专题 19.9 正比例函数（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 19.9 正比例函数（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；

2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题；

3.初步利用“设参求值”解决正比例函数中的几何问题；

4.初步掌握待定系数法求正比例函数解析式

【要点梳理】

要点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）是的正比例函数；（2）（为常数且≠0）；（3）若与成正比例；

（4）（为常数且≠0）.这些都表示y与x是正比例函数关系。

要点二、正比例函数的图象与性质

（1).图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。

  (2).性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。

要点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.

【典型例题】

类型一、正比例函数定义 

1．已知函数y=(m-3)x+(m2-9)，当m取何值时，y是x的正比例函数?

【答案】-3

 【分析】根据正比例函数定义即可求解．

 解：∵y=(m-3)x+(m2-9)是正比例函数，

∴m2-9=0且m-3≠0，

∴m=．

【点拨】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义“形如（k为常数，且k≠0）的函数叫正比例函数”是解题关键 ．

举一反三：

【变式1】．已知函数y=(k-3)xk+2是正比例函数，求代数式k2-1的值．

【答案】0

 【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量指数为1，得出k值，代入代数式求解即可．

 解：∵函数y=(k-3)xk+2是正比例函数，

∴k+2=1且k-3≠0，

解得：k=-1，

∴k2-1=(-1)2-1=0．

【点拨】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题关键．

【变式2】已知关于的函数，当，为何值时，它是正比例函数？

【答案】当，时，函数是正比例函数．

 【分析】根据正比例函数的定义，形如y=kx，k≠0是正比例函数即可求解．

 解：是正比例函数，

且且，

解得，．

即当，时，函数是正比例函数．

【点拨】本题考查正比例函数定义，解绝对值方程，解一元一次方程，掌握正比例函数定义是解题关键．

类型二、正比例函数的解析式 

2．已知y与x-2成正比例，当x=3时，y=2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当y= -2时，求 自变量x的值．

【答案】（1）y=2x-4；     （2）x=1

 【分析】（1）设y=k(x－2)，把x=3，y=2代入所设的解析式中，求得k的值，即可得到所求的结果；

（2）把y=－2代入（1）中的解析式中，解方程即可求得自变量x的值．

 解：（1）设y=k(x－2)，其中k≠0

把x=3，y=2代入y=k(x－2)中，得：（3－2）k=2

解得k=2

所以y=2(x－2)

即y=2x－4

（2）把y=－2代入y=2x－4中，得2x－4=－2

解得：x=1

即自变量x的值为1

【点拨】本题考查了正比例函数的定义，已知函数值求自变量的值，掌握正比例函数的定义是关键．

举一反三：

【变式1】 已知y﹣2与3x﹣4成正比例，且当x＝2时，y＝3．

（1）求出y与x之间的函数解析式；

（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值．

【答案】（1）y＝x；（2）﹣2

 【分析】（1）根据正比例的定义设y−2＝k（3x−4），然后把x＝2时，y＝3代入计算求出k值，再整理即可得解；

（2）将点（a，−3）代入（1）中所求的函数的解析式求a的值．

 解：（1）设y−2＝k（3x−4），

将x＝2、y＝3代入，得：2k＝1，解得k＝，

∴y−2＝（3x−4），即y＝x；

（2）将点P（a，−3）代入y＝x，得：a＝−3，

解得：a＝−2．

【点拨】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．

【变式2】列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．

（1）正方形的边长为，周长为；

（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元；

（3）一个长方体的长为，宽为，高为，体积为．

【答案】（1），是正比例函数；（2），是正比例函数；（3），是正比例函数．

 【分析】（1）根据正方形的周长等于边长的4倍，即可求解；

（2）根据总收入等于月平均收入乘以时间，即可求解；

（3）根据长方体的体积等于长乘以宽乘以高，即可求解．

 解：（1）y与x的函数关系式为，是正比例函数；

（2）y与x的函数关系式为，是正比例函数；

（3）y与x的函数关系式为，是正比例函数．

【点拨】本题主要考查了列函数关系式，正比例函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．

类型三、正比例函数的图象 

3．画出下列正比例函数的图象：

（1）；        （2）．

  【分析】根据列表-描点-连线的方法画图，函数图象经过原点．

 解：（1）函数中自变量x可为任意实数．表中是y与x的几组对应值．

如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线它就是函数的图象．

用同样的方法，可以得到函数的图象（如图）．它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线．

（2）函数中自变量x可为任意实数．表中是y与x的几组对应值．

如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数的图象．

用同样的方法，可以得到函数的图象（如图）．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线．

以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数和的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数和的图象经过第二、第四象限，从左向右下降．

