内蒙古包头市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

2021—2022学年度第一学期高一年级期末教学质量检测试卷

数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由可得，从而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求两集合的并集

【详解】因为，

所以，

所以，解得，

所以，，

所以 ，

故选：D

2. 如果点位于第四象限，那么角所在象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】直接由点位于第四象限求出和的符号，则答案可求．

【详解】解：点位于第四象限，

，即，

角所在的象限是第二象限．

故选：B．

3. 如果，那么的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可得，然后利用诱导公式化简可求得答案

【详解】由，得，

所以，

故选：B

4. 函数的图象大致为（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的解析式分析函数的基本性质，再结合选项选出合适的图像.

【详解】，为奇函数，
其图像关于原点对称，所以选项CD错误；

当时，.选项A正确，选项B错误.
故选：A.

5. 如图，是圆的一条弦，仅由下列一个条件就可以得出的是（    ）

A. 圆半径为2 B. 圆半径为1

C. 圆的弦长为2 D. 圆的弦长为1

【答案】C

【解析】

【分析】根据即可得到结果．

【详解】解：如图所示，

过点作于点，则是的中点，

所以，

所以．

故选：C．

6. 是定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性列方程组求的解析式，进而代入自变量求的值.

【详解】由题意，，即，

，即，

所以，可得，

故.

故选：A.

7. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.

【详解】根据题意，故只需把函数的图象

上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.

【点睛】本题主要考查三角函数平移变换，难度不大.

8. 平面内不共线的三个向量，，两两所成的角相等，且，，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件可得，，两两所成的角为，再由，即可得出，从而得出结论．

【详解】解：平面内不共线的向量，，两两所成的角相等；

，，两两所成的角为，且，；

，

．

故选：A．

9. 已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得的解析式，求得的解析式，可得的解析式，再根据函数的零点存在性定理，求得的值．

【详解】解：为幂函数，，，

的图象过点，

，，，

故在上单调递增，

由于（1），（2），故在区间上存在唯一零点，

的零点所在区间为，，那么，

故选：C．

10. 一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形的中心角的弧度数为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出方程组，即可解得答案.

【详解】设扇形的中心角的弧度数为 ，半径为 ，

则 ，解得 ，

故选：B.

11. 定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（    ）

A. 6 B. 4 C. 2 D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】利用及奇函数的定义可知函数周期为4，利用周期转化函数值，即可求解.

【详解】∵定义在上的奇函数满足恒成立，

∴，

∴，又

∴，，，

∴.

故选：C.

12. 已知定义域为的函数，若是三个互不相同的正数，且，则的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的图象可得，然后利用对数函数的性质可得，即得.

【详解】作出函数的图象，

不妨设，则，

∴，

∴，即，

∴，

∴.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 不等式的解集是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正切函数的性质求解不等式.

【详解】由题设，，则解集为.

故答案为：

14. 已知函数定义域为，，若为偶函数，则实数的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据偶函数性质可得，整理可知在上恒成立，即可求参数值.

【详解】由题设，，即，

所以，整理得恒成立，则.

故答案为：

15. 已知向量，，，则与的夹角为______．

【答案】##

【解析】

【分析】对化简计算可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果

【详解】由，得，

因为，，所以，解得，

设与的夹角为，则

，

因为，所以，

故答案为：

16. 对任意闭区间，表示函数在区间上的最大值，则______，若，则的值为______．

【答案】    ①. 1；    ②. 或

【解析】

【分析】由题可得，故1；对t分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t即可.

【详解】当时，，

∴当时，，

∴1；

当，即时，，，

这与矛盾，

当且，即时，，

或，

由可得，或，

所以或，

当，即时，，，这与矛盾；

综上所述，的值为或.

故答案为：1；或.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）已知，求的值．

（2）已知，，求的值．

【答案】；.

【解析】

【分析】（1）由题可得，利用齐次式即求；

（2）由题可得，然后结合条件可得，即得.

