河北省廊坊市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

高一期末考试试题

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4本试卷主要考试内容：人教版必修第一册第一章至第五章前四节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合B，再根据交集的定义即可得解.

【详解】解：因为，所以．

故选：A.

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式即可求得答案.

【详解】.

故选：B.

3. 指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可

【详解】因为指数函数在R上单调递减，

所以，得，

所以实数a的取值范围是，

故选：D

4. 若用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：

则方程的一个近似根（精度为0.1）为（    ）

A. 0.56 B. 0.57 C. 0.65 D. 0.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用零点存在性定理和精确度要求即可得解.

【详解】由表格知在区间两端点处的函数值符号相反，且区间长度不超过0.1，符合精度要求，

因此，近似值可取此区间上任一数．

故选：B

5. 关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】只需要满足条件即可.

【详解】由题意，解得.

故选：C.

6. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先解对数不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】由，得.

因为，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

7. 某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（    ）（参考数据：取）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.

【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，

由题意得，

得，

所以至少需要5次提炼，

故选：A.

8. 已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.

【详解】因为，所以的周期为．

当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减．

因为，且

所以．

故．

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数为偶函数的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义逐项判断可得答案.

【详解】因为，函数，所以为偶函数；

因为，，所以为偶函数；

因为，，所以为偶函数；

因为，函数，所以为奇函数；

故选：ABD.

10. 已知，且，则的取值可以是（    ）

A. 8 B. 9 C. 11 D. 12

【答案】CD

【解析】

【分析】由，得，则，然后利用基本不等式求解即可

【详解】因为，所以，则.

因为，所以，

所以（当且仅当时，等号成立），

则

因为，所以，即.

故选：CD

11. 已知函数，则下列结论错误的是（    ）

A. 的最小正周期是π B. 的图象关于点对称

C. 在上单调递增 D. 是奇函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项按照公式直接计算周期；B选项直接代入检验；C选项直接计算单调递增区间即可；D选项按照奇函数定义进行判断.

【详解】因为，所以A正确；因为，所以的图象不关于点对称，所以B错误；令，解得，当时，，因为，所以在上不单调，则C错误；因为，所以不是奇函数，则D错误.

故选：BCD.

12. 若，，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由变形后取对数，根据对数函数性质判断A，同理得出的关系式，利用对数函数的单调性判断B，已知等式同构变形，构造函数，由函数的单调性可判断C，由AC中的等式变形可得，从而判断D．

详解】由，得，所以，即，A正确.

由，得，所以，B正确.

由，得，即，构造函数，因为在上单调递增，且，所以，C错误.

将代入，得，即，解得，D正确.

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. 已知，且，写出一个满足条件的的值：______.

【答案】0（答案不唯一）

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函数值求解的值.

【详解】因为，所以，，则，或，，同时满足即可.

故答案为：0

14. 已知函数则___________.

【答案】5

【解析】

【分析】先求出，再根据该值所处范围代入相应的解析式中计算结果.

【详解】由题意可得，则，

故答案为：5.

15. 某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.

【答案】12

【解析】

【分析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，列方程求解即可.

【详解】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则.

故答案为：12.

16. 若，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】一元二次不等式，对任意的实数都成立，与x轴最多有一个交点；由对勾函数的单调性可以求出m的范围.

【详解】由，得.由题意可得，，即.因为，所以，故.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）-2；    （2）18.

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算性质化简求值即可.

（2）由有理数指数幂与根式的关系及指数幂的运算性质化简求值.

【小问1详解】

原式．

【小问2详解】

原式．

18. 已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知条件运用诱导公式可得到，从而可求出.再次运用诱导公式即可求出的值；

（2）根据齐次式即可求出的值．

【小问1详解】

由原式得，所以，解得，

故．

【小问2详解】

.

19. 已知函数．

（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；

（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域．

【答案】（1）f（x）为奇函数，理由见解析   

（2）证明见解析    （3）[－，－2]

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；

（2）由单调性的定义证明；

（3）由单调性得值域．

【小问1详解】

f（x）为奇函数．

由于f（x）的定义域为，关于原点对称，

且，所以f（x）为在上的奇函数

（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）

【小问2详解】

证明：设任意，，

有．

由，得，

，

即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增．

【小问3详解】

由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，

故f（x）的最大值为，最小值为，

所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]．

20. 已知函数，，且在上的最小值为0.

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）求的最大值以及取得最大值时x的取值集合.

【答案】（1）最小正周期为，   

（2）3，

【解析】

【分析】（1）直接利用周期公式可求出周期，由可求出增区间，

（2）由得，从而可求出最小值，则可求出的值，进而可求出函数解析式，则可求出最大值以及取得最大值时x的取值集合

【小问1详解】

的最小正周期为.

令，，

解得，.

所以的单调递增区间为.

【小问2详解】

当时，.

，

解得.

所以.

当，，即，时，取得最大值，且最大值为3.

故的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为

21. 冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元

【解析】

【分析】(1)根据题意，分段写出年利润的表达式即可；

（2）根据年利润的解析式，分段求出两种情况下的最大利润值，比较大小，可得答案.

【小问1详解】

当时，；

当时，.

所以；

【小问2详解】

当时，.

当时，取得最大值，且最大值为950.

当时，

当且仅当时，等号成立.

因为，

所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元.

22. 已知函数．

（1）当时，解方程；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，，求出，把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果；

（2）⇔|a+1|≥2x−12x，令，，则对任意恒成立，利用函数的单调性求出的最大值，再求解绝对值不等式可得实数的取值范围．

【小问1详解】

解：当时，，．

原方程等价于且，，

即，且，，所以，且．

令，则原方程化为，整理得，

解得或，即或（舍去），所以．故原方程的解为．

【小问2详解】

解：因为，所以，即．

令，因为，所以，．

则恒成立，即上恒成立，

令函数，因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增．

因为，，所以，则，所以，

解得或．故的取值范围是．