上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了01， 若集合，，则______．， 方程的解为______， 设函数，那么=_____， 若集合，，则_______．， 给出四个命题等内容，欢迎下载使用。
交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数的最小正周期__________；【答案】【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可详解：由三角函数的周期公式可知：函数的最小正周期故答案为点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．2. 已知函数是奇函数，则实数______．【答案】0【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数为奇函数，∴，即，整理得在R上恒成立，∴．故答案为．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．3. 若集合，，则______．【答案】## 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合，求解分式不等式求得集合，再求交集即可.【详解】因为，，故可得.故答案：.4. 方程的解为______.【答案】2.【解析】【分析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.【详解】方程等价于，所以，解得.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数，那么=_____【答案】【解析】【分析】欲求,根据原函数的反函数为知,只要求满足于的值即可,故只解方程即得.【详解】解答：令,则,当有不合,当有,（舍去）那么故答案为【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数的值域是,根据这个函数中的关系,用把表示出,得到.6. 若集合，，则_______．【答案】【解析】【分析】易知，分别验证和集合的关系即可得结果.【详解】因为，，，即，，所以，故答案为：.7. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点，连接，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有．那么_______．【答案】1【解析】【分析】求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为，，，所以，，不妨设，，分别过，，则，，则，所以．故答案为：18. 已知函数，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．【答案】.【解析】【分析】根据和两种情况讨论，令，得出不等式，即可求解.【详解】当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当时，令，可得，即，即实数的取值范围，综上可得，实数的取值范围.故答案为：.9. 已知函数在上的最小值为，则实数a的值为_________．【答案】-2【解析】【分析】根据函数在上的最小值为，分在上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解.【详解】因为函数在上的最小值为，所以当在上递增时，的最小值为，不成立；当在上递减时，的最小值为 ，此时，因为 ，则，而在 上递增，成立；当在上不单调时， ，令，解得 或 ，当 时， ，因为 ，所以 ，所以 ，不成立；当时， ，因为 ，所以 ，，不成立；故实数a的值为-2，故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数，使；②存在实数，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第一象限角，且，则．其中所有正确命题的序号是_____________．【答案】③④【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，，所以，不存在实数使得，①错误；对于命题②，，所以，不存在实数使得，②错误；对于命题③，，因为，所以函数是偶函数，③正确；对于命题④，当时，，所以，是函数的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取，，，但，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④.故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由参变量分离法可得出，利用已知条件求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】，，由可得，由于不等式恒成立，当且仅当时取等号，且存在，使得，所以，，当且仅当时，等号成立，.因此，实数取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.12. 设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.【答案】[1,13]【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f(x)对称轴为，∵f(x)值域为，∴且，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（    ）弧度A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求，，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r，弧长l，则，解得，，所以圆心角为，故选：A.14. 对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是A. 4和6 B. 3和1 C. 2和4 D. 1和2【答案】D【解析】【详解】试题分析：求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数．解：f（1）=asin1+b+c  ①f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c  ②①+②得：f（1）+f（﹣1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（﹣1）是偶数故选D考点：函数的值． 15. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】B【解析】【详解】令,可得．设根据题意与直线只有两个交点，不妨设，结合图形可知，当时如右图， 与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得，即，此时，，同理可得，当时如左图，，故选：B．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度.16. 设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.下列选项中正确的是（    ）A. 中仅是的充分条件B. 中仅是的充分条件C. 都不是的充分条件D. 都是的充分条件【答案】D【解析】【分析】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.，即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时，即是q的充分条件；②当时，a≥0，，，(i)当a≥1时，a≥，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴成立；(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即成立；(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，∴在(－∞，0)单调递增，∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a＜1时，a＜＜1，，∴f(a)＞0，f(b)＞0，∴成立.综上所述，时，均有成立，∴是q的充分条件.故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数的定义域为集合，集合，且.（1）求实数取值范围；（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数.【答案】（1） ;（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合，再由集合的包含关系，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得的定义域，计算与比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令，解得，所以， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是 （2）函数的定义域，定义域关于原点对称 而，，所以 所以函数是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）①设，矩形的面积为，求表达式，并写出的范围：②设，矩形的面积为，求表达式，并写出x的范围：（2）怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积．【答案】（1）①，；②，.    （2）当截取，时能使截得矩形的面积最大，最大面积为400【解析】【分析】（1）①用和半径表达出边，进而表达出面积并写出的取值范围，②用表达出，进而表达出面积并写出的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接，则cm，cm，cm，则cm，则，.②连接OC，则cm，由勾股定理得： cm， cm，则，，【小问2详解】由（1）知：，，所以，当，即时，取得最大值，最大值为400，此时，，所以当截取，时能使截得的矩形的面积最大，最大面积为40019. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：．（是自然对数的底数，）．（1）解方程：；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：________，并证明；（3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围．【答案】（1）或；    （2），证明见解析；    （3）.【解析】【分析】（1）由已知可得出，求出的值，即可求得的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知恒成立，利用函数的单调性可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：由，可得，可得，解得或.【小问2详解】解：，右边.【小问3详解】解：，则，则，所以，，当且仅当时，等号成立，则恒成立，因为函数、均为上增函数，故函数在上为增函数，所以，.20. 对闭区间I，用表示函数在I上的最大值．（1）对于，求的值：（2）已知，且偶函数，，求的最大值：（3）已知，若有且仅有一个正数a使得成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】小问1：判断的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得，根据的最大值判断范围，即可求解；小问3：讨论与，当时，判断正数a的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意，且时，由对任意，且时，由所以在上单调递减，在上单调递增；又所以【小问2详解】由于偶函数，所以则解得则因为，所以故的最大值为.【小问3详解】①当时，由于，则，所以，若时，有，所以，得；若时，有，此时无解；若时，有，此时有一解；若时，有，此时无解；若时，有，所以，因为若时，此时无解，若时，此时无解；若时，此时有一解；②当时，由于，则，所以，有，则若，则得或等，若，，则或，在必有两解．综上所述：21. 定义域为的函数，对于给定的非空集合，，若对于中的任意元素，都有成立，则称函数是“集合上的函数”.（1）给定集合，函数是“集合上的函数”，求证：函数是周期函数；（2）给定集合，，若函数是“集合上的函数”，求实数、、所满足的条件；（3）给定集合，函数是集合上的函数，求证：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．【答案】（1）证明见解析；    （2），，；    （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出且，可得出，由此可证得结论成立；（2）由已知可得对任意的恒成立，由此可得出、、所满足的条件；（3）利用函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的，，可得，对任意的，，所以，，因此，函数为周期函数.【小问2详解】解：由题意可知，对任意的，，即，可得对任意的恒成立，所以，，即，，.【小问3详解】证明：若函数是周期函数，设其周期为，因为函数是集合上的函数，则存在、，使得，所以，，，对任意的，，所以，，所以，对任意的，，对任意的，，并且，所以，对任意的，为常数，即“是周期函数”“是常值函数”；若函数是常值函数，对任意的、，成立，且，所以，函数是周期函数.即“是周期函数”“是常值函数”.综上所述，“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.