专题 19.17 一次函数（二）（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 19.17 一次函数（二）（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解一次函数的概念，通过数形结合理解并掌握一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数y=kx+b的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3.掌握“设参求值”法在一次函数中的解决几何问题
4. 掌握运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
特别说明：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线 ；
当b＞0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向上平移b个单位长度得到的；
当b＜0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向下平移|b|个单位长度得到的.
2. 一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质：
一　　次　　函　　数
概　念
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图　像
一条直线
性　质
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
3. k、b对一次函数的图象和性质的影响：
k决定直线y=kx+b从左向右的趋势，b决定它与轴交点的位置，k、b一起决定直线y=kx+b经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
特别的：当直线时，
要点三、待定系数法求一次函数解析式
解题步骤：
第一步（设）：设出函数的一般形式（称一次函数通式）；
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组；
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值；
第四步（写）：写出该函数的解析式。
要点四、“设参求值”解决几何问题
设参求值解决几何问题的步骤：设参数——表示点坐标——表标线段长——表示面积（周长）等——建立等量关系——列方程，从而达到解题的目的。
要点五、一次函数图象的平移
上下平移
(1) 直线y=kx+b上平移n(n >0)个单位得到直线y=kx+bn;
(2) 直线y=kx+b下平移n(n >0)个单位得到直线y=kx+b-n.
简记为上加下减(只改变b)
左右平移
(1) 直线y=kx+b左平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x+m)+b;
(2) 直线y=kx+b右平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x-m)+b.
简记为:左加右减(只改变x)
【典型例题】
类型十、一次函数图象的平移
10．请回答下列问题：
（1）直线可以由直线沿轴向_____（填“上”“下”）平移_____个单位得到；
（2）直线可以由直线沿轴向______（填“上”“下”）平移_____个单位得到．
【答案】     上     3     下     2
【分析】
（1）根据平移的规律：上加下减，左加右减进行求解即可；
（2）根据平移的规律：上加下减，左加右减进行求解即可．
解：（1）直线可以由直线沿轴向上平移3个单位得到；
故答案为：上，3；
（2）直线可以由直线沿轴向下平移2个单位得到，
故答案为：下，2．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟知一次函数图象平移的规律是解题的关键．
举一反三：
【变式1】点，为一次函数（）图像上两点．
(1)若
①当时，的范围为______．
②若将此函数图像沿轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为______．
(2)比较、的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)，理由见解析
【分析】
（1）①根据题意得到-2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得；
（2）根据一次函数的性质即可判断．
解：( 1 ) ∵k=-2，
∴一次函数为y=-2x+4，
① ∵y＜0，
∴-2x+4＜0，
∴x＞2；
②将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为y=-2x+4+3=-2x+7；
故答案为：①；②
（ 2 ）∵一次函数y=kx+4中，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y=kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3，
∴p＞q．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键．
【变式2】一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，﹣2），则
（1）求这个函数表达式；
（2）判断（﹣5，3）是否在此函数的图象上；
（3）把这条直线向下平移4个单位长度后的函数关系式是　 　．
【答案】（1）y＝2x+4；（2）（﹣5，3）不在此函数的图象上；（3）y＝2x．
【分析】
（1）待定系数法即可求解；
（2）把点代入即可判断是否在直线解析式上；
（3）根据上加下减的规律即可得出答案．
解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，﹣2），
∴﹣3k+4＝﹣2，
∴k＝2，
∴函数表达式y＝2x+4；
（2）把（﹣5，3）代入y＝2x+4，
∵﹣10+4＝﹣6≠3，
∴（﹣5，3）不在此函数的图象上；
（3）∵把这条直线向下平移4个单位，
∴函数关系式是：y＝2x；
故答案为：y＝2x．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握用待定系数法求一次函数的解析式．
类型十一、判断一次函数的增减性
11．y﹣5与x成正比例，且x＝3时y＝﹣4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）用所学的代数知识证明：对于该函数，函数值y随自变量x的增大而减小．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）在一次函数的图象上任取两点，设，且，则，判断可得，则．即可得到答案．
解：（1）设与x之间的函数表达式为
把代入得：，解得：，
∴，即：y与x之间的函数表达式：；
（2）在一次函数的图象上任取两点，设，且，
则，
∵
∴
∴，即；
∴时，．
∴对于函数，其函数值y随自变量x的增大而减小．
【点拨】本题考查了一次函数解析式的求法，以及函数的增减性，第（1）问，能正确设出表达式是解答此问的关键；第（2）问，能用求差法比较函数值的大小，是解答此问的关系．
举一反三：
【变式1】 从0开始逐渐增大时，函数和哪一个的值先到达10？哪一个的值先到达20？这说明了什么？
【答案】，，说明见解析
【分析】
分别计算函数值为10和20时，两个函数的自变量的值，然后把自变量的值即可判断谁先到达10，谁先到达20，由于5＞2，则对于y＝5x−2，y随x的变化较快．
解：2x＋6＝10，解得x＝2；5x−2＝10，解得x＝，
所以函数y＝2x＋6的值先到达10；
2x＋6＝20，解得x＝7；5x−2＝20，解得x＝，
所以函数y＝5x−2的值先到达20，
这说明对于y＝5x−2，y随x的增大而增大的幅度较大．
【点拨】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
【变式2】直线L1：y1=x+2与过点（，0）的直线L2：y2=kx+b交于点（m，1）
（1）求直线L2的解析式
（2）当-2≤x≤3时，求y2的最小值
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据直线L1的解析式求得的值，进而根据经过两点，待定系数法求解析式即可；
（2）根据一次函数的性质，可知随的增大而减小，进而当时取得最小值．
解：（1）过点

