浙江省绍兴市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

绍兴市2021学年第一学期高中期末调测

高一数学

一､选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的定义可求得.

【详解】已知集合，，则.

故选：A.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.

【详解】由于存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定为“，”.

故选：B.

3. 已知，则（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正切的两角差公式直接求解即可.

【详解】

故选：D

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式求出，再根据对数函数的单调性比较的大小，即可得出答案.

【详解】解：，

，

所以.

故选：A.

5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC.

【详解】由图可知，函数为奇函数，且定义域不是.

对于B，的定义域为，故B错误；

对于D，，即该函数为偶函数，故D错误；

对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确；

故选：C

6. 将函数y=sin（2x-）的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为　（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦函数的周期性，函数的图象变换规律，求得所得函数的解析式．

【详解】由题意，将函数y=sin（2x-）的图象向左平移个周期后，

所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+2•-）=sin（2x+），

故选C．

【点睛】本题主要考查了正弦函数的周期的定义，以及函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数的性质以及三角函数的图象变换是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

7. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的单位圆与锐角x的终边交于点P，过点作x轴的垂线与锐角x的终边交于点T，如图所示，的面积小于扇形AOP的面积，扇形AOP的面积小于的面积，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】由三角形和扇形面积公式得出，都成立，从而判断AB；再由，都成立，判断CD.

【详解】根据题意，的面积为，扇形AOP的面积为，的面积为，依题意可得，即，都成立，故AB错误；

当为锐角时，也为锐角，，都成立，所以，；，，故C错误，D正确；

故选：D

8. 已知，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由得，设， ，

则，令并判断出单调性可得答案.

【详解】由得，

且，所以，

设，则，

则，

令，

设，

，

因为，所以，，

所以，

即在上单调递增，

所以，即.

故选：B.

二､多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9. 函数与是同一个函数的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】CD

【解析】

【分析】根据函数的两要素：定义域和对应法则，逐项判断即可.

【详解】选项A：函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数；

选项B：函数的定义域为，函数的定义域，定义域不同，故不是同一个函数；

选项C：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数；

选项D：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域和对应法则都相同，故是同一个函数.

故选：CD.

10. 对，成立的充分不必要条件可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】首先求出满足，恒成立时的取值集合，然后只需求这个集合的真子集即可.

【详解】若，恒成立，只需，

又，所以，

所以对，成立的充分不必要条件可以是，或者是.

故选：AC.

11. 已知，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意可知表示中的最小值，表示中的最大值，从而可判断A；分和两种情况讨论，分析即可判断B；分和两种情况讨论，分析即可判断C；分和两种情况讨论，分析即可判断D.

【详解】解：由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值，

所以，分别去中的一个最小值与一个最大值，

所以，故A正确；

对于B，当，则，

，所以，

当时，，，所以，

综上，故B正确；

对C，当，即时，

，

当，即时，

，

综上，故C错误；

对于D，当，即时，

，因为，所以，

即，

当，即时，

，因为，所以，

即，

综上，故D正确

故选：ABD.

12. 已知函数，（其中是大于的常数），则的所有零点之和可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】当时，令，则，令，，则两函数都关于对称，作出两函数的图像，结合图像分析即可得出答案.

详解】解：当时，，

故当时，函数无零点，

当时，令，则，

令，，则两函数都关于对称，

作出函数，的图像，如图所示，

当时，函数，的图像有两个交点，

即函数有两个零点，

所以，故B正确；

当时，函数，的图像有四个交点，

即函数有四个零点，

所以，故D正确；

即由图可知当时，

函数，的图像有两个交点，

即函数有个零点，

且所有零点之和，

所以AC错误，BD正确.

故选：BD.

三､填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 已知函数，则___________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式先求的值，再求，可得答案.

【详解】由可得：

，故，

故答案为：

14. 已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是___________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据弧度制下扇形的弧长公式直接求解.

【详解】

故答案为：4

15. 已知，，，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

【详解】，，且，

，

当且仅当，即取等号，

的最小值为，

故答案为: .

16. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】要使对任意的，恒成立，即在上恒成立，即当时，函数的图像在函数图像的下方，可得，解之即可得出答案.

