辽宁省营口市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

营口市普通高中2021-202学年度上学期

期末教学质量检测一年级

数学试卷

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合B，然后再求两集合的交集即可

【详解】因为，，

所以，

故选：B

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题知，解不等式即可得答案.

【详解】解：要使函数有意义，则满足，解得且

所以函数的定义域是

故选：C

3. 已知与共线，则（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量共线的性质直接计算即可.

【详解】由与共线，

则，

解得，

故选：D.

4. 下列函数在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，由幂函数性质得在上单调递减，故正确；

对于B选项，由幂函数性质得在上单调递增，故错误；

对于C选项，由指数函数性质得在上单调递增，故错误；

对于D选项，由对数型复合函数的单调性得函数在上单调递减，故错误.

故选：A

5. 习总书记说“绿水青山就是金山银山”某林场牢记使命、攻坚克难，绿色种植面积以每5年的速度增长，要达到最初种植面积的10倍大约需要经过（    ）年？

A. 50 B. 100 C. 125 D. 200

【答案】C

【解析】

【分析】利用等比数列的概念，列方程求解.

【详解】设需要经过5n年，才能达到最初种植面积的10倍，则

所以

所以

故选：C

6. 甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据甲队获胜的可能情况直接计算即可.

【详解】由已知得甲对获胜可能以下分为两种情况：

①第一局甲队获胜，此时的概率为；

②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为，

综上所述，甲队获胜的概率为，

故选：D.

7. 若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题设恒成立，应用基本不等式可得求的取值范围.

【详解】，当且仅当时等号成立；

∵“，”是假命题，

∴“，”是真命题，即恒成立，

∴.

故选：B.

8. 定义在上的函数满足，且，当时都有，若，，，则、、的大小关系为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得函数的图象关于直线对称，函数在上递增，然后再利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出、、的大小

【详解】因为定义在上的函数满足，

所以函数的图象关于直线对称，

因为，当时都有，

所以函数在上递增，在上递减，，

由，得，

因为，所以，

所以，

，

因为，所以，

所以，

因为，，

所以

因为，，

所以，

所以

因为函数在上递增，

所以，

所以，即

故选：B

二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列选项中，满足是的充分不必要条件的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】AC

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得.

【详解】对于A，∵，，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要条件，故A正确；

对于B，∵即，即，∴是的充要条件，故B错误；

对于C，∵，即或，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要条件，故C正确；

对于D，∵，，取，则，由推不出；取，由推不出；故是的既不充分也不必要条件，故D错误.

故选：AC.

10. 定义域为的奇函数在区间上为减函数，且在上的最大值为9，最小值为，下列说法正确的是（    ）

A. 函数在区间上为增函数 B. 函数在区间上的最大值为3

C. 函数至少有3个零点 D. 函数至少有1个零点

【答案】BD

【解析】

【分析】根据奇函数的对称性判断AB，再由奇函数的性质及函数是否连续判断CD.

【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数在区间上为减函数，最大值为，故A错误，B正确；

由于无法确定函数是否连续，所以只能确定，函数至少有1个零点，故C错误，D正确.

故选：BD

11. 已知函数，其反函数为，实数满足，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】由题可得，然后分类讨论，即得.

【详解】∵函数，其反函数为，

∴，又实数满足，

∴，

当时，显然不合题意，故A错误；

当时，，，∴适合题意，故BC正确；

当时，，不合题意；

当时，，不合题意，故D错误.

故选：BC.

12. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 的值域为

C. 的单调递增区间为 D. 为偶函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】由题知，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为等式解为或

所以的解集为，的解集为或，

所以，

所以对于A选项，，故A选项错误；

对于B选项，当时，，当时，，所以的值域为，故正确；

对于C选项，当时，在区间上单调递增，当时，函数为常函数，所以的单调递增区间为，故正确；

对于D选项，函数图像关于对称，其图像向左平移一个单位得图像，此时图像关于对称，即关于轴对称，故为偶函数，故正确.

故选：BCD

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为，全班平均身高为，女生的平均身高为______．

【答案】

【解析】

【分析】设全班女生的平均身高为，故根据题意得，解方程即可得答案.

【详解】解：设全班女生的平均身高为，

因为该班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为，全班平均身高为，

所以，解得

所以女生的平均身高为.

故答案为：

14. 已知关于的方程的两实根平方和为13，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据韦达定理结合得出的值.

【详解】设该方程的根为，则，解得.

故答案为：

15. 为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______．

【答案】4

【解析】

【分析】根据的定义，函数的定义域和值域分析求解

【详解】因为函数，，的值域为，

所以最大取到3，最小取到，

所以的最大值为，

故答案为：4

16. 平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】设，求出，再利用基本不等式求解.

