四川省成都市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021~2022学年度上期期末高一年级调研考试

数学

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】.

故选：C

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合与集合的公共元素为，即可得到答案.

【详解】因为，

.

故选：A.

3. 已知角的终边经过点，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据点，先表示出该点和原点之间的距离，再根据三角函数的定义列出等式，解方程可得答案.

【详解】因为角的终边经过点，

则 ，

因为，所以 ，且 ，

解得 ，

故选：B

4. 若，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合题意，即可得x，y，z的大小关系，即可得答案.

【详解】因为在上为单调递增函数，且，

所以，即，

因为在R上为单调递增函数，且，

所以，即，

又，

所以.

故选：A

5. 已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，

由题意，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

6. 函数的单调递增区间为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】利用正切函数的性质求解.

【详解】解：令，

解得，

所以函数的单调递增区间为，，

故选：C

7. 已知函数的零点在区间内，则（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.

【详解】因为，，

所以函数在区间内有零点，所以.

故选：B.

8. 函数的图象大致形状为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用上的函数值的正负即可判断；

【详解】解：因为，定义域为，且

所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除、；

又当时，，，所以，则，所以，所以，即可排除C；

故选：A

9. 若，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式即可直接求值.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

所以.

故选：D.

10. 对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数在上是增函数，且是上凸函数判断.

【详解】由当时，总有，

得函数在上是增函数，

由，

得函数是上凸函数，

在上是增函数是增函数，是下凸函数，故A错误；

在上是增函数是增函数，是上凸函数，故B正确；

在上是增函数，是下凸函数；故C错误；

在上是减函数，故D错误.

故选：B

11. 已知函数.当时，，，则下列结论正确的是（    ）

A. 是函数的一个零点

B. 函数的最小正周期为

C. 函数的图象的一个对称中心为

D. 的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象

【答案】AB

【解析】

【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为，可得，

又由，所以函数的最小正周期为，所以，

所以，

又因为，可得，即，

由，所以，即，

对于A中，当时，可得，

所以是函数的一个零点，所以A正确；

又由函数的最小正周期为，所以B正确；

由，所以对称中心的纵坐标为，所以C不正确；

将函数的图象向右平移个单位长度,

可得，

所以D不正确.

故选：AB.

12. 设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.

【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，

又时，值域为；时，值域为，

所以的值域为时有两个解，

令，则，

若存在唯一的非零实数满足，则当时，，与一一对应，

要使也一一对应，则，，任意，即，

因为，

所以不等式等价于，即，

因，所以，所以，又，

所以正实数的取值范围为.

故选：A.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13. 若函数（，且）的图象经过点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】把点的坐标代入函数的解析式，即可求出的值.

【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得.

故答案为：.

14. 已知扇形的弧长为，半径为1，则扇形的面积为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用扇形面积公式进行计算.

【详解】即，，由扇形面积公式得：.

故答案为：

15. 若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，

所以在区间上单调上单调递减，且，

所以的解集为.

故答案为：

16. 设函数.则函数的值域为___________；若方程在区间上的四个根分别为，，，，则___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据二倍角公式，化简可得，分别讨论位于第一、二、三、四象限，结合辅助角公式，可得的解析式，根据的范围，即可得值域；作出图象与，结合图象的对称性，可得答案.

【详解】由题意得

当时，即时，

，

又，

所以；

当时，即时，

，

又，

所以；

当时，即时，

，

又，

所以；

当时，即时，

，

又，

所以；

综上：函数的值域为.

因为，所以，

所以，

作出图象与图象，如下如所示

由图象可得，

所以

故答案为：；

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 计算下列式子的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）4    （2）

【解析】

【分析】（1）利用对数运算公式计算；（2）利用分数指数幂进行化简求值.

【小问1详解】

【小问2详解】

18. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据点A的纵坐标，可求得点A的横坐标，根据正切函数的定义，即可得答案.

（2）利用诱导公式进行化简，结合（1）即可得答案.

【小问1详解】

因为点A纵坐标为，且点A在第二象限，

所以点A的横坐标为，

所以；

【小问2详解】

由诱导公式可得：.

19. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且.

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明.

【答案】（1）   

（2）增函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）又函数为奇函数可得，结合求得，即可得出答案；

（2）令，利用作差法判断的大小，即可得出结论.

【小问1详解】

解：因为函数是定义在区间上的奇函数，

所以，

即，所以，

又，所以，

所以；

【小问2详解】

解：增函数，证明如下：

令，

则

，

因为，所以，，

所以，即，

所以函数在区间上递增.

20. 人类已进入大数据时代.目前数据量已经从级别越升到，，乃至级别.某数据公司根据以往数据，整理得到如下表格：

根据上述数据信息，经分析后发现函数模型能较好地描述2008年全球产生的数据量（单位：）与间隔年份（单位：年）的关系.

（1）求函数的解析式；

（2）请估计2021年全球产生的数据量是2011年的多少倍（结果保留3位小数）？

参考数据：，，，，，.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意选取点代入函数解析式，取出参数即可.

（2）先求出2021年全球产生的数据量，然后结合条件可得答案.

【小问1详解】

由题意点在函数模型的图像上

则，解得

所以

【小问2详解】

2021年时，间隔年份为13，则2021年全球产生的数据量是

2021年全球产生的数据量是2011年的倍数为：

21. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合图象，由最大最小值可得，由可得，由函数图象经过点可求，从而可得答案.

（2）原不等式等价于存在, 使得成立，即，令，利用函数单调性求解最小值即可得答案.

【小问1详解】

解：由图可知，设函数的最小正周期为，

，，

，，

又由图可知函数的图象经过点，

，

,,

【小问2详解】

解：由（1）知原不等式等价于，即.

又，

∴原不等式等价于存在, 使得成立，

，

，

令，则，令，

∵在区间上单调递减，

∴，

∴实数的最小值为.

22. 我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为.

（1）求函数，的最小值；

（2）对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“L函数”.已知函数为其定义域上的“L函数”，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用换元法令，可得所求为关于p的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.

（2）根据题意，分别讨论在、和上存在实数，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.

【小问1详解】

由题意得

所以，，

令，设

则为开口向上，对称轴为的抛物线，

当时，在上为单调递增函数，

所以的最小值为；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为；

当时，在上为单调递减函数，

所以的最小值为；

综上，当时，的最小值为，

当时，的最小值为，

当时，的最小值为

【小问2详解】

①设在上存在，满足，

则，

令，则，当且仅当时取等号，

又，

所以，即，

所以，

所以

所以

②设存在，满足，

则，即有解，

因为在上单调递减，

所以，

同理当在存在，满足时，解得，

所以实数的取值范围

【点睛】解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题