【详解】（1）∵，

∴

∴；

（2）∵，

∴，

∴，又，

∴，

∴.

18. 函数在时取得最大值，并且图象两条对称轴的最小距离是．

（1）求和的值；

（2）求的递增区间并求在的值域．

【答案】（1），；   

（2），.

【解析】

【分析】（1）由题可得函数的最小正周期为，可求，然后利用正弦函数的性质可求；

（2）利用正弦函数的性质即得.

【小问1详解】

∵图象两条对称轴的最小距离是，

∴，

∴，

又函数在时取得最大值，

∴，

∴.

【小问2详解】

由上可知，

由，得

∴，

所以函数的递增区间为，，

由，得，

∴，，

故函数在上的值域.

19. 是平面直角坐标系的原点，，，记，，．

（1）求与向量共线反向的单位向量；

（2）若四边形OABC为平行四边形，求点的坐标；

（3）若，且，求实数的值．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由题可设，利用模长公式可求，即得；

（2）设，利用平行四边形的性质可得，即得；

（3）利用向量的坐标运算及数量积的坐标表示即求.

【小问1详解】

由题可知，设，

∴，

解得，

∴.

【小问2详解】

设，

∵四边形OABC为平行四边形，

∴OB与AC的中点重合，则，

解得，

∴点的坐标为；

【小问3详解】

∵，

∴，又，

∴，又，，

∴，

∴，

解得.

20. 函数．

（1）求的定义域，判断并证明函数的奇偶性；

（2）若，比较与的大小．

【答案】（1），详见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由，可得定义域，利用函数偶函数定义可得奇偶性；

（2）由题可知，利用换底公式可得，再结合复合函数单调性可得函数在上单调递减，且为偶函数，即得.

小问1详解】

要使函数有意义，则，

∴，即函数的定义域为，

又∵，

∴函数为偶函数.

【小问2详解】

∵偶函数，

∴，

由，可得，

∵，

∴，

∴，即，

又，

函数在上单调递减，在其定义域上单调递增，

所以函数在上单调递减，又，

所以，即.

21. 探险活动对探险家来说是对意志和体能的挑战．但对于爱好者来说，更需要有知识的储备．设在海拔处的大气压强为，与之间的关系为（，为常量）．某探险爱好者所处海平面地区大气压约为，到了海拔的高原地区，大气压约为．

（1）估算该地区海拔处的大气压约为多少KPa（千帕）？

（2）某位探险爱好者在该高原地区海拔处无明显高原反应，于是决定继续向海拔处攀登，已知普通人在大气压低于77.5（KPa）时会有危险．请帮这位爱好者决策，他是否该继续攀登？（参考数据：，）

【答案】（1）80.2；   

（2）这位爱好者不应该继续攀登；详见解析.

【解析】

【分析】（1）由题可得，进而可得，即得；

（2）通过计算海拔处的大气压，与77.5比较即得.

【小问1详解】

由已知条件可得，，

解得，

∴，

当时，（KPa）.

【小问2详解】

当时，

所以这位爱好者不应该继续攀登.

22. 函数的最大值记为．

（1）求的解析式；

（2）若，求的值；

（3）求的最小值．

【答案】（1）   

（2）或
   

（3）

【解析】

【分析】（1）结合三角函数同角基本关系化简可得，令，

则，，结合二次函数在区间，上单调性可求最大值；

（2）根据的解析式列式，即可求解的值；   

（3）根据的范围分别求出每段内函数的最小值，综合可得答案；

【小问1详解】

，

令，则，，   

，，，对称轴，开口向下，

①时，在，上单调递减， ，

②，在，上先增后减， ，

③，在，上单调递增，，

．

【小问2详解】

若，

则或或，

解得或．

【小问3详解】

，

当时，的最小值为，

当时，的最小值为，

当时，的最小值为，

综上，的最小值．