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专题 19.24 一次函数与方程、不等式（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 19.24 一次函数与方程、不等式（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 19.24 一次函数与方程、不等式（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，直线与轴交于A点，与直线交于B点，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．(0,) B．(0,) C．(0,3) D．(0,4)
3．如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
5．已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．
A． B． C．2 D．3
9．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接 AE．作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF交线段AE于点G，则线段BG长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
12．关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
13．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
14．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线分别与交于点，与轴交于点．若，则下列范围中，含有符合条件的的（ ）
A． B． C． D．
15．如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2
16．已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+6相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D（a，a+1）落在△ABC内部（不含边界），则a的取值范围是（ ）
A．﹣3＜a＜2 B． C． D．﹣2＜a＜2
17．已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点，是这个函数的图象上的两点，且，则；④当，函数的值，则，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．某二元方程的解是（为实数），若把看作平面直角坐标系中点的横坐标，看作平面直角坐标系中点的纵坐标，下面说法正确的是（ ）
A．点一定不在第一象限 B．点一定不在第二象限
C．随的增大而增大 D．点一定不在第三象限
19．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）
A．＞-2 B．＜-2 C． D．
二、填空题
20．已知直线与x轴的交点在、之间（包括、两点），则的取值范围是__________.
21．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
22．已知直线y1＝kx＋1(k＜0)与直线y2＝nx(n＞0)的交点坐标为(，)，则不等式组nx－3＜kx＋1＜nx的解集为______．
23．如图，函数y=mx和y=kx+b的图象相交于点P（1，m），则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为________．
24．直线y=kx+b经过点B（﹣2，0）与直线y=4x+2相交于点A，与y轴交于C(0，﹣4)，则不等式4x+2＜kx+b的解集为____.
25．若直线与直线交于点，且函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是______．
26．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
27．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知四个定点、、、，点在四边形内，则到四边形四个顶点的距离的和最小时的点的坐标为______．
29．如图，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点是线段上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为___________．
30．已知：k为正数，直线l1：y=kx+k-1与直线l2：y=(k+1)x+k及x轴围成的三角形的面积为Sk，则S1+S2+S3+....+S2016的值为______.
三、解答题
31．设函数y1=ax+b，y2=bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P．
(1)求证：点P在y轴的右侧．
(2)已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大．
①当x=2时，y2-y1=2，求a的取值范围．
②若点P的坐标是（1，1），且a>b，求证当x=2时．
32．如图1，直线yx+6与x轴交于点A，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线yx+6相交于点D，若AB＝5．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求出四边形AOCD的面积；
(3)如图2，若P为直线AD上一动点，当△PBD的面积是四边形AOCD的面积的一半时，求点P的坐标．
33．如图，直线y1＝2x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+2（k≠2）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E．
(1)直接写出点A，B，D的坐标；
(2)如图1，若∠BED＝45°，求点C的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，过点P(m，m)作平行于x轴的直线交y1于M，作平行于y轴的直线交y2于N，若PM≥2PN，求m的取值范围．
34．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x＋3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线L2的解析表达式；
(3)求△ADC的面积；
(4)在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的值，则由直线与直线交于点，可得交点横坐标为；其次，通过解一元一次方程，得 ，则，即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
解得 ，
∵直线与直线交于点，
∴，
由，得 ，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为：，
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是明确题意，掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解．
2．B
【解析】
【详解】
过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3-n，
∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+12=（3-n）2，解得n=，
∴点C的坐标为（0，）．故选B．
3．A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可．
【详解】
解：如图，连接、，
，，
，
点与关于直线对称，
，
在中，
点坐标为或，
，点关于直线的对称点恰好落在轴上，
点关于直线的对称点，
点坐标为不合题意舍去，
设直线方程为
将，代入得：，
解得，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
点的坐标为：；
故选：A．
【点拨】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
根据定义轴上存在即可求得，根据题意联立即可求得的范围，结合定义所求范围即可求解
【详解】
∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故选B
【点拨】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
将点代入函数中，得到关于，，的关系式，将看作常数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将，用含的式子表示出来，此时再回代入函数中，求解出的值，最后在一次函数中令，求解出y的值，最终表示出交点坐标即可．
【详解】
解：将点代入函数中，
得：，
又∵，
化简可得：
此时联立方程组可得： ，
解得：，
∴点的坐标可表示为（-k，2k），
将（-k，2k）代入得：
，
解得，
∵为常数且，
∴，
此时一次函数，
令，
解得：，
∴交点坐标为．
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，联立二元一次方程组并正确求解是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出，，解不等式组即可求得．
【详解】
解：在函数中，令得，令得，则，，
点P在的内部，
∴，
解得：．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式是解题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】
解：将函数的图象向上平移m个单位长度后的图象的解析式为，
联立后可以得到：，
解得，
因为它们的交点在第二象限，
即，
解得，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象的平移以及求图象的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．
8．B
【解析】
【分析】
首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】
解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m），D（m-3，-m+4），
∴，，
∴AB=CD，
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=CD，
故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，
∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴点C在直线y=-x上运动，
∴由点到直线的距离垂线段最短可知， BC⊥直线y=-x 时，BC的值最小，如下图所示：
易求得直线BC的解析式为：y=x-3
C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：
，解得，故，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．C
【解析】
【分析】
根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故选：C
【点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
10．B
【解析】
【分析】
建立如下图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，可将各点坐标求出，并通过两点式分别求出直线BF、直线AE的解析式，直线BF与AE相交于点G，即可求出BG的长度．
【详解】
解：建立如图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，
∵ABC和ACD都是等腰直角三角形，且BC=，
∴AC=BC=，AB=，AD=CD=，
可将各点坐标表示出来，A(0，)，B(，0)，C(0,0)，D(,),
∴点E为CD中点，故E的坐标为(,),
又∵CF为CE关于AC的对称线段，故F的坐标为(,),
设直线BF的解析式为：y=kx+b，将B点、F点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
设直线AE的解析式为：y=mx+n，将A点、E点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
直线BF与AE相交于点G，
，解得：，即G(,)，
线段BG的长度为：，
故选：B．
【点拨】本题主要考察了直角坐标系与几何图形的结合、求一次函数解析式、两直线交点、用勾股定理求坐标系中两点距离，解题的关键在于求出各点的坐标．
11．A
【解析】
【分析】
作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标．
【详解】
解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示．
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵且，
∴当值最小时，值最小．
根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小．
∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式，
∴，即，
∴Q点的坐标为（，）．
故选A．
【点拨】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题．
12．A
【解析】
【分析】
解分式方程可得 且，再根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，结合可得，且，再根据是整数和是非负整数求出的所有值，即可求解．
【详解】
经检验，不是方程的解
∴
∵分式方程的解为非负整数
∴
解得 且
∵一次函数的图象不经过第三象限
∴
解得
∴，且
∵是整数
∴
∵是非负整数
故答案为：A．
【点拨】本题考查了分式方程和一次函数的问题，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键．
13．D
【解析】
【分析】
先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围.
