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份海南省海口中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

海南省海口中学2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）
1．已知集合M＝{x|x2≤4}，N＝{x|2x＜4}，则M∩N＝（　　）
A．{x|x≤﹣2} B．{x|﹣2≤x＜2} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|0＜x＜2}
2．“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（　　）
A．y＝x3 B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+1 D．
4．已知a＝log23，b＝2﹣0.4，c＝0.52.1，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
5．已知α为第三象限角，且sinα+cosα＝﹣，则sinα﹣cosα＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（　　）
A．2 B．3 C．1 D．4
7．已知直线x＝是函数f（x）＝sin（ωx+）（ω∈N*）图象的一条对称轴，|f（x）|的最小正周期不小于，则f（x）的一个单调递增区间为（　　）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]
8．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x2，则函数g（x）＝|sin（2πx）|﹣f（x）在区间上的所有零点的和为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
二、多选题（每小题5分，漏选的2分，错选，不选的0分，共20分）
9．下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞ab
C．若a＞b＞0，则ab＞b2 D．若|a|＞|b|，则a2＞b2
10．下列关于函数的表述正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期T＝4π
B．是函数f（x）的一条对称轴
C．是函数f（x）的一个对称中心
D．函数f（x）在区间上是增函数
11．设函数f（x）＝，若f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值可以是（　　）
A． B．1 C．﹣1 D．2
12．已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），当x∈[0，2]时，，当x＞2，f（x）＝mf（x﹣2）（m为非零常数）．则下列说法正确的是（　　）
A．当m＝2时，f（5.5）＝2
B．当m＞1时，函数f（x）的值域为[0，+∞）
C．当时，y＝f（x）的图象与曲线y＝log4x的图象有3个交点
D．当0＜m＜1，n∈N+时，y＝f（x）的图象与直线y＝2mn﹣1在[0，2n]内的交点个数是2n﹣1
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．化简2lg5+lg4﹣5的结果为 　 　．
14．已知角α终边上一点P与点A（﹣1，2）关于y轴对称，角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，则sinα+sinβ＝　 　．
15．当x+y＞0，z＞﹣1，满足＝1时，有x+y+2z≥t2﹣2t﹣1恒成立，则实数t的取值范围为 　 　．
16．已知函数，ω＞0的图像在区间[﹣1，1]上恰有三个最低点，则ω的取值范围为 　 　．
四、解答题（请写出必要的推理过程，演算步骤，只写答案不给分）
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．
（1）利用“五点法”完成下面表格，并画出函数f（x）在区间[，]上的图像．
2x﹣





x





f（x）






（2）解不等式f（x）．






18．（12分）已知3sinα﹣2cosα＝0，求下列各式的值：
（1）；
（2）sin2α﹣2sinαcosα+4cos2α．

19．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）﹣1（ω＞0），且f（x﹣π）＝f（x）．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若关于x的方程f（x）＝a在[0，]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．








20．（12分）2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中P1：f（t）＝at+b（a，b∈R）是按直线上升的地价，P2：g（t）＝clog2（d+t）（c，d∈R）是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数．2009年对应的t值为0．
（1）求f（t），g（t）的解析式；
（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．（参考数据：lg2≈0.3）

21．（12分）已知函数（a＞0且a≠1）．
（1）若，求f（﹣2）的值；
（2）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为，求a的值．








22．（12分）已知二次函数y＝f（x）满足对任意x∈R，都有f（﹣1﹣x）＝f（﹣1+x），
f（0）＝﹣3，y＝f（x）的图象与x轴的两个交点之间的距离为4．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）记g（x）＝f（x）+kx+5，x∈[﹣1，2]．
（ⅰ）若g（x）为单调函数，求k的取值范围；
（ⅱ）记g（x）的最小值为h（k），若方程h（t2﹣4）＝λ有两个不等的根，求λ的取值范围．

