专题 19.29 一次函数中的最值问题知识点分类专题（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.29 一次函数中的最值问题知识点分类专题（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共40页。试卷主要包含了单选题，利用两点之间线段最短求最值，利用垂线段最短求最值等内容，欢迎下载使用。

专题 19.29 一次函数中的最值问题知识点分类专题（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、利用一次函数增减性求最值
1．已知函数，自变量x的取值范围是，求函数y的最大值和最小值分别是（       ）．
A．， B．8， C．12.8 D．12，
2．当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，则b＝（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．如图，直线y1＝2x+2交x轴、y轴于点A、C，直线交x轴、y轴于点B、C，点P(m，1)是△ABC内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为(　　)

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
4．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，若，则W的最小值为（       ）
A．2 B．1 C． D．
5．已知函数（为常数），当时，有最小值为，则的值为（   ）
A．或 B．或 C．或 D．或
类型二、利用两点之间线段最短（“将军饮马”模型）求最值
6．在平面直角坐标系中，已知点，点P在直线上，当有最小值时，点P的坐标为（       ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
8．如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y＝-x＋4，E是AB的中点，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是（   ）

A．4 B．2 C．2 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（       ）

A．（1，2） B．（－0.5，－0.5） C．（＋3， －3） D．（－2，－2）
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0）∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值值为（　　）

A．2 B． C． D．
类型三、利用垂线段最短求最值
11．点P是直线y＝﹣x+上一动点，O为原点，则OP的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
12．如图，直线y＝与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，在平面直角坐标系中，点P（0，2）是y轴上的一个点，则线段PM的最小值为（　　）

A．5 B．2 C．4 D．3
13．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为，则线段OP的最小值为（       ）

A． B．1 C． D．2
14．在直角坐标系中，点P在直线x+y－4=0上，O为原点，则OP的最小值为（     ）
A． B．2 C． D．
15．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，若点是直线上的一个动点，则线段长的最小值为（     ）

A．1 B． C． D．2
二、填空题
类型一、利用一次函数增减性求最值
16．设，关于x的一次函数．
（1）y随x的增大而______；
（2）当时y的最大值是______．（用含k的式子表示）
17．已知一次函数y＝﹣2x+5，若﹣1≤x≤2，则y的最小值是_____．
18．若一次函数在范围内有最大值17，则k=_______．
19．已知一次函数y=3x+4−2a．
（1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的负半轴，则a的取值范围是___________；
（2）当−2≤x≤3时，函数y有最大值-4，则a的值为___________．
20．一次函数，当时，有最大值为5，则______．
类型二、利用垂线段最短求最值
21．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的个动点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，则长的最小值为______．

22．在平面直角坐标系中，坐标原点O到一次函数y＝kx－3k＋4图像的距离的最大值为______
23．点P为直线上的任意一点，O为原点，则的最小值为_________．
24．如图，直线交轴于点，交轴于点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，轴于点，的长的最小值为__________．

25．函数y=-x+4的图像与x轴和y轴的交点分别为A、B，P为直线AB上的一个动点，则OP的最小值是_____．
类型三、利用两点之间线段最短（“将军饮马”模型）求最值
26．已知A（5，6），B（1，2），M是x轴上一动点，求使得MA＋MB最小值时的点M的坐标为___________．
27．如图，在平面直角坐标系中，连接是y轴上的一个动点，当取最大值时，点P的坐标为_______．

28．在平面直角坐标系xOy中，点A（2＋2m，1），点B（2－m，4），其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为____，点P（－2，0）到点C的最大距离为____．
29．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，连接、，当的周长最小值时，的面积为______．

30．在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标为_____．
三、解答题
31．某商场每周固定购进100套某种体育用品进行销售．经统计发现：当售价不超过20元时，该体育用品会全部售完；当售价达到45元时，该体育用品会无法售出；当售价不少于20元且不超过45元时，销量（套）是售价（元）的一次函数．
(1)求当时，与的函数关系式；
(2)当售价为多少元时，该体育用品的周销售额达到最大？并求出最大值．