【点拨】本题考查了函数的图象的作法，理解作函数图象的作法，列表、描点、连线．解答此题的关键是画出函数的图象．

4．如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．

【答案】，图见解析

 【分析】根据S△ADP=•DP•AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0＜PD≤DC，得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围．

 解：S△ADP=•DP•AD=x×4=2x，

∴y=2x（0＜x≤4）；

故此函数是正比例函数，图象经过（0，0）（1，2），

因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段．

如图所示：

【点拨】此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方．

举一反三：

【变式】如图， 在平面直角坐标系中， 正方形的边长为， 轴， 点的坐标为，若直线与正方形有两个公共点， 的取值范围是__________.（写出一个即可）

【答案】

 【分析】根据，正比例函数必定经过原点，利用数形结合代入D，B的坐标求出值即可求解．

 解：因为ABCD为正方形，A

∴B，D

若直线经过D时，

解得：

若直线经过B时，

解得：

∴若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围为

故答案为：

【点拨】本题主要考查了正比例函数的图形性质，正方形的性质，利用待定系数法和数形结合求出的取值是解题的关键．

类型四、正比例函数的性质 

5．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；

（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；

（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；

（3）k　　，y随x的增大而减小；

（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．

【答案】（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．

 【分析】（1）将，代入即可求的值，进而确定函数解析式；

（2）根据正比例函数的图象特点与的关系，可得；

（3）根据正比例函数的图象特点可确定，随的增大而减小时；

（4）求出，，则的面积．

 解：（1）当，时，，

，

故答案为；

（2）函数图象过第一、三象限，

，

故答案为；

（3）随的增大而减小，

函数图象经过第二、四象限，

，

故答案为；

（4），点的横坐标为1，

，

，

，

的面积．

【点拨】本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键．

举一反三：

【变式1】．已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上．

（1）求k的值；

（2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值．

【答案】（1）-2；     （2）2

 【分析】（1）结合点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上，根据正比例函数的性质，列方程并求解，即可得到答案；

（2）根据（1）的结论，得到正比例函数的解析式；结合题意，通过计算即可得到答案．

 解：（1）∵点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上

∴-4＝2k

解得：k＝-2；

（2）结合（1）的结论得：正比例函数的解析式为y＝-2x

∵点（-1，m）在函数y＝-2x的图象上

∴当x＝-1时，m＝-2×（-1）＝2．

【点拨】本题考查了正比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性质，从而完成求解．

【变式2】已知正比例函数经过点．

（1）求的值；

（2）判断点是否在这个函数图象上．

【答案】（1）；（2）点不在这个函数图象上．

 【分析】（1）把点代入正比例函数中，得解方程，求解即可得到答案；

（2）由由（1）得，，再把代入得：，从而可得答案．

 解：（1）因为点在正比例函数的图象上，

所以

所以

解得

（2）由（1）知，，

将代入得：.

所以点不在这个函数图象上．

【点拨】本题考查的是一次函数中的正比例函数的性质，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．

类型五、正比例函数中的设参求值问题 

6．如图，在平面直角坐标系中，点M是直线上的动点，过点作轴，交直线于点，当时，设点的横坐标为，求的取值范围．

【答案】

 【分析】先确定点的坐标，从而可得的值，然后根据建立不等式，解不等式即可得．

 解：对于直线，

当时，，即，

轴，交直线于点，

点的横坐标为，

对于直线，

当时，，即，

，

，

，

解得．

【点拨】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、解不等式，表示出的值是解题关键．

举一反三：

【变式1】 已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3．

（1）求点A坐标及此正比例函数解析式；

（2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）A（3，-2），y＝-x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（-5，0）

