四川省泸州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

泸州市高2021级高一上学期末统一考试数学

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据补集的定义，直接计算即得.

【详解】集合，，

根据集合的补集，可知.

故选：B.

2. 已知幂函数经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】把点代入幂函数解析式，即可确定幂函数，再去求解即可解决.

【详解】设幂函数，则有，可得

故，则

故选：C

3. 函数（且）的图象恒过定点（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据过定点，即得.

【详解】因为在函数中，

当时，恒有 ,

函数的图象恒过定点.

故选：B.

4. 神学家阿奎那说：“愉快的感觉来自恰当的比例”，当折扇的张角为时给人们带来好的视觉效果.现有一张角为，半径为4的扇形，则该扇形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形面积公式即可求解.

【详解】由题意得，扇形的面积为.

故选：C.

5. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式即可求得答案.

【详解】.

故选：A.

6. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇函数的定义，结合函数的单调性进行判断即可.

【详解】A：因为，，不是奇函数，不符合题意；

B：设，因为，，所以该函数为奇函数，且在上是减函数，符合题意；

C：设，因为，所以该函数是奇函数，

当时，，显然此时二次函数单调递增；

当时，，显然此时二次函数单调递增，因此函数是实数集上的增函数，不符合题意；

D： 因为，函数，为偶函数，不符合题意.

故选：B.

7. 已知函数，则函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合的定义域，再代入特殊值判断即可.

【详解】由题意得，，故，因此的定义域为，因此AB错误，当时，，故C错误，因此选D.

故选：D.

8. 已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.

【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；

对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误；

对于C，向量，为单位向量，则，C正确；

对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.

故选：C.

9. 已知第三象限角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.

【详解】由题意得，，解得，

又为第三象限角，

所以，

故，

所以，

故选：D.

10. 已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的最大值为2求出A，然后由间的距离求出周期，进而求出，最后根据最值点求出.

【详解】根据函数的图象，A=2，，所以，根据函数在处取得最大值可知，.

故选：A.

11. 函数在上的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出上的解析式，由得，然后由得 ，可得此时的，根据，得到的范围，再根据已知条件计算出可得答案.

【详解】当时，，

当时，，

此时，故，所以，

当时，，

此时，故，

所以；

因为，所以，，

所以，，

当时，，

综上所述，

当时，.

故选：C.

12. 已知实数，，满足（其中为自然对数的底数），则下列关系中不可能成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数图象，作出不同的，分析即可得答案.

【详解】由题意得，且.

分别作出的图象，如图，

易得的图象关于直线对称，

直线与图象的交点的横坐标分别为，

数形结合可得，，均可能成立，不可能成立，

故选：A

【点睛】解题的关键是熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，作图求解，考查数形结合的能力，属中档题.

第Ⅱ卷（非选择题    共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数的最小正周期为，则的值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】代入正切型函数的最小正周期公式即可解决.

【详解】由函数的最小正周期为，

可知，得

故答案为：1

14. 已知向量，，，若，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案.

【详解】由题意，，因为，所以.

故答案为：2.

15. 若函数是上的偶函数，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，即得.

【详解】函数是定义在上的偶函数，

，即．

，

，

，

∴,

故答案为：.

16. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】由的单调递减区间包含可计算 的取值范围.

【详解】 在 上单调递减

令 得

令得

故答案：

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算：.

【答案】2

【解析】

【分析】利用根式的性质和指数幂的运算和对数运算求解.

【详解】，

，

.

18. 已知集合，集合.

（1）求；

（2）若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）R    （2）

【解析】

【分析】（1）先求出，，进而求出；

（2）集合的端点值大小比较，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

恒成立，所以，故，，

所以；

【小问2详解】

易知，因为，

所以要满足或，解得：或，

实数的取值范围为.

19. 如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.

（1）用向量，表示；

（2）设向量，，求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；

（2）用，表达，结合三点共线即可求得.

【小问1详解】

∵为中线上一点，且，

∴

；

【小问2详解】

∵，，，

∴，又，，三点共线，

∴，解得，故的值为.

20. 已知函数的两个相邻零点之间的距离为.已知下列条件：①函数的图象关于直线对称②函数为奇函数.请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当，，且，恒有，求实数的取值范围.（注：如果选择条件①，条件②分别解答，则按第一个解答计分）

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题可得，若选①利用正弦函数的性质可得，即求，若选②利用奇函数及正弦函数的性质可得，即得；

（2）利用图象变换可得，根据条件可得在上有两个不等根，利用数形结合即得.

【小问1详解】

∵函数的两个相邻零点之间的距离为，

∴函数的最小正周期，即，

∴，，

如果选择条件①，由函数的图象关于直线对称可得，

，又，

∴，

∴；

如果选择条件②，函数为奇函数，即为奇函数，

∴，又，

∴，

∴；

【小问2详解】

∵，

∴，

∵当，，且，恒有，

所以在上有两个不等根，

由，可得，

令，则在上有两个不等根，

作函数，的图象，

则由图可得，

故实数的取值范围为.

21. 2021年10月16日.神舟十三号载人飞船在长征二号遥十三运载火箭的托举下点火升空，创造了中国航天太空驻留时长的新纪录.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量是推进剂与火箭质量的综合，称为“总质比”，已知型火箭喷流相对速度为.

（1）当总质比为50时，求型火箭的最大速度（保留整数）；

（2）经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据：，，）.

【答案】（1）3129   

（2）68

【解析】

【分析】（1）根据总质比为50，代入求解；

（2）易知经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，然后由求解.

【小问1详解】

解：当总质比为50时，型火箭的最大速度为：

；

【小问2详解】

经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，

要使火箭的最大速度至少增加，

则，

即 ，

即 ，

即 ，

所以，

所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值是68.

22. 已知函数.

（1）探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；

（2）判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）

【答案】（1）函数在上减函数，证明见解析；   

（2）存在，且满足条件的一个区间为.

【解析】

【分析】（1）判断出函数在上为减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，由此可证得结论成立；

（2）分析可得，构造函数，求出函数的定义域，分析函数的单调性，利用二分法可求得的零点所在的一个区间，且满足.

【小问1详解】

解：，则函数在上为减函数，证明如下：

任取、且，

则，

因为，则，即，

故函数在上为减函数.

【小问2详解】

解：由，可知，即，解得，

即，可得，

构造函数，

由（1）可知，函数在上为减函数，

而函数为定义域上的增函数，则函数在上为增函数，

又因为函数在上也为增函数，

故函数在上为增函数，

因为，，

由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，且零点记为，

，即，

，故，

，故，且区间的长度为.

故满足条件的一个区间为.