【参考答案】
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）
1．B
【解析】∵M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{x|x＜2}，
∴M∩N＝{x|﹣2≤x＜2}．故选：B．
2．A
【解析】sinα＝等价于或，
所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．
3．B
【解析】函数y＝x3是奇函数，不满足条件；
函数y＝|x|+1是偶函数又在（0，+∞）单调递增，满足条件；
函数y＝﹣x2+1是偶函数，但在（0，+∞）单调递减，不满足条件；
函数是非奇非偶函数，不满足条件；故选：B．
4．C
【解析】a＝log23＞log22＝1，
∵b＝2﹣0.4＝0.50.4，y＝0.5x 在R上单调递减，
∴b＝0.50.4＞0.52.1＝c，
∵0＜b＜1，0＜c＜1，∴a＞b＞c．故选：C．
5．D
【解析】因为α为第三象限角，且sinα+cosα＝﹣，
两边同时平方得，1+2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝，
则（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣2×＝，
所以sinα﹣cosα＝，故选：D．
6．A
【解析】设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得2r+l＝40，
∴扇形的面积S＝lr＝•l•2r≤2＝100．
当且仅当l＝2r＝20，即l＝20，r＝10时取等号，
此时圆心角为α＝＝2，
∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．故选：A．
7．B
【解析】由题意得，，所以0＜ω≤3，
因为ω∈N*，所以ω＝1或2或3，
当ω＝1时，f（x）＝sin（x+），此时x＝不是函数f（x）的对称轴，
当ω＝2时，f（x）＝sin（2x+），此时x＝是函数f（x）的对称轴，
ω＝3时，f（x）＝sin（3x+），此时x＝不是函数f（x）的对称轴，
故ω＝2，f（x）＝sin（2x+），
令≤2x+，得≤x≤．故选：B．
8．A
【解析】定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可以得出函数f（x）在上的图象，进而得出函数
f（x）在的图象．
令h（x）＝sin（2πx），可得周期T＝＝1，画出其图象，进而得出函数y＝|sin（2πx）|的图象．由图象可得：函数g（x）＝|sin（2πx）|﹣f（x）在区间上共有10个零点，所有零点的和＝5×2×1＝10．
故选：A．

二、多选题（每小题5分，漏选的2分，错选，不选的0分，共20分）
9．CD
【解析】对于A：当c＝0时，不等式的不成立，故A错误；
对于B：当a＞b＞0时，a2＞ab成立，故B错误；
对于C：由于a＞b＞0，则ab＞b2，故C正确；
对于D：由于若|a|＞|b|，则a2＞b2，故D正确．故选：CD．
10．AD
【解析】对于函数，
对于A：由于函数的周期T＝，故A正确；
对于B：当x＝时，f（）＝2sin，故B错误；
对于C：根据选项B的结论，故C错误；
对于D：由于，所以，故D正确．
故选：AD．
11．AB
【解析】作出函数f（x）＝，图象如下：

又f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，
所以函数f（x）＝，与直线y＝a有三个交点，
由图象可得：0＜a≤1．故选：AB．
12．BC
【解析】已知f（x）＝mf（x﹣2）（m为非零常数）可转化f（x+2）＝2f（x），则f（5.5）＝f（3.5+2）＝2f（3.5）＝2f（1.5+2）＝4f（1.5）＝4×1＝4．故A项错误；
当m＞1时，f（x+2）＝mf（x），由已知当x∈[0，2]时，f（x）的值域为[0，2]，当x∈（2，4]时，f（x）的值域为[0，2m]，当x∈（4，6]时，f（x）的值域为[0，2m2]，随着x的依次取值，值域将变为[0，+∞），故B项正确；
当时，y＝f（x）的图象与曲线y＝log4x的图象如图所示，
故C项正确；
由于0＜m＜1，不妨取m＝，则y＝f（x）的图象与曲线y＝2mn﹣1在[0，2n]内的交点个数问题可以由图像交点个数来判断，由于n∈N+，则曲线y＝2（）n﹣1 的图像为孤立的点，画出图像判断，

故D项错误．故选：BC．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．0
【解析】原式＝2lg5+2lg2﹣2＝2（lg5+lg2）﹣2＝2﹣2＝0，故答案为：0．
14．0
【解析】角α终边上一点P与点A（﹣1，2）关于y轴对称，P（1，2）；
角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，Q（1，﹣2）；
由三角函数的定义可知sinα＝，sinβ＝，
所以sinα+sinβ＝＝0．故答案为0．
15．[﹣2，4]
【解析】∵x+y＞0，z＞﹣1，＝1，
∴x+y+2z＝x+y+2（z+1）﹣2＝[（x+y）+2（z+1）]•（+）﹣2
＝5++﹣2≥5+2﹣2＝7，当且仅当x+y＝z+1＝3时取等号，∴t2−2t﹣1≤7，解得﹣2≤t≤4，
∴实数t的取值范围为[﹣2，4]，
故答案为：[﹣2，4]．
16．[，）
【解析】∵函数，ω＞0的图像在区间[﹣1，1]上恰有三个最低点，
ωx+∈[﹣ω，+ω]，∴﹣＜﹣ω≤﹣，且≤+ω＜，
求得≤ω＜，
则ω的取值范围为[，），
故答案为：[，）.
四、解答题（请写出必要的推理过程，演算步骤，只写答案不给分）
17．解：（1）对于函数f（x）＝sin（2x﹣）在区间[，]上的图像，
先列表：
2x﹣
0

