宁夏石嘴山市第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

2021-2022学年第一学期期末考试

高一数学试卷

一、单选题（每小题5分，共60分）

1. 若，，则角的终边在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【详解】本题考查三角函数的性质．

由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；

综上得角的终边在箱四象限

故正确答案为

2. 已知（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式对式子进行化简，转化为特殊角的三角函数，即可得到答案；

【详解】，

故选：D

3. 等边三角形ABC的边长为1，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用向量的数量积定义进行运算，即可得到答案；

【详解】，

故选：A

4. 已知向量，，且，那么（    ）

A. 2 B. -2 C. 6 D. -6

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案.

【详解】由向量，，且，

可得: ,

故选：B

5. 集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用赋值法来求得正确答案.

【详解】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z；

当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z.

故选：C

6. 已知且点在的延长线上，，则的坐标为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设出点的坐标，根据列式，根据向量的坐标运算，求得点的坐标.

【详解】设，依题意得，即，故，解得，所以.

故选D.

【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.

7. 已知，求的值（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用同角三角函数基本关系，即可得到答案；

【详解】，

故选：A

8. 将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】把原函数解析式中的换成，得到的图象，再把的系数变成原来的倍，即得所求函数的解析式.

【详解】将函数的图象先向左平移，得到的图象，

然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.

故选：C

9. 已知点，则的最大值是 (　　)

A.  B. 2

C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】由向量坐标表示求坐标，再由模长的坐标计算及余弦函数性质求最值.

【详解】,

则，

则当时，的最大值是2.

故选：B

10. y＝sin(2x-)－sin2x的一个单调递增区间是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】，由，得，，时，为，故选B．

11. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得．

【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得

函数的周期为，即

当时取最大值，即

故选C．

【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．

12. 已知是的三个内角，设，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：先化简

，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，故选D.

考点：三角函数二倍角公式、降次公式；

二、填空题

13. 已知，，向量与的夹角为，则________．

【答案】1

【解析】

【详解】试题分析：由于.

考点：平面向量数量积；

14. 已知向量，，，则=_____.

【答案】

【解析】

【分析】先根据向量的减法运算求得,再根据向量垂直的坐标表示,可得关于的方程,解方程即可求得的值.

【详解】因为向量，，

所以

则

即

解得

故答案为:

【点睛】本题考查了向量垂直的坐标关系,属于基础题.

15. 求值：__________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；

【详解】解：

故答案为：

16. 给出下列四个命题：

①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝；

②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称；

③正弦函数在第一象限内为增函数；

④存在实数α，使sinα＋cosα＝.

以上四个命题中正确有____(填写正确命题前面的序号).

【答案】①②

【解析】

【详解】对于①,将x＝代入得是对称轴,命题正确;

对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;

对于③, 正弦函数在上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；

对于④, ,最大值为,不正确;

故填①②

三、解答题

17. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法（用其他方法解答正确同等给分）证明：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】建立直角坐标系，先写出，再按照数量积的坐标运算证明即可.

【详解】

如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，

，故.

18. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的最大值.

【答案】（1）   

（2）4

【解析】

【分析】（1）根据余弦函数的周期公式，求得答案；

（2）根据余弦函数的性质，可求得函数f(x)的最大值.

【小问1详解】

由题意可得：函数的最小正周期为： ；

【小问2详解】

因为，

故，

即的最大值为4.

19. 已知函数，.求：

（1）求函数在上的单调递减区间．

（2）画出函数在上的图象；

【答案】（1）   

（2）图象见解析

【解析】

【分析】（1）由，得的范围，即可得函数在，上的单调递减区间．

（2）根据用五点法作函数的图象的步骤和方法，作出函数在，上的图象．

【小问1详解】

因为，

令，，解得，，

令得：函数在区间，上的单调递减区间为：，．

【小问2详解】

，列表如下：

描点连线画出函数在一个周期上，的图象如图所示：

20. 如图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.

（1）设，求，的值；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）由向量的加减运算，可得，进而可得答案.

（2）用表示，利用向量数量积公式，即可求得结果.

【详解】（1）因为，所以.

又，

又因为、不共线，所以，，

（2）结合（1）可得：

.

，

因为，，且与的夹角为.

所以.

【点睛】本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.

21. 已知A，B，C是三角形三内角，向量，，且．

（1）求角A；

（2）若，求．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）用数量积坐标运算表示出，有，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得；（2）化简，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为

，再变形得，由可得结论．

试题解析：（1）∵，∴，即，

，，

∵，，∴，∴．

（2）由题知：，整理得，

∴，∴，∴或，

而使，舍去，∴，

∴．

考点：数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式．

22. 在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：．

具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角．它们的终边与单位圆的交点分别为．

则，由向量数量积的坐标表示，有．

设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，；

由图（2）可知，于是．

所以，也有；

所以，对于任意角有：．

此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了．

阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中是的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：

（1）判断是否正确？（不需要证明）

（2）证明：．

【答案】（1）正确；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】（1）根据单位向量的定义可得出结论；
（2）根据向量相等及坐标运算，化简计算即可证明结论.

【详解】（1）因为对于非零向量是方向上的单位向量，又且与共线，

所以正确；

（2）因为为的中点，则，

从而在中，，

又

又M是AB的中点
，

所以，化简得，．

结论得证.