解得
交点
过点，

解得
求直线L2的解析式
（2），
随的增大而减小，
当时，，
当时，的最小值为．
【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
类型十二、由一次函数增减性求参数
12．已知与成正比例，且时，．
(1) 写出与之间的函数关系式；
(2) 已知点在该函数的的图象上．且，求的取值范围．
【答案】(1)y=2x+4
(2)m＜-4
【分析】
（1）利用正比例的意义设y-2=k（x+1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
（2）利用n=2m+4和m>n得到m>2m+4，然后解不等式即可．
解：（1）设y-2=k（x+1），
把x=2，y=8代入得8-2=（2+1）k，
解得k=2，
y-2=2（x+1），
y与x之间的函数关系式为y=2x+4；
（2）把P（m，n）代入y=2x+4得n=2m+4，
m>n，
m>2m+4，
解得m<-4，
即m的取值范围为m<-4．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
举一反三：
【变式1】已知，一次函数
(1) 当a、n为何值时，y随x的增大而增大？
(2) 当a、n为何值时，函数的图象经过一、二、四象限？
(3) 当a、n为何值时，函数的图象经过原点？
【答案】(1)，n为任意实数； (2)且；(3)当且．
【分析】
（1）由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出并求解即可；
（2）当函数的图象经过一、二、四象限时，由一次函数的图像与系数的关系可知且，求解即可；
（3）根据一次函数的定义结合一次函数图像上点的坐标特征，得出，，求解即可．
解：（1）当y随x的增大而增大时，有，解得，
∴当，n为任意实数时，y随x的增大而增大．
（2）当函数的图象经过一、二、四象限，可知
，解得 ，
∴当且时，函数的图象经过一、二、四象限．
（3）若函数的图象经过原点，则有，，
解得 ， ，
∴当且时，函数的图象经过原点．
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是牢记一次函数的相关知识并熟练运用．
【变式2】已知，一次函数
(1) 若这个一次函数的图像经过原点，求a的值；
(2) 若这个一次函数的图像与y轴交于点，且y的值随x的增大而减小，
求a 的值．
【答案】(1)a=2；(2)a=-；
【分析】
(1)经过原点，则a2−4=0，求得其值即可；
(2)根据一次函数的图像与y轴交于点(0,2)，且y的值随x的增大而减小，2=a2−4,
且a+2＜0从而可以求解；
解：（1）∵一次函数y=(a+2)x+a2−4的图像经过原点，
∴a2−4=0，a+2≠0，
∴a=2.
（2）一次函数的图像与y轴交于点(0,2)，
∴2=a2−4，
∴a=,
又∵y的值随x的增大而减小，
即a+2＜0,
∴a=.
【点拨】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象的几何变换，掌握一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系是关键.
类型三、由一次函数增减性求自变量的变化情况
13．已知与成正比例，且当时，．
(1) 求与的函数表达式；
(2) 当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，的取值范围为
【分析】
（1）设，把，代入求解即可；
（2）分别求出当和时的值，再根据一次函数的增减性确定的取值范围．
解：（1）设，
把，代入得，
解得，
∴，
∴与的函数表达式为；
（2）当时，；
当时，，
∴当时，的取值范围为．
【点拨】此题考查了正比例函数的解析式、一次函数的增减性，解题的关键是掌握正比例函数的解析式以及一次函数的增减性．
举一反三：
【变式1】已知一次函数y＝2x+4，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；
(3)当时，直接写出y的取值范围．

