江苏省泰州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021~2022学年度第一学期期末考试

高一数学试题

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合，利用交集的定义可得结果.

【详解】，故.

故选：C.

2. 已知命题，则命题的否定为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.

【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：

命题的否定为：.

故选：D

3. 已知，则的大小关系为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先对三个数化简，然后利用指数函数的单调性判断即可

【详解】，，，

因为在上为增函数，且，

所以，

所以，

故选：B

4. 的零点所在的一个区间为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据零点存在性定理分析判断即可

【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，

因为，

，

所以，

所以的零点所在的一个区间为，

故选：A

5. 若函数和．分别由下表给出：

则不等式的解集为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题中的条件进行验证即可.

【详解】当时，有成立，故是不等式的解；

当时，有不成立，故不是不等式的解；

当时，有成立，故是不等式的解.

综上：可知不等式的解集为.

故选：C

6. 设定义在上的函数满足：当时，总有，且，则不等式的解集为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将不等式变形后再构造函数，然后利用单调性解不等式即可.

【详解】由，令，

可知当时，，所以在定义域上单调递减，

又，即，

所以由单调性解得.

故选：A

7. 将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点仍在函数的图象上，则的最小值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数和直线图象，根据图象，利用数形结合方法可以得到的最小值.

【详解】画出函数和直线的图象如图所示，

是它们的三个相邻的交点.

由图可知，当在点，在点时，的值最小，

易知的横坐标分别为,所以的最小值为，

故选：B.

8. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（    ）．

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.

详解】,

由，

，

即，

，当且仅当，即时等号成立，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若实数、满足，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断AC选项，利用函数单调性可判断BD选项.

【详解】对于A选项，取，，则，A错；

对于B选项，因为函数为上的增函数，故，B对；

对于C选项，取，，则，C错；

对于D选项，因为指数函数为上的增函数，则，D对.

故选：BD.

10. 已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（    ）．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】BC

【解析】

【分析】利用函数的图象，数形结合得到关于的不等式组，解得的取值范围，进而作出判定.

【详解】画出函数的图象，关于的一元二次不等式的解集为函数图象在轴下方的部分对应的点的横坐标的集合，由函数的图象的对称轴为,所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得，解得,

故选：BC.

11. 已知函数，下列说法正确的是（    ）．

A. 函数的图象恒过定点

B. 函数区间上单调递减

C. 函数在区间上的最小值为0

D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式求解可判断D.

【详解】代入函数解析式，成立，故A正确；

当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；

当时，，所以，故C正确；

当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.

故选：ACD

12. 已知函数，下列说法正确的是（    ）．

A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为

C. 函数是周期为的周期函数 D. 函数在上单调递减

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.

【详解】由于，又函数的定义域为，

所以定义域关于原点对称，

而，

故为奇函数，A正确，

由于，所以，

从而，B正确，

，

所以不是周期为的周期函数，C错误，

由于在上单调递减，所以在上单调递减，

从而在上单调递增，则在上单调递减，

则在上单调递减，D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

13. ________．

【答案】

【解析】

【分析】利用对数、指数的运算性质化简可得结果.

【详解】原式.

故答案为：.

14. 若幂函数在区间上是减函数，则整数________．

【答案】2

【解析】

【分析】由题意可得，求出的取值范围，从而可出整数的值

【详解】因为幂函数在区间上是减函数，

所以，解得，

因为，

所以，

故答案为：2

15. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数．当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是________．

【答案】

【解析】

【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解.

【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，

将代入可得.

故答案为：.

16. 已知，若，则________．

【答案】1

【解析】

【分析】由已知条件可得，构造函数，求导后可判断函数在上单调递增，再由，得，从而可求得答案

【详解】由题意得，

，

令，则，

所以在上单调递增，

因为，

所以，所以，

故答案为：1

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边过点．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）当时，；当时，

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式、同角三角函数基本关系化简求解；

（2）分，分别由定义求出三角函数值求解即可.

【小问1详解】

由角的终边过点，得，

所以．

【小问2详解】

当时，，．

所以．

当时，，．

所以．

综上，当时，；

当时，．

18. 设函数的定义域为集合的定义域为集合．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；
（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.

【小问1详解】

由，解得或，

所以．

．

当时，由，即，解得，

所以．所以．

小问2详解】

由（1）知，．

由，即，解得，

所以．

因为“”是“”的必要条件，

所以．所以，解得．

所以实数的取值范围是．

19. 已知二次函数满足．

（1）求的最小值；

（2）若在上有两个不同的零点，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的对称性可得出，再由均值不等式求解即可；

（2）根据零点的分布列出不等式组求解即可.

【小问1详解】

因为满足，

所以．

化简得．

因为对任意恒成立，

所以，即．

，当且仅当时，等号成立．

所以当时，取得最小值为．

【小问2详解】

由（1）知．对称轴方程为，

因为在上有两个不同的零点，

所以

解得．

所以ab的取值范围是．

20. 已知定义在上的函数，其中，且．

（1）试判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）为上的奇函数；证明见解析   

（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可，

（2）由题意可得，得，然后分和解不等式即可

【小问1详解】

函数为奇函数．

证明：函数的定义域为，

，

即对任意恒成立．所以为上的奇函数．

【小问2详解】

由，得，即．

因为，，且，所以且．

由，即．

当，即时，解得．

当，即时，解得．

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

21. 给出以下三个条件：

①点和为函数图象的两个相邻的对称中心，且；

②；③直线是函数图象的一条对称轴．

从这三个条件中任选两个条件将下面题目补充完整，并根据要求解题．

已知函数．满足条件________与________．

（1）求函数的解析式；

（2）把函数的图象向右平移个单位长度，再将所得到的函数图象上的所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，函数的值域为，求实数的取值范围．

【答案】（1）条件选择见解析，；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）选①②，根据条件可求得函数的最小正周期，可求得的值，由②结合的取值范围，可求得的值，即可得出函数的解析式；

选①③，根据条件可求得函数的最小正周期，可求得的值，由③结合的取值范围，可求得的值，即可得出函数的解析式；

选②③，分别由②、③可得出关于的表达式，两式作差可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，再由②结合的取值范围，可求得的值，即可得出函数的解析式；

（2）利用三角函数图象变换求得，由，得，分析可知函数，的值域为，由此可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：设函数的最小正周期为，

若选择①②，由①知，．

由②知，即，则，

解得，又因为，所以，所以．

若选择①③，由①知，，

由③知，解得．

又因为，所以，所以．

若选择②③，由②知，即，

所以，由③知．

两式相减得，所以，

因为，所以．

当时，，又因为，所以，所以．

【小问2详解】

解：将向右平移个单位后得．

再把得到的函数图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

得到函数，由，得．

因为的值域为，所以，的值域为．

所以，即．所以实数的取值范围为．

22. 若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”．

（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；

（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）

【答案】（1），；   

（2）存在；，.

【解析】

【分析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；

（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.

【小问1详解】

解：因为为、的“函数”，

所以①，所以．

因为为奇函数，为偶函数，所以，．

所以②．

联立①②解得，．

【小问2详解】

解：假设存在实数、，使得为，的“函数”．

则．

①因为是偶函数，所以．

即，即，

因为，整理得．

因为对恒成立，所．

②，

因为，当且仅当，即时取等号．

所以，

由于的值域为，所以，且．

又因为，所以，．

综上，存在，满足要求．