 【分析】（1）结合题意，得；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案；

（2）设P（t，0），结合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案．

 解：（1）如图，

∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3

∴

∵△AOH的面积为3

∴

∴AH＝2

∵点A在第四象限

∴A（3，-2），

把A（3，-2）代入y＝kx，得3k＝-2

解得：

∴正比例函数解析式为y＝-x；

（2）设P（t，0），即

∵△AOP的面积为5

∴

∴t＝5或t＝-5

∴能找到一点P使S△AOP＝5，P点坐标为（5，0）或（-5，0）．

【点拨】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．

类型六、待定系数法求正比例函数的解析式 

7．写出图中直线所对应的函数表达式．

【答案】

 【分析】由函数图象知，y与x成正比例函数关系且过（1，3），待定系数法可求得直线l对应的函数表达式．

 解：设直线l的解析式为y＝kx（k≠0），将（1，3）代入，得k＝3，

故直线l所对应的函数表达式是y＝3x．

【点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，熟悉一次函数解析式的求法是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知正比例函数．

（1）若函数图象经过一、三象限，求的取值范围；

（2）若点在函数图象上．求该函数的表达式．

【答案】（1）     （2）

 【分析】（1）根据正比例函数图象的性质，得k-1＞0，解不等式即可求得k的取值范围；

（2）只需把点的坐标代入即可计算．

 解：（1）∵函数的图象经过第一、三象限

；

（2）∵点在函数图象上

故函数解析式:

【点拨】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数y=kx(k≠0)的图象的性质：k>0时，图象经过第一、三象限；k＜0时，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足直线解析式．

【变式2】在平面直角坐标系中，有点A（a+1，-6），B（2a-3，-a-5）；

（1）当点B在第二、四象限角平分线上时，求B点坐标．

（2）若线段AB∥x轴，求A、B两点坐标．

（3）在（2）的条件下，求经过点B和坐标原点O的函数解析式．

【答案】（1）B（13，-13）；（2）A（2，-6），B（-1，-6）；（3）y=6x

 【分析】（1）由题意易得2a-3-a-5=0，然后求解即可；

（2）由题意易得-6=-a-5，进而求解即可；

（3）设函数解析式为y=kx，然后把点B的坐标代入进行求解即可．

 解：（1）∵点B在二、四象限角平分线上，

∴2a-3-a-5=0，解得a=8，

∴B（13，-13）；

（2）∵线段AB∥x轴，

∴-6=-a-5，解得a=1，

∴A（2，-6），B（-1，-6）；

（3）设函数解析式为y=kx，

把B（-1，-6）代入y=kx中，得k=6，

∴过点B和坐标原点O的函数解析式y=6x．

【点拨】本题主要考查待定系数法求正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．

类型七、正比例函数的应用 

8．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，而且当时，．试用h表示t，并分别求当和时，小球落地所用的时间．

【答案】函数的解析式为h=5t2；h=10时，t=；h=25时t=．

 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值．

 解：设h=kt2，由h=20时，t=2，得

20=22k，解得k=5．

函数的解析式为h=5t2，

当h=10时，t2=2，解得t=；

当h=25时，t2=5，解得t=．

【点拨】本题考查了函数关系式，利用了待定系数法求解析式．

举一反三：

【变式1】已知蜡烛燃烧时长度的变化与时间成正比例关系，一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后变短了．

（1）求函数y关于自变量x的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）画出此函数的图象．

【答案】（1）：（2）图见解析

 【分析】（1）设，然后根据一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了即点（6，3.6）在函数图像上进行求解即可；

（2）先列表，然后描点，画出函数图像即可．

 解：（1）设，把点（6，3.6）代入得：，

解得，

∴函数y关于自变量x的解析式为：，自变量的取值范围为：；

（2）列表如下：

函数图像如下所示：

【点拨】本题主要考查了求正比例函数解析式，画函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

【变式2】甲、乙两地相距20千米，小明上午8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速8千米/小时；小丽上午10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40千米/小时．

（1）分别写出两人所走路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；

（2）求谁先到达乙地？

【答案】（1）由题意可得，y小明，y小丽；（2）小明和小丽同时到达乙地

 【分析】（1）根据题意，可以分别写出两人所走路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式；

（2）根据题意知（1）中函数关系式，可以分别计算出两人到达乙地的时间，从而可以得到谁先到达乙地

 解：（1）由题意可得，y小明，y小丽；

（2）当y小明时，20=8x，

解得，，，即小明10:30到达乙地，

当y小丽时，，

解得，，，即小丽10:30到达乙地，

由上可得，小明和小丽同时到达乙地

【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，利用一次函数的性质解答