【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)
【分析】
（1）令 求解一次函数与轴的交点坐标，令 求解一次函数与轴的交点坐标；
（2）先列表，再描点，连线即可得到函数是图象；
（3）分别先求解当时的函数值，再根据一次函数的增减性即可得到答案.
解：（1） 一次函数y＝2x+4，
令 则
令 则

(2) 解：列表：






描点并连线

(3) 一次函数y＝2x+4，
随的增大而减小，
当时， 当时，
所以当时，
【点拨】本题考查的是画一次函数的图象，求解一次函数与坐标轴的交点，一次函数的增减性，掌握“画一次函数的图象与一次函数的增减性”是解本题的关键.
【变式2】一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）画出一次函数的图象；
（3）结合图象解答下列问题：
①当时，的取值范围是___________；
②当时，的取值范围是___________；

【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②
【分析】
（1）由一次函数的图象与正比例函数的图象平行，可得，由一次函数的图象过点可得即可；
（2）图象如图所示：描点（0，2）与（2，-4）连线得图像如图；
（3）①先求直线与x轴的交点（，0），当时，直线位于x轴下方， 可得；
②先求x=0，；x=2，即可．
解：（1）∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行，
，
又∵一次函数的图象过点．
根据题意得：，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）图象如图所示：
取x=0，y=2，描点（0，2）与（2，-4），
连线得图像如图，

（3）①当时，=，直线与x轴的交点（，0），
当时，直线位于x轴下方，自变量的取值范围在交点的右侧，
∴；
故答案为；
②当时，取x=0，，取x=2，，
∴，
故答案．
【点拨】本题考查平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围，掌握平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围是解题关键．
类型十四、比较一次函数值的大小
14．已知与x成正比例，当时，．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在（1）中函数的图象上，比较y1与y2的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据正比例函数的定义设，将的值代入求解即可；
（2）根据，随的增大而减小，即可判断的大小关系．
解：（1）与x成正比例，
设
当时，．

解得

（2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在的图象上，
随的增大而减小，


【点拨】本题考查了正比例函数的定义和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】 已知是的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若点、是该函数图象上的两点，试比较、的大小；
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意设出一次函数表达式为，然后利用待定系数法代入求解即可；
（2）根据一次函数的增减性即可判断、的大小．
解：（1）设，将，；，分别代入，
得，
解得：，
故这个一次函数的表达式为；
（2）由，随着增大而减小，
，
．
【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，利用一次函数增减性比较函数值的大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数表达式以及一次函数增减性和自变量系数的关系．一次函数增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），①当k>0时，图象一定经过第一、第三象限，图象从左向右上升，y随x的增大而增大；②当k<0时，图象一定经过第二、第四象限，图象从左向右下降，y随x的增大而减小．
【变式2】已知一次函数y＝﹣2x+4．
（1）在平面直角坐标系内画出函数图象；
（2）函数图象经过两点A（﹣，m），B（﹣1，n），比较m，n的大小？