【详解】解：要使对任意的，恒成立，

即在上恒成立，

即当时，

函数的图像在函数图像的下方，

由图像得，要使上述成立，

只需，

即，

则①式解得，②式解得，

所以.

故答案为：.

四､解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，.

（1）求集合B；

（2）求.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）由一元二次不等式的解法得出集合B；

（2）由集合的并集和补集运算求解即可.

【小问1详解】

因为，所以或.

【小问2详解】

因为，所以或，所以.

18. 已知函数.

（1）求的值；

（2）求的单调递增区间.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）直接代入即可求值；

（2）根据二倍角公式与和差公式对函数进行化简，然后根据整体代入的方法即可求出函数的单调递增区间.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

.

由，，得，，

所以函数的单调递增区间是.

19. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，e是自然对数的底数.现有85℃的物体，放在5℃的空气中冷却，10以后物体的温度是45℃.

（1）求k的值；

（2）求该物体的温度由85℃降到30℃所需要的冷却时间.(冷却时间精确到0.1，参考数据：)

【答案】（1）；   

（2）16.8min.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得出，，从而只需求，时的值即可.

（2）利用（1）求出的解析式，根据对数的运算求时的值即可.

【小问1详解】

由题意可知，，

当时，，于是，

整理得，所以，所以.

【小问2详解】

由（1）知，，当时，，

所以，所以，

所以，

所以该物体的温度由85℃降到30℃，需要16.8min.

20. 已知，，且，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由结合同角三角函数的关系可求出，再利用正弦的二倍角公式可求得答案，或代值求解即可，

（2）由（1）可求出，由可求出的值，由于，利用两角差的余弦公式展开代值可求得答案

【小问1详解】

解法1：将，

与联立，

又，解得，.

所以，.

解法2：.

【小问2详解】

由（1）知.

因为，所以，所以，

又因为，

所以.

所以，

.

21. 已知函数（且）.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）若，求函数的值域；

（3）是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析.   

（2）.   

（3）存在，，.

【解析】

【分析】（1）求得函数的定义域，由函数的奇偶性的定义可得证；

（2）根据指数函数和对数函数的单调性可得答案；

（3）由的定义域得，分，，讨论函数的单调性，建立不等式组求解即可.

【小问1详解】

解：函数是奇函数. 证明如下：

由，解得的定义域为.

因为对任意的，都有，

且，

所以，是奇函数.

【小问2详解】

解：当时，，.

因为的定义域是，所以，

所以，，

所以，

所以，的值域是.

【小问3详解】

解：因为函数在上的值域为，又，且，

由的定义域得，所以.

①当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递增，

所以，即，

因为，所以，所以无解.

（或者因为，所以，所以无解），

故此时不存在实数a，b满足题意.

②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，

所以，即，

解得或（舍），.综上，存在实数，.

22. 已知函数，.

（1）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围；

（2）若函数在区间上单调递减，求a的最小值；

（3）若，对任意均有，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）1    （3）

【解析】

【分析】（1）求出函数的定义域，有两个不同的零点，即关于x的方程有两个不等的实根，即关于x的方程在函数的定义域内有两个不等实根，列出不等式组，解之即可得解；

（2）设对任意的，，且，利用作差法，根据函数在区间上单调递减，，分离参数即可得出答案；

（3）由（2）得当时，在上单调递减，所以，分，两种情况讨论，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：函数的定义域为，

因为有两个不同的零点，所以关于x的方程有两个不等的实根，所以，

因为关于x的方程有两个大于的不等实根，

所以，，解得；

【小问2详解】

解：设对任意的，，且，

.

因为在上单调递减，所以，

又因为，所以，

所以恒成立，

因为，

所以，，

所以，

因此a的最小值是1；

小问3详解】

解：由（2）得当时，在上单调递减，所以，

即当时，，

当时，

设，

由，得，

①当时，在上单调递增，

所以成立，

②当时，，

因为二次函数的对称轴，

所以在上单调递增，

所以，当时，，

所以成立，

综上，实数m的取值范围是.