【详解】
解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞x，
即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选D．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
14．D
【解析】
【分析】
两直线与y轴的交点相同为（0，-2），求出A与B坐标，由S△GAB＜S△GOA，得AB＜OA，由此列出不等式进行解答．
【详解】
∵直线l1：y=kx-2与x轴交于点A，直线l2：y=（k-3）x-2分别与l1交于点G，与x轴交于点B．
∴G（0，-2），A（ ，0），B（ ，0），
∵S△GAB＜S△GOA，
∴AB＜OA，
即 ，即
当k＜0时， ，解得k＜0；
当0＜k＜3时，，解得k＜0（舍去）；
当k＞3时，，解得k＞6，
综上，k＜0或k＞6，
∴含有符合条件的k的是k＞3．
故选D．
【点拨】本题主要考查了两直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象与坐标轴的交点问题，关键是根据AB＜OA列出k的不等式．
15．D
【解析】
【分析】
如图，可知当直线在过点和点两点之间的时候满足条件，把、两点分别代入可求得的最小值和最大值，可求得答案．
【详解】
解：
直线与正方形有公共点，
直线在过点和点两直线之间之间，
如图，可知，，
当直线过点时，代入可得，解得，
当直线过点时，代入可得，解得，
的取值范围为：，
故选．
【点拨】本题主要考查一次函数图象点的坐标，由条件得出直线在过和两点间的直线是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
16．B
【解析】
【分析】
利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到△ABC的位置，若点D（a，a+1）落在△ABC内，则D点在两条直线的下方同时在x轴上方，可列出不等式组求解．
【详解】
已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+6相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，
根据一次函数图象的性质，可以得到如图所示示意图，
∵点D（a，a+1）落在△ABC内部（不含边界），
∴列不等式组，
解得：﹣2＜a＜，
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键．
17．C
【解析】
【分析】
根据图象，分析y=kx+b中k、b的符号，与x轴的交点坐标，再逐一进行分析判断即可得答案.
【详解】
由图可得，y=kx+b的图象过一二四象限，
则k＜0，b＞0；故①正确；
观察图象可知其与x轴交于点（m，0），
所以x=m是方程kx+b=0的解，故②正确；
观察图象可知y随着x的增大而减小，由，可得y1>y2，
所以，故③正确；
观察图象可知y随着x的增大而减小，又当-1≤x≤2，函数的值1≤y≤4，
所以可知图象经过（-1，4）、（2，1）两点，则有
，解得，故④错误，
故正确的有3个，
故选C.
【点拨】本题考查了一次函数y=kx+b的图象与k、b的关系，一次函数的性质，待定系数法、一次函数与一元一次方程等，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题的关键.
18．A
【解析】
【分析】
根据两个式子消去m，即可得到y与x之间的函数关系式，根据关系式即可判断．
【详解】
由x=m-1得：m=x+1代入y=-2m+1，
得：y=-2x-1，
是一次函数，且经过第二，三，四象限．不经过第一象限，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），正确进行消元，把方程组的问题转化为函数式是解题关键．
19．D
【解析】
【详解】
由函数和的图象关于轴对称可由的图象得到函数的图象如图所示，
由图可知：函数的图象位于轴之上的部分在点（2，0）的左侧，
∴不等式的解集为：.
故选D.
【点拨】（1）函数和的图象关于轴对称；（2）函数和的图象关于轴对称；（3）不等式的解集是函数的图象位于轴之上的部分图象所对应的自变量的取值范围；不等式的解集是函数的图象位于轴之下的部分图象所对应的自变量的取值范围.
20．
【解析】
【分析】
根据题意得到的取值范围是，则通过解关于的方程求得的值，由的取值范围来求的取值范围．
【详解】
解：直线与轴的交点在、之间（包括、两点），
，
令，则，
解得，
则，
解得．
故答案是：．
【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得的值是解题的突破口．
21．
【解析】
【分析】
根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．
【详解】
令，则，
令，则，
∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方，
∴可知在时，有公共解，
∴，解得：，
故填：．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．
22．
【解析】
【分析】
由函数都经过(，)可求得k=n-3，代入不等式组即可解答.