32．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线经过A、C两点．
(1)写出点A、点C坐标并求直线的函数表达式；
(2)若P是直线上的一点，当△OPA的面积是5时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，点D（3，-1），E是直线上的一个动点，求出使|BE-DE|取得最大值时点E的坐标和最大值（不需要证明）．







33．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．
(1)求出的长．
(2)求出的周长的最小值？


34．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP．
(1)求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；
(2)若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；
(3)求OP＋PM的最小值．




35．如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．
(1)求直线AB的表达式；
(2)如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0），求△CGF的面积；
(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据 ，可得到 随 的增大而减小，从而得到当 时，函数y的值最大，当 时，函数y的值最小，代入即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时，函数y的值最大，最大值为 ，
当 时，函数y的值最小，最小值为 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，求函数值，熟练掌握对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
由3＞0可得一次函数y随x的增大而增大，进而可得当x=1时，一次函数有最小值，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵1≤x≤10，
∴当x=1时，一次函数有最小值，
∴，解得：，
故选B．
【点拨】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
由于P的纵坐标为1，故点P在直线y＝1上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝1与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【详解】
解：∵点P（m，1）是△ABC内部（包括边上）的一点，
故点P在直线y＝1上，如图所示，
当P为直线y＝1与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y＝1与直线y1的交点时，m取最小值，
由 ，解得，即m的最大值为2；
由，解得，即m的最小值为．
则m的最大值与最小值之差为：2﹣（﹣）＝2.5．
故选B．

【点拨】本题考查了一次函数的性质，要求符合题意的m的值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为1，故作出直线y＝1有助于判断P的位置．
4．C
【解析】
【分析】
根据关于x，y的方程组的解都为非负数，可以求得a的取值范围，再根据a+b=4，W=3a-2b和一次函数的性质，可以得到W的最小值．
【详解】
解：由方程组可得，，
∵关于x，y的方程组的解都为非负数，
∴，
解得，1≤a≤3，
∵a+b=4，W=3a-2b，
∴b=4-a，
∴W=3a-2（4-a）=5a-8，
∴W随a的增大而增大，
∴当a=1时，W取得最小值，此时W=-3，
故选：C．
【点拨】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
5．D
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义分两种情况讨论：
①x≥2a，得一次函数y=x-2a，y随x的增大而增可知当x=1时，y取得最小值5，然后代入计算即可得到a的值；
②x＜2a，得一次函数y=-x+2a，y随x的增大而减小可知当x=3时，y取得最小值5，然后代入计算即可得到a的值
【详解】
解：分两种情况：
①当x≥2a时，y=x-2a，
∵k=1＞0，
∴当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
即当x=1时，y=5，
则5=1-2a，a=-2；
②当x＜2a时，y=-x+2a，
∵k=-1＜0，
∴当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
即当x=3时，y=5，
则5=-3+2a，a=4，
∴a=-2或4，
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值的意义和一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是关键．
6．D
【解析】
【分析】
求出直线AB的解析式，可得当点P在AB上时，PA+PB有最小值，即可得解．
【详解】
解：设AB的解析式为y=kx+b，
把（-1，-2），（4，2）代入，
则，解得：，
∴AB的解析式为：，
当点P在AB上，PA+PB有最小值，
即当x=2时，y=，
∴P（2，），
故选D．
【点拨】本题考查了一次函数的解析式，两点之间线段最短，解题的关键是求出AB的解析式．
7．A
【解析】
【分析】
作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E，由对称性质、三角形边长关系可知此时△ADE的周长最小，根据A的坐标为（﹣4，5），得到（4，5），B（﹣4，0），D（﹣2，0），求出直线DA′的解析式为，即可得到结论．
【详解】
解：作A关于y轴的对称点，连接交y轴于E，

此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∵A的坐标为（﹣4，5），
∴（4，5），B（﹣4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
设直线的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当x＝0时，y＝，
∴E（0， ），
故选：A．
【点拨】本题考查线段的最值问题，利用轴对称将的最短距离转化为线段的长度是解题关键．
8．C
【解析】
【分析】
作点E关于AC的对称点，连接交AC于点P，连接，PB＋PE的最小值即的长，根据解析式求出点A、C、E的坐标，再证明，利用勾股定理计算长度即可．
【详解】
解：作点E关于AC的对称点，连接交AC于点P，连接，