【详解】解：如图所示，设，

所以,

所以，

因为，

所以.

所以.

当且仅当时等号成立.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 从①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．

问题：已知集合______，集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)当时，，将集合化为最简形式，然后求出即可.（2）若，则，进而可得实数的取值范围.

【小问1详解】

若选择①，则，

当时，，故.

若选择②，则，

当时，，故.

若选择③，则，

当时，，故.

故当时，

【小问2详解】

由（1）可知，

若，则，解得，即实数的取值范围为.

故若，则实数的取值范围.

18. 某市共有800人参加职业技能大赛，现随机抽取了40人的比赛成绩并分成4组，第一组，第二组，第三组，第四组，第三组比第四组多4人，根据数据绘制频率分布直方图如下，

（1）求a和b；

（2）若成绩不小于90分的参赛者获一等奖，估计全市获得一等奖的人数；

（3）在第一组和第二组中按分层抽样共抽取6人，若从这6人中随机抽取2人参加座谈，求这2人来自同一组的概率．

【答案】（1）；     

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意得且，整理解方程即可得答案；

（2）由于成绩不小于90分的频率为，进而根据频率估计即可；

（3）由题知6人中，第一组有2人，第二组有4人，再根据古典概型列举基本事件，根据公式求解即可.

【小问1详解】

解：由各小矩形面积和为得：

即

又因为第三组比第四组多4人，所以，即

所以，解得 

【小问2详解】

解：成绩不小于90分的频率为

800人中成绩不小于90分的频数为

所以全市获得一等奖的人数为人.

【小问3详解】

解：第一组和第二组频率比为1：2，

所以6人中，第一组有2人，第二组有4人

设第一组2人为，第二组6人为，，，，6人中随机抽取2人

样本空间为

，共15个样本点，

设事件A为2人来自同一组

，共7个样本点，

所以，

所以2人来自同一组的概率为

19. 如图所示，中，F为BC边上一点，，若，

（1）用向量、表示；

（2），连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值．

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）由得，进而得答案；

（2）由题知，，进而得，再结合（1）得以，解得，．

【小问1详解】

解：因为，

所以，即，

所以

小问2详解】

解：若，，则，

所以

由于，

所以，，解得，．

所以，．

20. 已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是时，总成本是，设该产品年产量为时的平均成本为，（平均成本）

（1）求的解析式；

（2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求平均成本的最小值．

【答案】（1）   

（2）年产量为时，平均成本最小，且最小值为

【解析】

【分析】（1）由已知得，即可得函数解析式；

（2）根据分段函数的性质分别计算最值即可.

【小问1详解】

由已知可得，解得

因为，所以，

【小问2详解】

当时，因为，

此时

当即时上述等号成立

所以

当时，，，即，

由以上可知当时，取得最小值为．

即年产量为时，平均成本最小，且最小值为．

21. 幂函数是偶函数，

（1）求的值，写出解析式；

（2），

①判断的奇偶性，并用定义证明；

②指出的单调递减区间（无需证明），并解关于实数的不等式．

【答案】（1），   

（2）①是偶函数；证明见解析；②单调递减区间为；不等式的解集为

【解析】

【分析】（1）根据幂函数的定义及奇偶性直接判断参数值；

（2）①根据奇偶性的定义直接证明即可；②根据复合函数的单调性判断函数的单调区间 ，并根据单调性解不等式.

【小问1详解】

由是幂函数可得，解得或3，

因为是偶函数，所以，；

【小问2详解】

①是偶函数

因为，满足

解得定义域为，

，

，

所以是偶函数

②单调递减区间，

因为偶函数，可化为，

由在单调递减可得，

又由定义域为

可得

解得，且

所以不等式的解集为.

22. 已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，

（1）求解析式；

（2）判断在的单调性，并用定义证明；

（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）在上是增函数；证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据是偶函数，是奇函数，可得，再将其与联立，解方程即可求出解析式；

（2）根据单调性的定义即可判断并证明在的单调性；

（3）令，由（2）可知，再整理化简可得，设，将原问题转化为当，恒成立，再根据二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：因为，则

且是偶函数，是奇函数，所以，

，可得

【小问2详解】

解：任取，令，

因为，所以，，

则，即，所以在上是增函数．

【小问3详解】

解：令，

由（2）可知，单调递增，又为偶函数，，单调递减，

所以时，取得最大值，时，取得最小值，即

又

所以

设，所以当，恒成立，

即或或成立

又解得； 无解； 无解；

所以