【详解】
解：把(，）代入y1=kx+1，可得，
解得k=n-3，
代入不等式得nx－3＜nx-3x＋1＜nx，
解得：
∴不等式组mx-2＜kx+1＜mx的解集为
，
故答案为，．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一元一次不等式组的解法．根据函数交点求出k和n的关系是解题的关键.
23．﹣1≤x≤0．
【解析】
【详解】
解：∵y=kx+b的图象经过点P（1，m），
∴k+b=m，
当x=﹣1时，kx﹣b=﹣k﹣b=﹣（k+b）=﹣m，即（﹣1，﹣m）在函数y=kx﹣b的图象上．
又∵（﹣1，﹣m）在y=mx的图象上，
∴y=kx﹣b与y=mx相交于点（﹣1，﹣m）．
则函数图象如图．
则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为﹣1≤x≤0．
故答案为﹣1≤x≤0．
点睛：本题考查了一次函数与不等式的关系，正确确定y=kx-b和y=mx的交点是关键．
24．x＜－1
【解析】
【详解】
试题分析：根据图像的交点可得，解得，因此一次函数的解析式为y=-2x-4，求出交点A的坐标为（-1，-2）然后根据函数的图像可知4x+2＜kx+b的解集为x＜-1.
25．
【解析】
【分析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可得，求得，再由一次函数的性质可得，则可得出关于m的一元一次不等式组，求解后即可得出结果．
【详解】
解：∵直线与直线交于点，
∴ ，
∴，
∴，
∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
即，
∴或，
当时，，，此不等式组无解；
当时，，，不等式组的解集为．
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点拨】此题考查了一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数的性质及一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点并能准确运用其求解是解题的关键．
26．2
【解析】
【分析】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解】
解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法．
27．（-2,3）．
【解析】
【分析】
由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解．
【详解】
解：∵
∴
∵直线与直线的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将代入中得
∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）．
【点拨】此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系．
28．(-，)
【解析】
【分析】
设AC与BD交于P′点，则由不等式的性质可得，PA+PC≥AC=P′A+P′C，PB+PD≥BD=P′B+P′D，得出PA+PB+PC+PD≥AC+BD，所以当P在P′处时PA+PB+PC+PD的值最小，再根据点P′为直线AC与BD的交点可求出此时点P′的坐标．
【详解】
解：如图，设AC与BD交于P′点，则PA+PC≥AC=P′A+P′C，PB+PD≥BD=P′B+P′D，
因此，PA+PB+PC+PD≥AC+BD，当动点P在P′的位置时，PA+PB+PC+PD的值最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A(-3，0)，C（0，3）代入得，
，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3①，
同理根据点B（1，-1），D（-1，3）可得直线BD的解析式为y=-2x+1②，
联立①②得，，解得．
∴此时点P的坐标为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，一次函数解析式的求法，一次函数图象的交点问题以及不等式的性质等知识，关键是运用三角形的三边关系求解最值．
29．2或或4
【解析】
【分析】
先求出直线与直线交点C的坐标，若使是等腰三角形，分三种情况讨论，即OQ=CQ或OC=OQ或OC=CQ，在直角三角形中利用勾股定理，根据等腰三角形的性质即可求出OQ．
【详解】
①如图，当OQ=CQ时，过点C作CE⊥OA于点E，
直线与直线交于点C，
得x=2，
y=x=2
∴C(2,2)
设OQ=CQ=x，QE=2-x
在Rt△CEQ中
解得x=2
②当OC=OQ时，过点C作CE⊥OA于点E，C(2,2)
在Rt△CEO中，
OC=
③当OC=CQ时， 过点C作CE⊥OA于点E
∵OC=CQ
∴OE=EQ=2
∴OQ=2OE=4
综上所示，若是等腰三角形，OQ的长为2或或4
故答案为：2或或4
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，在直角三角形中可用勾股定理解直角三角形，已知两条直线解析式可求出交点坐标．
30．
【解析】
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算S1+S2+S3+....+S2016即可．
【详解】
解：对直线l1：y=kx+k－1，当y=0时，有kx+k－1=0，解得：，
∴直线l1与x轴的交点坐标为（，0），
同理可得出：直线l2与x轴的交点坐标为（，0），
∴两直线与x轴交点间的距离．
联立直线l1、l2成方程组，得：
，解得：，
∴直线l1、l2的交点坐标为（－1，－1）．
∴S1+S2+S3+....+S2016=+++……+
=
=
=
=
=.
故答案为.
