四川省广安市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

广安市2021年秋季高一期末试题

数学

一､选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1. 下列关系中，正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系求解.

【详解】根据元素与集合的关系可知，，，不正确，

由空集是任何集合的子集知正确，

故选：C

2. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义求解.

【详解】因为角的终边经过点，

所以该点到原点的距离为，

所以.

故选：D

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

3. 已知向量，，且，则x的值是（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】由两向量平行可以根据向量坐标列出，解出x的值，即可得到答案.

【详解】，.

故选：A.

4. 下列函数中哪个与函数相等

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】原函数定义域为，值域为.选项值域不同，选项定义域不同，选项定义域不同，故选.

5. 一个半径为2的扇形的面积的数值是4，则这个扇形的中心角的弧度数为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用扇形面积计算公式列方程求解即可．

【详解】解：设这个扇形的中心角的弧度数为，

因为扇形的半径为，面积为，所以，解得．

故选：C．

6. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据零点存在性定理即可求解.

【详解】由函数，

则，，

故函数的零点在区间上.

故选：B

【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，需熟记定理内容，属于基础题.

7 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用对数函数单调性和中间值比较大小.

【详解】，，故，，，故

故选：C

8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则f（1）=（　　）

A. 1 B. 3 C.  D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得f（-1）=3，利用奇函数性质可得f（1）．

【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），

又当x≤0时，f（x）=2x2-x，∴f（-1）=3，

∴f（1）=-f（-1）=-3，

故选C．

【点睛】本题考查函数值的求法及函数奇偶性的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

9. 若实数x，y满足，则y关于x的函数图象的大致形状是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】讨论得出函数的解析式，再由指数函数的单调性得出函数在上为减函数，根据函数的对称性和取特殊值，排除可得选项.

【详解】解：因为，

又，故函数在上为减函数，又因为的图象关于直线x=1对称，且当x=1时，y=1，对照选项，只有B正确，

故选：B.

10. 将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据图象伸缩和平移变换得到，再求解对称轴方程，进而求出答案.

【详解】函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位，得到，令（），解得：，，令得：，故D选项正确；经检验：ABC选项均不正确.

故选：D

11. 在ΔABC中，若，则ΔABC是

A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形

【答案】C

【解析】

【详解】此题考查向量的数量积的计算、余弦定理的应用．由已知得，所以是直角三角形，选C

12. 设函数，若关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的解析式画出在区间上的图象，关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，就是函数与函数恰有5个不同的交点，由图象可列关于的不等式，即可求出答案.

【详解】函数在区间上的图象如下图所示：

关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，即恰有五个不同的根，即函数与函数恰有5个不同的交点，由下面图象可得 .

故选：D.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数是幂函数，则实数m的值为___________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据幂函数的定义求解.

【详解】因为是幂函数，

所以，

解得，

故答案为：2

14. 函数的定义域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.

【详解】解：,解得,故函数的定义域为:.

故答案为：.

15. 为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过___________小时后，学生才能回到教室.

【答案】0.6##

【解析】

【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】由题意知，点在函数的图象上，

所以，

解得，

所以，

由， 即

得，所以.

所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时.

故答案为：.

16. 在中，，，若E点在BC边上，且，则___________.

【答案】8

【解析】

【分析】由条件得到，再求即可.

【详解】由，

两边平方有：，可得，

又因为，知E点是BC边上中点，故，

所以.

故答案为：

三､解答题：本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明或演算过程.

17. （1）计算：.

（2）已知，求的值.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂的运算和对数运算公式化简求值；

（2）利用题干中得出的值，在对所求式子进行上下同时除以进行化简求值.

【详解】（1）

.

（2），

，

.

18. 集合，.

（1）求；

（2）若集合，满足.求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求解出集合B的范围，然后在求解集合A与B的交集；

（2）先表示出集合C的范围，然后通过确定C是B的子集，通过分类讨论，即可求解.

【小问1详解】

∵，∴.

【小问2详解】

∵，∴又，

①当，即时，不满足条件；

②当，即时，满足条件.

综上所述，实数a的取值范围为.

19. 已知.

（1）求的值；

（2）若是第二象限角，且，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据诱导公式化简后求值即可；

（2）根据同角三角函数的基本关系求解.

【小问1详解】

由已知，

∴.

【小问2详解】

∵，

即①，平方可得，

∴，

因为第二象限角，

∴②.

由①②求得，，.

20. 已知向量，，.

（1）求函数在区间上的值域；

（2）求满足不等式的x的集合.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）由数量积的运算化简，利用正弦函数的性质求值域即可；

（2）根据正弦函数的性质解不等式即可.

【小问1详解】

∵，，

，

，由，得.

，，∴在区间上的值域为.

【小问2详解】

由，得，即，

由正弦函数的图象得，，

解得，，

∴不等式的x的解集为，.

21. 已知函数是定义在R上的偶函数，且.

（1）求实数a､b的值，并用定义法证明函数在上是增函数；

（2）解关于t的不等式.

【答案】（1），，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数为偶函数求出a,再由求出b，利用定义法证明单调性即可；

（2）根据偶函数性质可得，再由单调性建立不等式求解即可.

【小问1详解】

因为函数是定义在R上的偶函数，

∴恒成立，

即，

∴，，

∴.

综上，，.

证明：因为，，

任取，，使得，

所以，

.

又，∴，，，，

∴，

∴，即，

∴在上为增函数.

【小问2详解】

∵，∴，

∵是定义在R上的偶函数，∴，

∵当时，，

结合（1）可得在上单调递增，.

∴，即，

∴.

故不等式的解集为.

22. 如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.

（1）证明点是函数的对称中心；

（2）已知函数（且，）的对称中心是点.

①求实数的值；

②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析； （2）①， ②.

【解析】

【分析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称.

（2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得.

②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数，可得，

所以函数的图象关于点对称.

（2）①因为函数（且，）的对称中心是点，

可得，即，解得（舍）.

②因为，∴，可得，

又因为，∴.

所以在上单调递减，

由在上的值域为

所以，，

即，即，

即为方程的两个根，且，

 令，

则满足，解得，所以实数的取值范围.

【点睛】本题主要考查了函数的新定义，函数的基本性质的应用，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，合理利用函数的性质，以及二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.