此时PB＋PE的最小值即的长，
∵线段AC所在直线的解析式为y＝－x＋4，
∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，
∴A(0，4)，C(4，0)，
∵E是AB的中点，
∴E(0，2)，
∴AB=BC=4，AE=2，
∴为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
由对称可得，，，
∴，
∴在中，，
∴PB＋PE的最小值为．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，一次函数求点的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活应用各性质是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．
【详解】
解：作关于直线对称点，
，
∵A（0，1），
的坐标为（1，0）；
连接并延长，交直线于点，此时，取得最大值，
设直线的解析式为，
把B（4，1），C（1，0）代入得
，解得，
直线的方程为，
解，得；
点的坐标为，；
故选：B．

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得的位置是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，连接OD，PD，QD，由题意易得OC=CD，进而可得OP=PD，要使OP+PQ为最小，即为QD为最小，然后可转化为点到直线垂线段最短进行求解．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB于点D，连接OD，PD，QD，如图所示：

∵∠OAB的平分线交x轴于点C，∠AOB=90°，
∴OC=CD，
∵AC=AC，
∴△AOC≌△ADC（HL），
∴AC垂直平分线段OD，AD=AO，
∴OP=PD，
∴OP+PQ=PD+PQ，
所以当点Q、P、D三点共线时为最小，即为QD，
∴当QD⊥OA时，QD的值最小，如图所示：

∵点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），
∴，，
由△AQD与△AOB共有一个角为∠OAB，则可设，
∴，即，
∴，
∴OP+PQ的最小值为；
故选D．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合、角平分线的性质定理及轴对称的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、角平分线的性质定理及轴对称的性质是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
首先判定当OP⊥AB的时候，OP最小，然后根据函数解析式求得OA、OB，再根据勾股定理求得AB，进而即可得出OP.
【详解】
设直线y=﹣x+与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小，如图所示：

当x=0时，y=，
∴点A（0，），
∴OA=；
当y=0时，求得x=，
∴点B（，0），
∴OB=，
∴AB==2．
∴OP==1．
故选：C.
【点拨】此题主要考查一次函数以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
12．C
【解析】
【分析】
根据题意过点P作PM⊥AB，进而依据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM△ABO，即可求出答案．
【详解】
解：如图，过点P作PM⊥AB，

则：∠PMB＝90°，当PM⊥AB时，PM最短，
∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），
在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5，
∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B，AB=PB＝OP+OB＝5，
∴△PBM△ABO（AAS），
∴PM＝AO=4．
故选：C．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及全等三角形的性质与判定等知识点，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．B
【解析】
【分析】
设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据围成的矩形的周长为2，可得到x、y之间的关系式，再求得A、B两点的坐标，当OP⊥AB时，线段OP取得最小值，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：如图，

过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD=y，PC=x，
∵矩形PDOC的周长为2，
∴2（x+y）=2，
∴x+y=，
即该直线的函数表达式是y=-x+，
令，则，令，则，
∴A(，0)，B (，)，
∴OA=OB=，AB=，
由题意知，当OP⊥AB时，线段OP取得最小值，
∵，
∴OP=1，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
14．A
【解析】
【分析】
当OP垂直于直线x+y-4=0时，|OP|取最小值．根据直线方程得到该直线与坐标轴的交点坐标，则易得△AOB为等腰直角三角形，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段OP的长度．
【详解】
解：由直线x+y-4=0得到该直线与坐标轴的两交点坐标是A（0，4）、B（4，0），
则△AOB是等腰直角三角形，如图，

∴AB=．
当OP⊥AB时，线段OP最短．
此时OP=AB=．
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短．解题时，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OP的长度．
15．C
【解析】
【分析】
根据垂线段最短可知线段OP的最小值即为点O到直线AB的距离，求出交点坐标及线段AB的长，由三角形面积即能求出点O到直线AB的距离.
【详解】
解：联立 ，解得，所以点A的坐标为（2,3）
令，解得，所以B（-2,0）
过点A作AC垂直于x轴交于点C,过点O作OP垂直于AB，由垂线段最短可知此时OP最小，在中，由A、B坐标可知，根据勾股定理得.