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离、找准计算规律是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)①a＞-1；②见解析
【解析】
【分析】
（1）由ax+b=bx+a，解得x=1，即知点P在y轴的右侧．
（2）①由函数y2的值随x的增大而增大，得b＞0，点P在第一象限，可得a+b＞0，当x=2时，y2-y1=2，可得b=a+2，即可得a＞-1；
②根据点P的坐标是（1，1），知b=1-a，由a＞b，b＞0，可得＜a＜1，而当x=2时，y2-y1=2a-1，，即可证明．
(1)
证明：令ax+b=bx+a，解得x=1，
∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1，
∴点P在y轴的右侧．
(2)
①当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，
∵y2-y1=2，
∴（2b+a）-（2a+b）=2，
∴b-a=2，即b=a+2，
∵函数y2的值随x的增大而增大，
∴b＞0，即a+2＞0，
解得a＞-2，
∵点P在第一象限，
∴a+b＞0，即a+（a+2）＞0，
解得a＞-1；
∴a的取值范围是a＞-1；
②证明：∵点P的坐标是（1，1），
∴a+b=1，
∴b=1-a，
∵a＞b，b＞0，
∴a＞1-a且1-a＞0，
∴＜a＜1，
当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1，
，
∵＜a＜1，
∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查一次函数及应用，涉及一次函数图象上点坐标特征，不等式等知识，解题的关键是根据已知求出a的范围．
32．(1)y=-x+1；
(2)四边形AOCD的面积为7；
(3)点P的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）由求出A(-4，0)，根据AB=5得B(1，0)，把B(1，0)代入，即可解得直线BC的解析式为；
（2）由得C(0，1)，解得D(-2，3)，可得，，故四边形AOCD得面积为7；
（3）分两种情况：P在BD上方时，过点P作交x轴于点M，连接DM，可得，即，可得，直线PM为：，解得，当P在BD下方时，过点作交x轴于点，同理可得．
(1)
解：在中，令y=0，则x=4，
A(-4，0)，
AB=5，
B(1，0)，
把B(1，0)代入得：0=-1+m，
解得m=1，
直线BC的解析式为；
(2)
解：在中，令x=0，则y=1，
C(0，1)，
解，得，
D(-2，3)，
，，
；
(3)
解：P在BD上方时，过点P作交x轴于点M，连接DM，如图：
，
，
的面积是四边形AOCD的面积的一半，
，
，即，
，
，
，
设直线PM为：，
将代入得：，
，
直线PM为：，
解，得，
，
当P在BD下方时，过点作交x轴于点，如图：
，
，
的面积是四边形AOCD的面积的一半，
，
，即，
，
，
，
设直线为：，
将代入得：，
，
直线PM为：，
解，得，
，
综上所述，P得坐标为或．
【点拨】本题考查一次函数的应用，涉及四边形、三角形面积，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是通过作平行，转化三角形的面积．
33．(1)A、B、D的坐标分别为(-2，0)、(0，4)、(0，2)
(2)C（﹣6，0）
(3)
【解析】
【分析】
（1）对于y1＝2x+4，令y1＝2x+4＝0，解得x＝-2，得到A(-2，0)，令x＝0，则y＝4，得到B(0，4)；对于y2＝kx+2，令x＝0，则y＝2，得到D(0，2)；
（2）过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF的延长线于点H，
证明△AMB≌△BNH（AAS），求出点H(4，2)，进而求出AH解析式，由AH∥CD，进而求出CD解析式即可求解；
（3）求出点M的坐标为，点N，求出PM、PN，利用PM≥2PN，解不等式即可求解．
(1)
解：令y1＝2x+4中令y1=0，解得x＝-2，得到A(-2，0)，
令x＝0，则y＝4，得到B(0，4)；
令y2＝kx+2中x＝0，则y＝2，得到D(0，2)．
(2)
解：过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF的延长线于点H，
过A作AM⊥x轴，过B作MN⊥y轴，如下图所示：
∵AH∥CD，则∠BAH＝∠BED＝45°，
故△ABH为等腰直角三角形，则AB＝BH，
∵A(-2，0)，B(0，4)，
∴AM＝OB=4，BM＝AO=2，
∵∠ABM+∠MAB＝90°，∠ABM+∠NHB＝90°，
∴∠MAB＝∠NBH，
∴∠AMB＝∠BNH＝90°，AB＝BH，
∴△AMB≌△BNH（AAS），
∴AM＝BN＝4，MB＝NH＝2，
故点H的坐标为(4，2)，
设直线AH解析式为：，代入A(-2，0)和H(4，2)，
∴，解出，
∴直线AH的表达式为，
∵AH∥CD，则，代入D(0，2)，
∴直线CD的表达式为，
令中，解得x＝-6，
故点C(-6，0)．
(3)
解：如下图所示：PM∥x轴，PN∥y轴，
∵点P的坐标为(m，m)，则点M的坐标为，点N，
则，，
∵PM ≥ 2PN，
∴，
当时，则，
解出(舍去)；
当时，则，
解出；
当时，则，
解出；
综上，．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解不等式、三角形全等、绝对值的运用等，解题的关键是注意要分类讨论，综合性强，难度较大．
34．(1)D（1，0）
(2)y＝x﹣6
(3)
(4)（6，3）
【解析】
【分析】
（1）把代入，得出一元一次方程，解方程，得出点的横坐标，则点的坐标为；
（2）根据点在的函数图象上，可求点坐标为，通过图象可知用待定系数法，求出直线的函数关系式；
（3）先根据，的函数关系式，求出两条直线的交点坐标，把作为的底，点的纵坐标的绝对值为边上的高，即可求解；
（4）根据与的面积相等，底相等，得出边上的高也相等，在根据点纵坐标为，则点的纵坐标为3，然后把代入，得出点的横坐标，即可求解．
(1)
解：，
令，得，
解得：，
；
(2)
解：设直线的解析式为，
点的横坐标为2，且在上，
，
图象可得：，，
代入表达式，
，
解得，
直线的解析式为，
(3)
解：如图所示：
，
令，得，
解得：，
，
；
，
，
；
(4)
解：点与点到的距离相等，
点的纵坐标为3，
当时，，
解得，
点坐标为．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求函数关系的方法，解题的关键是利用二元一次方程组与一次函数之间关系，求两个函数图象的交点坐标．
专题 19.24 一次函数与方程、不等式（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，直线与轴交于A点，与直线交于B点，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．(0,) B．(0,) C．(0,3) D．(0,4)
3．如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
5．已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．
A． B． C．2 D．3
9．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接 AE．作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF交线段AE于点G，则线段BG长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
12．关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
13．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
14．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线分别与交于点，与轴交于点．若，则下列范围中，含有符合条件的的（ ）
A． B． C． D．
15．如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2
16．已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+6相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D（a，a+1）落在△ABC内部（不含边界），则a的取值范围是（ ）
A．﹣3＜a＜2 B． C． D．﹣2＜a＜2
17．已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点，是这个函数的图象上的两点，且，则；④当，函数的值，则，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．某二元方程的解是（为实数），若把看作平面直角坐标系中点的横坐标，看作平面直角坐标系中点的纵坐标，下面说法正确的是（ ）
A．点一定不在第一象限 B．点一定不在第二象限
C．随的增大而增大 D．点一定不在第三象限
19．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）
A．＞-2 B．＜-2 C． D．
二、填空题
20．已知直线与x轴的交点在、之间（包括、两点），则的取值范围是__________.