π

2π
x





f（x）
0

0
﹣
0
作图：

（2）不等式f（x），即sin（2x﹣）≥，
∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
故原不等式的解集为{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}．
18．解：因为3sinα﹣2cosα＝0，所以tanα＝＝，
（1）＝+＝+＝+＝；
（2）sin2α﹣2sinαcosα+4cos2α＝
＝＝＝．
19．解：（1）由f（x﹣π）＝f（x），∴函数f（x）＝2sin（ωx﹣）﹣1的周期为π，
∴＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x﹣）﹣1，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；
（2）作出函数f（x）＝2sin（2x﹣）﹣1，x∈[0，]的图象如图所示，

直线y＝a与f（x）只有一个交点时关于x的方程f（x）＝a在[0，]上有且只有一个解，由图象可知实数a的取值范围为[﹣2，0）．
20．解：（1）由题意知，f（0）＝60，f（12）＝120，
所以，解得，
所以f（t）＝5t+60，t≥0，
又g（0）＝60，g（12）＝120，
所以，解得，
故g（t）＝30log2（4+t），t≥0．
（2）若按照模型P1：f（t）＝5t+60，到2025年时，t＝16，f（16）＝140，
直线上升的增长率为＞10%，不符合要求，
若按照模型P2：g（t）＝30log2（t+4），到2025年时，t＝16，
g（16）＝30log220＝30（log210+1）≈30×（3.32+1）＝129.6，
对数增长的增长率为，符合要求，
综上所述，应选择模型P2．
21．解：（1）因为，
所以f（x）为奇函数，故；
（2），
若0＜a＜1，则y＝ax+1单调递减，y＝单调递增，
可得为减函数，
当x∈[﹣1，1]时，，解得，符合题意；
若a＞1，则y＝ax+1单调递增，y＝单调递减，
可得，为增函数，
当x∈[﹣1，1]时，，解得a＝3，符合题意，
综上所述：a的值为或3．
22．解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由题意知对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，∵f（0）＝﹣3，∴c＝﹣3，
∴f（x）＝ax2+2ax﹣3，
设f（x）＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣，
由已知：|x1﹣x2|＝＝＝4，解得a＝1，
∴f（x）＝x2+2x﹣3．
（2）（i）g（x）＝f（x）+kx+5＝x2+（k+2）x+2，其对称轴为，
∵g（x）为单调函数，
∴﹣≤﹣1或﹣，解得k≥0或k≤﹣6，
∴k的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[0，+∞）．
（ii）g（x）＝x2+（k+2）x+2，x∈[﹣1，2]，对称轴x＝﹣，
①当﹣≤﹣1，即k≥0时，g（x）在区间[﹣1，2]单调递增，
∴h（k）＝g（x）min＝g（﹣1）＝1﹣k，
②当﹣≥2，即k≤﹣6时，g（x）在区间[﹣1，2]单调递减，
∴h（k）＝g（x）min＝g（2）＝2k+10，
③当﹣1＜﹣＜2，
即﹣6＜k＜0时，
h（k）＝g（x）min＝g（﹣）＝，
∴h（k）＝，
函数φ（t）＝h（t2﹣4）﹣λ零点即为方程h（t2﹣4）＝λ的根，
令t2﹣4＝m≥﹣4，即h（m）＝λ，
作出h（m）的简图，
如图，

①当λ＝1时，h（m）＝1，m＝﹣4或m＝0，解得t＝0或t＝±2，有3个零点；
②当λ＜1时，h（m）＝λ有唯一解m1＞0，解得t＝±，有2个零点；
③当1＜λ＜2时，h（m）＝λ有两个不同解m2，m3∈（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0），
解得t＝±或t＝，有4个零点；
④当λ＝2时，h（m）＝2，m＝﹣2，
解得t＝±，有2个零点；
⑤当λ＞2时，h（m）＝λ无解，无零点．
综上，当λ＝2或λ＜1时，有2个零点．