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    天津市南开区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

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    天津市南开区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

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    这是一份天津市南开区2021-2022学年高一上学期期末数学试题,共13页。试卷主要包含了 设全集,集合,,则等于, 命题“对任意,都有”的否定, 已知 ,那么“”是“”的, 的值为, 三个数, 之间的大小关系为, 已知中,,则等内容,欢迎下载使用。
    1. 设全集,集合,,则等于
    A. B. {4}C. {2,4}D. {2,4,6}
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由并集与补集的概念运算
    详解】
    故选:C
    2. 命题“对任意,都有”的否定( )
    A. 对任意 都有B. 不存在,使得
    C. 对任意,都有D. 存在,使得
    【答案】D
    【解析】
    【分析】将全称命题否定为特称命题.
    【详解】命题“对任意,都有”否定为
    “存在,使得”,
    故选:D
    3. 在下列函数中,函数表示同一函数的( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由题意,判断函数是否相等,需对比定义域和对应关系,先求定义域,再整理解析式,可得答案.
    【详解】由题意,函数,其定义域为,其解析式为,
    对于A,函数,其定义域为,故A错误;
    对于B,函数,其定义域为,对应法则不同,故B错误;
    对于C,与题目中的函数一致,故C正确;
    对于D,函数,其定义域为,故D错误,
    故选:C.
    4. 已知 ,那么“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据充分条件和必要条件得定义即可得解.
    【详解】解:由得或,
    所以“”是“”的充分不必要条件,
    故选:A.
    5. 函数的零点一定位于下列哪个区间( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据零点存在性定理,即可求解.
    【详解】由题意可知,,,
    故,
    又因函数在上单调递增,
    所以函数的零点一定位于区间.
    故选:B.
    6. 的值为
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【详解】
    故选:A.
    7. 三个数, 之间的大小关系为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】结合指数函数、对数函数的单调性,以及临界值,求解即可.
    【详解】由题意,即,
    ,即,

    综上:
    故选:A
    8. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )
    A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
    C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先将两函数转化为的形式,计算两者的差值,利用口诀“左加右减”可知如何平移.
    【详解】因为,,
    且,
    所以由的图像转化为需要向右平移个单位.
    故选:D.
    9. 已知偶函数f (x)在区间 单调递增,则满足的 x 取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性,然后由单调性解不等式.
    【详解】因为偶函数在区间上单调递增,
    所以在区间上单调递减,故越靠近轴,函数值越小,
    因为,
    所以,解得:.
    故选:A.
    10. 已知中,,则( )
    A. 或B. C. D. 或
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先利用三角函数的基本关系式求得,再利用正弦定理推得为锐角,从而可求得,再利用余弦的和差公式即可求得.
    【详解】因为在中,,所以,
    所以,由正弦定理可得,故,故为锐角,
    所以,
    所以.
    故选:B.
    二.填空题
    11. 的值是_____.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.
    【详解】.
    故答案为:.
    12. 半径为的圆的一段弧长等于,则这段弧所对圆心角的弧度数为______ .
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    直接由弧长公式求解即可.
    【详解】由知.
    故答案为:
    【点睛】本题考查扇形的弧长公式,属于基础题.
    13. 不等式解集是________.
    【答案】或
    【解析】
    【分析】利用二次不等式的解法解之即可.
    【详解】因为,所以,
    故,
    解得或,
    所以的解集是或.
    故答案为:或.
    14. 已知,且,则的最小值是________
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用凑项法与基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值.
    【详解】因为,所以,
    又因为,
    所以,
    当且仅当且,即时,等号成立,
    故的最小值是.
    故答案为:.
    15. 下列命题中:
    ①与互为反函数,其图像关于对称;
    ②已知函数,则;
    ③当,且时,函数必过定点;
    ④已知,且,则实数.
    上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
    【答案】①③
    【解析】
    【分析】对于①,由与互为反函数,其图像关于对称即可判断;
    对于②,令可得,从而可求得函数值;
    对于③,根据指数函数过定点的性质即可求得所过定点;
    对于④,由指对互换得到,再由对数换底公式可得,代入即可求得.
    【详解】对于①,因为与互为反函数,其图像关于对称;所以当时,与互为反函数,其图像关于对称,故命题①正确;
    对于②,因为,所以令,得,故命题②错误;
    对于③,因为,所以令,即,则,故过定点,故命题③正确;
    对于④,因为,所以,
    所以,
    故由得,即,即,
    所以,故命题④错误.
    故答案为:①③.
    三.解答题
    16. 计算
    (1)
    (2)
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据指数幂的运算性质,求解即可;
    (2)根据对数的运算性质和运算律,求解即可.
    【小问1详解】
    【小问2详解】
    17. 已知,
    计算:(1);
    (2).
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【分析】(1)分子分母同除以,得到,代入的值即可;
    (2),分子分母同除以,得到,代入的值即可.
    【详解】(1).
    (2).
    【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,涉及到,的齐次式的计算,考查学生转化与化归的思想,是一道容易题.
    18. 已知函数f(x)的图像如图所示,在区间上是抛物线的一段.
    (1)求f(x)的解析式
    (2)解不等式.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)分,和三段,结合二次函数与一次函数,利用待定系数法求解即可;
    (2)根据函数解析式分段求解不等式即可.
    【小问1详解】
    解:由图可知,当时,,
    当时,设,
    把点代入得,解得,
    所以,
    当时,设,
    把代入得,
    ,解得,
    所以,
    所以;
    【小问2详解】
    解:,
    当时,,解得,不符合,舍去,
    当时,,解得,
    当时,,解得,所以,
    综上,不等式得解集为.
    19 已知.
    (1)求的值
    (2)求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    分析】(2)由平方关系求得,再根据二倍角得余弦公式即可得解;
    (2)由(1)求得,再根据两角差得正切公式即可得解.
    【小问1详解】
    解:因为,所以,
    所以,
    又因为,
    所以;
    【小问2详解】
    解:由(1)得,
    所以,
    所以.
    20. 已知函数
    (1)求的最小正周期和对称中心;
    (2)求的单调递减区间;
    (3)当时,求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值
    【答案】(1),;
    (2);
    (3)当时,最大值为.
    【解析】
    【分析】(1)利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出,利用周期公式可计算出函数的最小正周期,解方程可得出函数的对称中心坐标;
    (2)解不等式,可得出函数的单调递减区间;
    (3)由,计算出的取值范围,利用正弦函数的性质可得出该函数的最大值以及对应的的值.
    【小问1详解】

    所以,函数的最小正周期为.
    由,可得,
    函数的对称中心为;
    【小问2详解】
    解不等式,
    解得.
    因此,函数的单调递减区间为;
    【小问3详解】
    当时,,
    当时,
    即当时,
    函数取得最大值,最大值为.

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