21．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
22．已知直线y1＝kx＋1(k＜0)与直线y2＝nx(n＞0)的交点坐标为(，)，则不等式组nx－3＜kx＋1＜nx的解集为______．
23．如图，函数y=mx和y=kx+b的图象相交于点P（1，m），则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为________．
24．直线y=kx+b经过点B（﹣2，0）与直线y=4x+2相交于点A，与y轴交于C(0，﹣4)，则不等式4x+2＜kx+b的解集为____.
25．若直线与直线交于点，且函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是______．
26．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
27．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知四个定点、、、，点在四边形内，则到四边形四个顶点的距离的和最小时的点的坐标为______．
29．如图，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点是线段上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为___________．
30．已知：k为正数，直线l1：y=kx+k-1与直线l2：y=(k+1)x+k及x轴围成的三角形的面积为Sk，则S1+S2+S3+....+S2016的值为______.
三、解答题
31．设函数y1=ax+b，y2=bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P．
(1)求证：点P在y轴的右侧．
(2)已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大．
①当x=2时，y2-y1=2，求a的取值范围．
②若点P的坐标是（1，1），且a>b，求证当x=2时．
32．如图1，直线yx+6与x轴交于点A，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线yx+6相交于点D，若AB＝5．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求出四边形AOCD的面积；
(3)如图2，若P为直线AD上一动点，当△PBD的面积是四边形AOCD的面积的一半时，求点P的坐标．
33．如图，直线y1＝2x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+2（k≠2）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E．
(1)直接写出点A，B，D的坐标；
(2)如图1，若∠BED＝45°，求点C的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，过点P(m，m)作平行于x轴的直线交y1于M，作平行于y轴的直线交y2于N，若PM≥2PN，求m的取值范围．
34．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x＋3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线L2的解析表达式；
(3)求△ADC的面积；
(4)在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的值，则由直线与直线交于点，可得交点横坐标为；其次，通过解一元一次方程，得 ，则，即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
解得 ，
∵直线与直线交于点，
∴，
由，得 ，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为：，
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是明确题意，掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解．
2．B
【解析】
【详解】
过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3-n，
∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+12=（3-n）2，解得n=，
∴点C的坐标为（0，）．故选B．
3．A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可．
【详解】
解：如图，连接、，
，，
，
点与关于直线对称，
，
在中，
点坐标为或，
，点关于直线的对称点恰好落在轴上，
点关于直线的对称点，
点坐标为不合题意舍去，
设直线方程为
将，代入得：，
解得，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
点的坐标为：；
故选：A．
【点拨】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
根据定义轴上存在即可求得，根据题意联立即可求得的范围，结合定义所求范围即可求解
【详解】
∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故选B
【点拨】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
将点代入函数中，得到关于，，的关系式，将看作常数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将，用含的式子表示出来，此时再回代入函数中，求解出的值，最后在一次函数中令，求解出y的值，最终表示出交点坐标即可．
【详解】
解：将点代入函数中，
得：，
又∵，
化简可得：
此时联立方程组可得： ，
解得：，
∴点的坐标可表示为（-k，2k），
将（-k，2k）代入得：
，
解得，
∵为常数且，
∴，
此时一次函数，
令，
解得：，
∴交点坐标为．
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，联立二元一次方程组并正确求解是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出，，解不等式组即可求得．
【详解】
解：在函数中，令得，令得，则，，
点P在的内部，
∴，
解得：．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式是解题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】
解：将函数的图象向上平移m个单位长度后的图象的解析式为，
联立后可以得到：，
解得，
因为它们的交点在第二象限，
即，
解得，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象的平移以及求图象的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．
8．B
【解析】
【分析】
首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】
解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m），D（m-3，-m+4），
∴，，
∴AB=CD，
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=CD，
故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，
∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴点C在直线y=-x上运动，
∴由点到直线的距离垂线段最短可知， BC⊥直线y=-x 时，BC的值最小，如下图所示：
易求得直线BC的解析式为：y=x-3
C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：
，解得，故，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．C
【解析】
【分析】
根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故选：C
【点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
10．B
【解析】
【分析】
建立如下图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，可将各点坐标求出，并通过两点式分别求出直线BF、直线AE的解析式，直线BF与AE相交于点G，即可求出BG的长度．
【详解】
解：建立如图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，
∵ABC和ACD都是等腰直角三角形，且BC=，
∴AC=BC=，AB=，AD=CD=，
可将各点坐标表示出来，A(0，)，B(，0)，C(0,0)，D(,),
∴点E为CD中点，故E的坐标为(,),
又∵CF为CE关于AC的对称线段，故F的坐标为(,),
设直线BF的解析式为：y=kx+b，将B点、F点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
设直线AE的解析式为：y=mx+n，将A点、E点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
直线BF与AE相交于点G，
，解得：，即G(,)，
线段BG的长度为：，
故选：B．
【点拨】本题主要考察了直角坐标系与几何图形的结合、求一次函数解析式、两直线交点、用勾股定理求坐标系中两点距离，解题的关键在于求出各点的坐标．
11．A
【解析】
【分析】
作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标．
【详解】
解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示．
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵且，
∴当值最小时，值最小．
根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小．
∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式，
∴，即，
∴Q点的坐标为（，）．
故选A．
【点拨】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题．
12．A
【解析】
【分析】
解分式方程可得 且，再根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，结合可得，且，再根据是整数和是非负整数求出的所有值，即可求解．
【详解】
经检验，不是方程的解
∴
∵分式方程的解为非负整数
∴
解得 且
∵一次函数的图象不经过第三象限
∴
解得
∴，且
∵是整数
∴
∵是非负整数
故答案为：A．
【点拨】本题考查了分式方程和一次函数的问题，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键．
13．D
【解析】
【分析】
先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围.