【答案】（1）见解析；（2）m＜n
【分析】
（1）作函数图象步骤：列表、描点、连线，而一次函数图象是一条直线，故取两个点即可；
（2）根据一次函数性质即可得到答案．
【详解】
解：（1）列表：
x
0
2
y=-2x+4
4
0
描点、连线如下图：

（2）∵一次函数y=-2x+4中，k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又函数图象经过两点A（，m），B（-1，n），且＞-1，
∴m＜n．
【点拨】本题考查一次函数的图象及性质，掌握作函数图像的步骤，熟记一次函数的性质是解题的关键．
类型十五、一次函数规律探索
15．（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？
（2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？
【答案】（1）图见解析，这两个图象关于轴对称；（2））这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称．
【分析】
画出函数图像，即可求解．
解：（1）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称；
（2）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称．

【点拨】本题考查的是一次函数的图象，函数与系数之间的关系，熟知一次函数图象的画法是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝ka+b（k＞0）和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)．
（1）求k、b的值；
（2）填写下列各点的坐标：B3( ， )，Bn( ， )．

【答案】（1）；（2）7，4；2n﹣1，2n﹣1
【分析】
（1）根据已知B1（1，1），B2（3，2），求出A1（0，1），A2（1，2），就可以确定一次函数的解析式；
（2）根据图象能够求得B3（7，4），通过观察图象可以得到Bn的横坐标是An＋1的横坐标，Bn的纵坐标是An的纵坐标；再通过An（2n﹣1﹣1，2n﹣1）的规律，确定Bn（2n﹣1，2n﹣1）的规律，进而求解本题．
解：（1）∵点B1（1，1），B2（3，2），
∴A1（0，1），A2（1，2），
将点A1，A2代入直线y＝kx＋b（k＞0）得：，
解得：；
（2）通过观察图象可知Bn的横坐标是An＋1的横坐标，Bn的纵坐标是An的纵坐标，
∵A3（3，4），A4（7，8），
∴An（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
∴Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴B3（7，4）．
故答案为：（1）；（2）7，4，2n﹣1，2n﹣1．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
【变式2】一次函数(n为正整数)的图象与x轴、y轴的交点是A、B，O是原点，设的面积为.
(1) 求；
(2) 求.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）把n=1代入一次函数，求出AB的坐标，根据三角形的面积公式即可得出s1的值；
（2）先分别令x=0求出y的值，再令y=0求出x的值，由三角形的面积公式可得出Sn的表达式，在分别把n=1，2，3…2010代入，求出s1+s2+s3+…+S2018的值即可
解：(1) ∵当时，一次函数的解析式为，
∵A(1，0)，B(0，)，∴.
(2) ∵令，，∴
令，，
∴，
∴


.
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及三角形的面积公式，属规律性题目，难度较大．
类型十六、一次函数解析式
15．在平面直角坐标系中，一次函数经过点(0，2)．
(1)求这个一次函数的解析式：
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，求k的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据题意解不等式组即可．
解：（1）∵一次函数经过点(0，2)
∴2=b，
这个一次函数的解析式为．
（2）由
则过定点(1，0)，
依题意，的解集为
，且
，且

即

当时，，则
当时，，则
综上所述，
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式组，理解题意是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点A（1，2）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A（1，2）代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
∵一次函数的图象经过点A（1，2），
∴2=1+b，
解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）如图，令y=0，则x=-1，
∴B（-1，0），

∴S△AOB=×1×2=1，
∴△AOB的面积为1．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
【变式2】如图，直线经过点．
(1)________，_________；
(2)若直线与轴、轴分别交于两点，点在轴上，且，求的面积．

【答案】(1) ； (2) 或
【分析】
（1）将点（，）点（，）代入直线中，列关于，的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据直线解析式求出点，点的坐标，再根据分类讨论出点的位置，即可求解的面积．
解：（1）直线：经过点（，）点（，）

解得：
直线的解析式为：
故答案为：；
（2）直线的解析式为：，且与轴，轴交于点，点
当时，，解得
（，），
当时，
点（，）



当点在点左侧时，，
此时
当点在点右侧时，，
此时
综上所述：的面积为：或
【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征及三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式及分类讨论点的位置，不要漏解．