山西省怀仁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份山西省怀仁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
怀仁市2021-2022学年度上学期期末高一教学质量调研测试数学Ⅰ卷命题：怀仁市教育局高级中学教研组（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列关系中正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据元素和集合的从属关系，集合和集合之间的包含关系来判断即可.【详解】是元素，而是集合，而元素和集合之间不能用包含关系，A选项错误；是两个元素的实数集，是一个元素的点集，元素类型都不相同，因此不具有包含关系，C选项错误，这两个集合中的元素分别是，，显然这两个点不一定是同一个点，于是两个集合不一定相等，D选项错误；由于空集是任何非空集合的真子集，是单元素非空集合，故B正确.故选：B.2. 已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（    ）A. m≥2 B. m≤2C. m>2 D. －2<m<2【答案】A【解析】【分析】根据集合之间的关系，即可列出不等式，则问题得解.【详解】因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.故选：.【点睛】本题考查根据充分条件求参数范围，属简单题.3. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应有，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（    ）A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】由平方关系、倍角公式以及诱导公式化简求值即可.【详解】故选：C4. 若，则（    ）A.  B.  C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由题意得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用即可计算出的值.【详解】由题意可得，解得或，因此，或.故选：C.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，涉及平方关系与商数关系的应用，考查方程思想的应用，属于中等题.5. 已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】令，由于底数，故为减函数，再根据复合函数“同增异减”性质判断，结合真数大于0的特点即可求解a的取值范围【详解】因为，所以为减函数，而当时，是增函数，所以是减函数，于是；由，得在上恒成立，所以.故选：B【点睛】本题考查复合函数增减性的判断，属于中档题6. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据诱导公式得出，然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有、，考查计算能力，是简单题.7. 幂函数在上是减函数．则实数的值为　　A. 2或 B.  C. 2 D. 或1【答案】B【解析】【分析】由题意利用幂函数定义和性质可得，由此解得的值．【详解】解：由于幂函数在时是减函数，故有，解得，故选：．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题．8. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求得的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性问题的求解，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.9. 定义在R上的偶函数（其中e为自然对数的底），记，则a，b，c的大小关系是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先由为R上的偶函数解得k值，再求的单调区间，接下来把a，b，c对应的三个自变量放入的单调区间，即可解决三者间的大小问题.【详解】定义在R上的偶函数应满足即解之得，则当时，有即当时，为增函数.又则有又，，故有故选：A10. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（ ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．11. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.12. 已知函数（，，），M是函数图象的一个最高点，K，N是函数图象上与它距离最近的两个对称中心，是边长为1的正三角形，，若函数为偶函数，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意可求出函数的表达式，再利用函数为偶函数，写出函数的表达式，利用偶函数的性质可得，解出 的集合，再求的最小值.【详解】解：因为M是函数图像的一个最高点，K，N是函数图像上与它距离最近的两个对称中心，又因为是边长为1的正三角形，所以正三角形的高是点 的纵坐标，即,所以,，即，又因为，所以，因为，所以.故.因为函数为偶函数，所以，，所以当时，最小为.故选：B.【点睛】本题考查求三角函数表达式，考查抽象函数为偶函数时，求参数的最值问题 ，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数，则________．【答案】1【解析】【分析】利用函数解析式求得.【详解】依题意.故答案为：14. ________.【答案】【解析】【分析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．【详解】由题意得．故答案为．【点睛】解答此类问题时，要根据所给式子特点进行合理的变形，运用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换．15. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位．得到的图象．若且，则的最大值为_________．【答案】【解析】【分析】首先求得解析式，再解方程，进而可求得的最大值.【详解】，值域为当时，有可知时才能成立.由得由得，又，则可取的值为故的最大值为故答案为：16. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，下述四个结论：①在区间上存在，，满足；②在区间上有且仅有2个极大值点；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的编号是______.【答案】①④【解析】【分析】令，在上必有，故在上存在，满足；所以①成立；因对应的值有可能不在，上，故②结论错误；解得，所以③不成立；当时，，此时是增函数，从而在上单调递增．所以④成立.【详解】，，，令，则，由题意，在上有且仅有3个解，所以，和，因为在上必有，故在上存在，满足；所以①成立；对应的（显然在，上）一定是最大值点，因对应的值有可能不在，上，故②结论错误；解得，所以③不成立；当时，，由于，故，此时是增函数，从而在上单调递增．所以④成立.故答案为：①④【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共6小题共70分）17. 已知集合．（1）求集合；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1），    （2）或【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.小问1详解】即，所以．∴，，∴.【小问2详解】，当时，，∴．当时，，∴．综上所述，或.18. 已知顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角的终边.（1）求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由点坐标可得和，利用二倍角公式代入计算可得答案；（2），利用两角和与差的正弦公式集合正弦函数的有界性可得的取值范围．【详解】（1）由题意得，，所以.（2），化简得，因为，所以，，.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题．19. 已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域
（2）根据函数的单调性解答即可；
（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.（3）设，，设，，故，，故：，又∵对任意实数恒成立，故：.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20. 已知函数（且）（1）判断奇偶性；（2）用定义讨论函数在区间的单调性；（3）当时，求关于x的不等式的解集．【答案】（1）是奇函数；（2）答案见解析；（3）．【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断即可；（2）用函数单调性定义法证明先设值，再作差变形运算，然后定号，最后下结论；（3）当时，在R单调递增，由得，结合单调性列不等式求解即可.【详解】（1）解：函数的定义域R，对于定义域内的每一个，都有所以是奇函数（2）证明：任取，且，当时∵，∴，，∴即．∴在R单调递增同理可证当时，在R单调递减．综上当时在R单调递增，当时，在R单调递减．（3）∵当时，在R单调递增∴，又∵是奇函数∴故所以或，所以解集为【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)或是定义域上的恒等式．21. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米， AD=4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【答案】（1）；    （2）48.【解析】【分析】（1）设DN的长度为米，则米，进而根据求出，然后求出四边形的面积，最后列出不等式解得答案即可；（2）根据（1），再结合基本不等式即可求得答案【小问1详解】设DN的长度为米，则米，因为，所以，则，又x>0，得：.即DN的长的取值范围是：.【小问2详解】矩形花坛AMPN的面积，当且仅当时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为48平方米.22. 已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）函数在区间上的最大值和最小值；（3）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解．（其中e为自然对数的底数）【答案】（1）    （2）最大值为2，最小值为    （3）证明见解析【解析】【分析】（1）化简解析式，根据三角函数单调区间的求法求得的单调增区间.（2）根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最大值和最小值.（3）将不等式转化为，通过构造函数法，结合函数的单调性来证得结论成立.【小问1详解】，由，得增区间为.【小问2详解】∵，∴，∴，∴，因此，函数在区间上的最大值为2，最小值为.【小问3详解】存在大于的正实数，使得不等式在区间有解，即存在大于的正实数，使得不等式在区间有解，令，则当时，函数单调递增，函数单调递增，又，，∴函数与函数在有交点，故存在大于的正实数，使得不等式在区间有解．