【详解】
解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞x，
即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选D．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
14．D
【解析】
【分析】
两直线与y轴的交点相同为（0，-2），求出A与B坐标，由S△GAB＜S△GOA，得AB＜OA，由此列出不等式进行解答．
【详解】
∵直线l1：y=kx-2与x轴交于点A，直线l2：y=（k-3）x-2分别与l1交于点G，与x轴交于点B．
∴G（0，-2），A（ ，0），B（ ，0），
∵S△GAB＜S△GOA，
∴AB＜OA，
即 ，即
当k＜0时， ，解得k＜0；
当0＜k＜3时，，解得k＜0（舍去）；
当k＞3时，，解得k＞6，
综上，k＜0或k＞6，
∴含有符合条件的k的是k＞3．
故选D．
【点拨】本题主要考查了两直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象与坐标轴的交点问题，关键是根据AB＜OA列出k的不等式．
15．D
【解析】
【分析】
如图，可知当直线在过点和点两点之间的时候满足条件，把、两点分别代入可求得的最小值和最大值，可求得答案．
【详解】
解：
直线与正方形有公共点，
直线在过点和点两直线之间之间，
如图，可知，，
当直线过点时，代入可得，解得，
当直线过点时，代入可得，解得，
的取值范围为：，
故选．
【点拨】本题主要考查一次函数图象点的坐标，由条件得出直线在过和两点间的直线是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
16．B
【解析】
【分析】
利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到△ABC的位置，若点D（a，a+1）落在△ABC内，则D点在两条直线的下方同时在x轴上方，可列出不等式组求解．
【详解】
已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+6相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，
根据一次函数图象的性质，可以得到如图所示示意图，
∵点D（a，a+1）落在△ABC内部（不含边界），
∴列不等式组，
解得：﹣2＜a＜，
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键．
17．C
【解析】
【分析】
根据图象，分析y=kx+b中k、b的符号，与x轴的交点坐标，再逐一进行分析判断即可得答案.
【详解】
由图可得，y=kx+b的图象过一二四象限，
则k＜0，b＞0；故①正确；
观察图象可知其与x轴交于点（m，0），
所以x=m是方程kx+b=0的解，故②正确；
观察图象可知y随着x的增大而减小，由，可得y1>y2，
所以，故③正确；
观察图象可知y随着x的增大而减小，又当-1≤x≤2，函数的值1≤y≤4，
所以可知图象经过（-1，4）、（2，1）两点，则有
，解得，故④错误，
故正确的有3个，
故选C.
【点拨】本题考查了一次函数y=kx+b的图象与k、b的关系，一次函数的性质，待定系数法、一次函数与一元一次方程等，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题的关键.
18．A
【解析】
【分析】
根据两个式子消去m，即可得到y与x之间的函数关系式，根据关系式即可判断．
【详解】
由x=m-1得：m=x+1代入y=-2m+1，
得：y=-2x-1，
是一次函数，且经过第二，三，四象限．不经过第一象限，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），正确进行消元，把方程组的问题转化为函数式是解题关键．
19．D
【解析】
【详解】
由函数和的图象关于轴对称可由的图象得到函数的图象如图所示，
由图可知：函数的图象位于轴之上的部分在点（2，0）的左侧，
∴不等式的解集为：.
故选D.
【点拨】（1）函数和的图象关于轴对称；（2）函数和的图象关于轴对称；（3）不等式的解集是函数的图象位于轴之上的部分图象所对应的自变量的取值范围；不等式的解集是函数的图象位于轴之下的部分图象所对应的自变量的取值范围.
20．
【解析】
【分析】
根据题意得到的取值范围是，则通过解关于的方程求得的值，由的取值范围来求的取值范围．
【详解】
解：直线与轴的交点在、之间（包括、两点），
，
令，则，
解得，
则，
解得．
故答案是：．
【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得的值是解题的突破口．
21．
【解析】
【分析】
根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．
【详解】
令，则，
令，则，
∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方，
∴可知在时，有公共解，
∴，解得：，
故填：．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．
22．
【解析】
【分析】
由函数都经过(，)可求得k=n-3，代入不等式组即可解答.
