河南省信阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份河南省信阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知命题，则为， 函数的单调递增区间为， 若，则， 设，且，则的最小值是等内容，欢迎下载使用。
2021—2022学年度高一上学期期末教学质量检测数学试题一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题知，进而根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：由题知，，所以.故选：A2. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式化简计算即可【详解】，故选：B3. 已知命题，则为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定为存在命题，分析即得解【详解】由题意，命题由全称命题的否定为存在命题，可得：为故选：D4. 已知函数的值域为，则实数m的值为（    ）A. 2 B. 3 C. 9 D. 27【答案】C【解析】【分析】根据对数型复合函数的性质计算可得；【详解】解：因为函数的值域为，所以的最小值为，所以；故选：C5. 若“”是“”的充分不必要条件，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】转化“”是“”的充分不必要条件为，分析即得解【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件故故故选：B6. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然､更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横､竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片长､宽比例为，设，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可得，即可得到，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；【详解】解：依题意，所以，所以故选：B7. 下列各选项中的两个函数的图象关于y轴对称的是（    ）A. 与 B. 与 C. 与 D. 与【答案】A【解析】【分析】根据题意，逐一分析各选项中两个函数的对称性，再判断作答.【详解】对于A，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，而点与关于y轴对称，则与的图象关于y轴对称，A正确；对于B，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，而点与关于原点对称，则与的图象关于原点对称，B不正确；对于C，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，而点与关于x轴对称，则与的图象关于x轴对称，C不正确；对于D，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，而点与关于直线y=x对称，则与的图象关于直线y=x对称，D不正确.故选：A8. 函数的单调递增区间为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质,即可求得其单调递增区间.【详解】由辅助角公式,化简三角函数式可得由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足解得即单调递增区间,故选：B9. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由得：，则故选：A10. 设，且，则的最小值是（    ）A.  B. 8 C.  D. 16【答案】B【解析】【分析】转化原式为，结合均值不等式即得解【详解】由题意，故则当且仅当，即时等号成立故选：B11. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，圆的半径为，依题意可得，解得；故选：C12. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性、偶函数的性质，结合零点的定义进行求解即可.【详解】因为，所以函数的周期为，当时，，即，因为函数偶函数且周期为，所以有，所以在区间上零点的个数为，故选：C二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13. 幂函数的图象过点，则___________.【答案】【解析】【分析】设，代入，求解可得，再代入求解即可【详解】由题意，设，过点可得，解得故故答案为：14. 下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）【答案】（1）（3）【解析】【分析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.【详解】用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求故答案为：（1）（3）15. ___________.【答案】1【解析】【分析】由直接计算即可.【详解】.故答案为：1.16. 《三十六计》是中国古代兵法策略，是中国文化的瑰宝.“分离参数法”就是《三十六计》中的“调虎离山”之计在数学上的应用，例如，已知含参数的方程有解的问题，我们可分离出参数（调），将方程化为，根据的值域，求出的范围，继而求出的取值范围，已知，若关于x的方程有解，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】参变分离可得，令，构造函数，利用导数求解函数单调性，分析可得的值域为，即得解【详解】由题意，，故又，，令故，令，故在单调递增由于时故的值域为故，即实数的取值范围为故答案为：三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；【详解】解：（1）（2）18. 已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）    （2），【解析】【小问1详解】由题意，解得，即故小问2详解】由题意即，又，故故19. 已知函数（，且）.（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.（2）利用复合函数的单调性的判断可知，然后依据题意可得进行计算即可.【小问1详解】由题意可得，即，因为，所以解得.故的定义域为.【小问2详解】假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1.设函数，由，得，所以在区间上为减函数且恒成立，因为在区间上单调递减，所以且，即.又因为在区间上的最大值为1，所以，整理得，解得.因为，所以，所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为120. 已知函数为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最小值，并求取最小值时x的值.【答案】（1）    （2）在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.【解析】【分析】（1）根据函数为R上的奇函数，由求解；（2）由（1）得到，令，转化为二次函数求解.小问1详解】解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，所以，经检验满足题意；【小问2详解】由（1）知：，，另，因为t在上递增，则，函数转化为，当时，取得最小值-4，此时 ，即，解得，则，所以在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.21. 观察下列各等式：，，.（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.【答案】（1）    （2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用第三个式子，结合特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）用两角和的正弦公式展开，代入化简，结合，即得解【小问1详解】由题意，【小问2详解】根据题干中各个式子的特点，猜想等式：证明：左边即得证22. 整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.（1）当时，求的长；（2）求三角形区域面积的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角函数表达出长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.【小问1详解】设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为【小问2详解】过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，故三角形区域面积的最大值为