江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学)2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题

G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学

2022－2023学年第一学期12月联合调研

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A＝{－1，0}，B＝{x|－2＜x＜0}，则A∩B＝

A．{－1}      B．{－1，0}      C．{x|－2＜x＜0}      D．{x|－2＜x≤0}

2．若复数z的共轭复数满足i＝4＋3i(其中i为虚数单位)，则z的值为

A．             B．5                C．7                 D．25

3．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图(数据来自国家统计局)．

根据该折线图，下列说法错误的是

A．城镇人口与年份星现正相关          B．乡村人口与年份的相关系数r接近1

C．城镇人口逐年增长率大致相同        D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势

4．函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为

5．若椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为

A．               B．              C．             D．

6．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a，盆地半径为b(0＜b＜a)，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为

A． ＜                  B．＜

C．()2＜                     D．()3＜

7．在数列{an}中，sin(an＋1－an)sin(an＋1＋an)＝，则该数列项数的最大值为

A．9               B．10               C．11              D．12

8．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，CA＝2，点P在该三角形的内切圆上运动，若＝m＋n(m，n为实数)，则m＋n的最小值为

A．               B．               C．                D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则

A．≤4    B．2a＋2b≥2   C．log2a＋log2b≤－2    D．sina＋sinb≤2sin

10．已知函数f(x)＝e＋e，g(x)＝e－e，则

A．函数y＝g(x)有且仅有一个零点          B．f′(x)＝g(x)且g′(x)＝f(x)

C．函数y＝f(x)g(x)的图象是轴对称图形     D．函数在R上单调递增

11．乒乓球(tabletennis)，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为f(p)，下列说法正确的是

A．三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3        B．f(p)的常数项为3

C．                                D．

12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1．G为PC的中点，M为平面PBD上一点下列说法正确的是

A．MG的最小值为

B．若MA＋MG＝1，则点M的轨迹是椭圆

C．若MA＝，则点M的轨迹围成图形的面积为

D．存在点M，使得直线BM与CD所成角为30°

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在(x－)6的展开式中，常数项为         ．

14．如图，将绘有函数f(x)＝Msin(＋φ)(M＞0，0＜φ＜π)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则φ＝         ．

15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n项和，进而可利用该法求数列{(2n－1)3n}的前n项和Sn，其操作步骤如下：

由于Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－1)3n，

3Sn＝      1×32＋3×33＋…＋(2n－1)3，

从而    2Sn＝－3－(2×32＋…＋2×3n)＋(2n－1)3，

所以     Sn＝(n－1)3＋3，

始比如上方法可求数列{n23n}的前n项和Tn，则2Tn＋3＝        ．

16．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x．若对任意x∈[1，3]，不等式f(x＋a)≤f 2(x)恒成立，则实数a的取值范围是        ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)

在数列{an}中，a＝1，其前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an，n∈N*．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若m为正整数，记集合{an|＋≤m}的元素个数为bm，求数列{bm}的前20项和．

18．(本小题满分12分)

在轴截面为正方形ABCD的圆柱中，M，N分别为弧AD，弧BC的中点，且在平面ABCD的两侧．

(1)求证：四边形ANCM是矩形；

(2)求二面角B－MN－C的余弦值．

19．(本小题满分12分)

文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N个字脱落．

(1)若N＝3，用随机变量X表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X的分布列及期望；

(2)若N＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．

20．(本小题满分12分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，c＝2．

(1)若＝2，·＝2，求A；

(2)若C－B＝，求△ABC的面积．

21．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点P在抛物线C1：y2＝4x上，圆C2：(x－2)2＋y2＝r2(0＜r＜2)．

(1)若r＝1，Q为圆C2上的动点，求线段PQ长度的最小值；

(2)若点P的纵坐标为4，过P的直线m，n与圆C2相切，分别交抛物线C1于A，B(异于点P)，求证：直线AB过定点．

22．(本小题满分12分)

若对实数x0，函数f(x)，g(x)满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称F(x)＝为“平滑函数”，x0为该函数的“平滑点”．已知f(x)＝ax3－x2＋x，g(x)＝bxlnx．

(1)若1是平滑函数F(x)的“平滑点”，

(i)求实数a，b的值；

(ii)若过点P(2，t)可作三条不同的直线与函数y＝F(x)的图象相切，求实数t的取值范围；

(2)对任意b＞0，判断是否存在a≥1，使得函数F(x)存在正的“平滑点”，并说明理由．