【详解】
解：把(，）代入y1=kx+1，可得，
解得k=n-3，
代入不等式得nx－3＜nx-3x＋1＜nx，
解得：
∴不等式组mx-2＜kx+1＜mx的解集为
，
故答案为，．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一元一次不等式组的解法．根据函数交点求出k和n的关系是解题的关键.
23．﹣1≤x≤0．
【解析】
【详解】
解：∵y=kx+b的图象经过点P（1，m），
∴k+b=m，
当x=﹣1时，kx﹣b=﹣k﹣b=﹣（k+b）=﹣m，即（﹣1，﹣m）在函数y=kx﹣b的图象上．
又∵（﹣1，﹣m）在y=mx的图象上，
∴y=kx﹣b与y=mx相交于点（﹣1，﹣m）．
则函数图象如图．
则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为﹣1≤x≤0．
故答案为﹣1≤x≤0．
点睛：本题考查了一次函数与不等式的关系，正确确定y=kx-b和y=mx的交点是关键．
24．x＜－1
【解析】
【详解】
试题分析：根据图像的交点可得，解得，因此一次函数的解析式为y=-2x-4，求出交点A的坐标为（-1，-2）然后根据函数的图像可知4x+2＜kx+b的解集为x＜-1.
25．
【解析】
【分析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可得，求得，再由一次函数的性质可得，则可得出关于m的一元一次不等式组，求解后即可得出结果．
【详解】
解：∵直线与直线交于点，
∴ ，
∴，
∴，
∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
即，
∴或，
当时，，，此不等式组无解；
当时，，，不等式组的解集为．
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点拨】此题考查了一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数的性质及一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点并能准确运用其求解是解题的关键．
26．2
【解析】
【分析】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解】
解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法．
27．（-2,3）．
【解析】
【分析】
由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解．
【详解】
解：∵
∴
∵直线与直线的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将代入中得
∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）．
【点拨】此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系．
28．(-，)
【解析】
【分析】
设AC与BD交于P′点，则由不等式的性质可得，PA+PC≥AC=P′A+P′C，PB+PD≥BD=P′B+P′D，得出PA+PB+PC+PD≥AC+BD，所以当P在P′处时PA+PB+PC+PD的值最小，再根据点P′为直线AC与BD的交点可求出此时点P′的坐标．
【详解】
解：如图，设AC与BD交于P′点，则PA+PC≥AC=P′A+P′C，PB+PD≥BD=P′B+P′D，
因此，PA+PB+PC+PD≥AC+BD，当动点P在P′的位置时，PA+PB+PC+PD的值最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A(-3，0)，C（0，3）代入得，
，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3①，
同理根据点B（1，-1），D（-1，3）可得直线BD的解析式为y=-2x+1②，
联立①②得，，解得．
∴此时点P的坐标为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，一次函数解析式的求法，一次函数图象的交点问题以及不等式的性质等知识，关键是运用三角形的三边关系求解最值．
29．2或或4
【解析】
【分析】
先求出直线与直线交点C的坐标，若使是等腰三角形，分三种情况讨论，即OQ=CQ或OC=OQ或OC=CQ，在直角三角形中利用勾股定理，根据等腰三角形的性质即可求出OQ．
【详解】
①如图，当OQ=CQ时，过点C作CE⊥OA于点E，
直线与直线交于点C，
得x=2，
y=x=2
∴C(2,2)
设OQ=CQ=x，QE=2-x
在Rt△CEQ中
解得x=2
②当OC=OQ时，过点C作CE⊥OA于点E，C(2,2)
在Rt△CEO中，
OC=
③当OC=CQ时， 过点C作CE⊥OA于点E
∵OC=CQ
∴OE=EQ=2
∴OQ=2OE=4
综上所示，若是等腰三角形，OQ的长为2或或4
故答案为：2或或4
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，在直角三角形中可用勾股定理解直角三角形，已知两条直线解析式可求出交点坐标．
30．
【解析】
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算S1+S2+S3+....+S2016即可．
【详解】
解：对直线l1：y=kx+k－1，当y=0时，有kx+k－1=0，解得：，
∴直线l1与x轴的交点坐标为（，0），
同理可得出：直线l2与x轴的交点坐标为（，0），
∴两直线与x轴交点间的距离．
联立直线l1、l2成方程组，得：
，解得：，
∴直线l1、l2的交点坐标为（－1，－1）．
∴S1+S2+S3+....+S2016=+++……+
=
=
=
=
=.
故答案为.
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离、找准计算规律是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)①a＞-1；②见解析
【解析】
【分析】
（1）由ax+b=bx+a，解得x=1，即知点P在y轴的右侧．
（2）①由函数y2的值随x的增大而增大，得b＞0，点P在第一象限，可得a+b＞0，当x=2时，y2-y1=2，可得b=a+2，即可得a＞-1；
②根据点P的坐标是（1，1），知b=1-a，由a＞b，b＞0，可得＜a＜1，而当x=2时，y2-y1=2a-1，，即可证明．
(1)
证明：令ax+b=bx+a，解得x=1，
∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1，
∴点P在y轴的右侧．
(2)
①当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，
∵y2-y1=2，
∴（2b+a）-（2a+b）=2，
∴b-a=2，即b=a+2，
∵函数y2的值随x的增大而增大，
∴b＞0，即a+2＞0，
解得a＞-2，
∵点P在第一象限，
∴a+b＞0，即a+（a+2）＞0，
解得a＞-1；
∴a的取值范围是a＞-1；
②证明：∵点P的坐标是（1，1），
∴a+b=1，
∴b=1-a，
∵a＞b，b＞0，
∴a＞1-a且1-a＞0，
∴＜a＜1，
当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1，
，
∵＜a＜1，
∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查一次函数及应用，涉及一次函数图象上点坐标特征，不等式等知识，解题的关键是根据已知求出a的范围．
32．(1)y=-x+1；
(2)四边形AOCD的面积为7；
(3)点P的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）由求出A(-4，0)，根据AB=5得B(1，0)，把B(1，0)代入，即可解得直线BC的解析式为；
（2）由得C(0，1)，解得D(-2，3)，可得，，故四边形AOCD得面积为7；
（3）分两种情况：P在BD上方时，过点P作交x轴于点M，连接DM，可得，即，可得，直线PM为：，解得，当P在BD下方时，过点作交x轴于点，同理可得．
(1)
解：在中，令y=0，则x=4，
A(-4，0)，
AB=5，
B(1，0)，
把B(1，0)代入得：0=-1+m，
解得m=1，
直线BC的解析式为；
(2)
解：在中，令x=0，则y=1，
C(0，1)，
解，得，
D(-2，3)，
，，
；
(3)
解：P在BD上方时，过点P作交x轴于点M，连接DM，如图：
，
，
的面积是四边形AOCD的面积的一半，
，
，即，
，
，
，
设直线PM为：，
将代入得：，
，
直线PM为：，
解，得，
，
当P在BD下方时，过点作交x轴于点，如图：
，
，
的面积是四边形AOCD的面积的一半，
，
，即，
，
，
，
设直线为：，
将代入得：，
，
直线PM为：，
解，得，
，
综上所述，P得坐标为或．
【点拨】本题考查一次函数的应用，涉及四边形、三角形面积，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是通过作平行，转化三角形的面积．
33．(1)A、B、D的坐标分别为(-2，0)、(0，4)、(0，2)
(2)C（﹣6，0）
(3)
【解析】
【分析】
（1）对于y1＝2x+4，令y1＝2x+4＝0，解得x＝-2，得到A(-2，0)，令x＝0，则y＝4，得到B(0，4)；对于y2＝kx+2，令x＝0，则y＝2，得到D(0，2)；
（2）过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF的延长线于点H，
证明△AMB≌△BNH（AAS），求出点H(4，2)，进而求出AH解析式，由AH∥CD，进而求出CD解析式即可求解；
（3）求出点M的坐标为，点N，求出PM、PN，利用PM≥2PN，解不等式即可求解．
(1)
解：令y1＝2x+4中令y1=0，解得x＝-2，得到A(-2，0)，
令x＝0，则y＝4，得到B(0，4)；
令y2＝kx+2中x＝0，则y＝2，得到D(0，2)．
(2)
解：过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF的延长线于点H，
过A作AM⊥x轴，过B作MN⊥y轴，如下图所示：
∵AH∥CD，则∠BAH＝∠BED＝45°，
故△ABH为等腰直角三角形，则AB＝BH，
∵A(-2，0)，B(0，4)，
∴AM＝OB=4，BM＝AO=2，
∵∠ABM+∠MAB＝90°，∠ABM+∠NHB＝90°，
∴∠MAB＝∠NBH，
∴∠AMB＝∠BNH＝90°，AB＝BH，
∴△AMB≌△BNH（AAS），
∴AM＝BN＝4，MB＝NH＝2，
故点H的坐标为(4，2)，
设直线AH解析式为：，代入A(-2，0)和H(4，2)，
∴，解出，
∴直线AH的表达式为，
∵AH∥CD，则，代入D(0，2)，
∴直线CD的表达式为，
令中，解得x＝-6，
故点C(-6，0)．
(3)
解：如下图所示：PM∥x轴，PN∥y轴，
∵点P的坐标为(m，m)，则点M的坐标为，点N，
则，，
∵PM ≥ 2PN，
∴，
当时，则，
解出(舍去)；
当时，则，
解出；
当时，则，
解出；
综上，．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解不等式、三角形全等、绝对值的运用等，解题的关键是注意要分类讨论，综合性强，难度较大．
34．(1)D（1，0）
(2)y＝x﹣6
(3)
(4)（6，3）
【解析】
【分析】
（1）把代入，得出一元一次方程，解方程，得出点的横坐标，则点的坐标为；
（2）根据点在的函数图象上，可求点坐标为，通过图象可知用待定系数法，求出直线的函数关系式；
（3）先根据，的函数关系式，求出两条直线的交点坐标，把作为的底，点的纵坐标的绝对值为边上的高，即可求解；
（4）根据与的面积相等，底相等，得出边上的高也相等，在根据点纵坐标为，则点的纵坐标为3，然后把代入，得出点的横坐标，即可求解．
(1)
解：，
令，得，
解得：，
；
(2)
解：设直线的解析式为，
点的横坐标为2，且在上，
，
图象可得：，，
代入表达式，
，
解得，
直线的解析式为，
(3)
解：如图所示：
，
令，得，
解得：，
，
；
，
，
；
(4)
解：点与点到的距离相等，
点的纵坐标为3，
当时，，
解得，
点坐标为．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求函数关系的方法，解题的关键是利用二元一次方程组与一次函数之间关系，求两个函数图象的交点坐标．
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