即

故答案为C
【点拨】本题考查了函数解析式，涉及的知识点包括由解析式求点坐标、三角形面积、勾股定理，由垂线段最短确定OP位置是解题的关键.
16．     减小     k
【解析】
【分析】
将一次函数进行化简，然后判断的系数与0的关系即可；根据一次函数的增减性，得到时，最大，即可求解．
【详解】
解：原函数可化为，
∵，
∴
∴．
∴y随x的增大而减小，
∵．
∴当时，y最大为k．
故答案为减小，
【点拨】此题考查了一次函数的增减性，解题的关键是求得的系数并判断出其与0的关系．
17．1
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质得出其增减性，进而解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y＝﹣2x+5，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝2时，y的最小值是1，
故答案为1
【点拨】此题主要考查了一次函数，根据一次函数的性质得出其增减性是解答此题的关键．
18．3或－12##－12或3
【解析】
【分析】
分两种情况：①当时，有最大值17， ②当时，有最大值17，分别代入解析式，求解即可．
【详解】
分两种情况讨论：
①当时，有最大值17，则
解得
②当时，有最大值17，则
解得
在范围内，y有最大值17，的值为-12或3
故答案为：3或－12
【点拨】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，能够分类讨论是解题的关键．
19．     a＞2；     8.5
【解析】
【分析】
（1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论；
（2）根据题意得方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=3x+4-2a的图象与y轴的交点位于y轴的负半轴，
∴4-2a＜0，
解得：a＞2；
故答案为：a＞2；
（2）在一次函数y=3x+4-2a中，
∵k=3＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵当-2≤x≤3时，函数y有最大值-4，
∴当x=3时，y=-4，代入y=3x+4-2a得，
-4=9+4-2a，
解得：a=8.5．
故答案为：8.5．
【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
20．1或．
【解析】
【分析】
根据题意，结合一次函数的性质，分，两种情况讨论，结合题意进而求得的值．
【详解】
解：当时，一次函数中，随值的增大而增大，
当时，函数有最大值，
，
当时，一次函数中，随值的增大而减小，
当时，函数有最大值，
，
的值为1或，
故答案为：1或．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
21．
【解析】
【分析】
由矩形的性质可知EF＝OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，求得A、B两点的坐标，即可求得EF的最小值．
【详解】
解：在一次函数中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝，
∴A（0，4），B（，0）．
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∵∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵A（0，4），点B坐标为（，0），
∴OA＝4，O B＝，
由勾股定理得：AB＝，
∵AB•OP＝OA•OB，
∴OP＝．
故答案为：
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，矩形的性质，熟知矩形的性质和一次函数与坐标轴交点特征，熟练进行计算是解答此题的关键．
22．
【解析】
【分析】
由，可得该一次函数经过定点，设该定点为P，则，当直线OP与直线垂直时，坐标原点O到一次函数的距离最大，求出线段OP的距离，即可得到答案．
【详解】
解：

当时，
一次函数y＝kx－3k＋4图像过定点
如图，当与直线垂直时，到直线的距离最大，


故答案为：
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
23．
【解析】
【分析】
根据点到直线垂线段最短，所以OP的最小值即为直线上的垂线段，进而根据勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：如图所示：

由题意可得：
令x=0，则有y=2，令y=0时，x=-2，
∴，
∴OA=OB=2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点P为直线上的任意一点，O为原点，
∴根据点到直线垂线段最短，
∵OP⊥AB，
∴此时OP为最小值，△APO为等腰直角三角形，
∴，解得：；
故答案为．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
24．4.8
【解析】
【分析】
连接OC，易知四边形OECD是矩形，所以OC=DE，当当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短，在Rt△ABO中可以利用面积法求解OC最小值．
【详解】
解：连接OC，
∵∠CEO=∠EOD=∠ODC，
∴四边形OECD是矩形．
∴DE=OC．
当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短．
∵直线交y轴于点A（0，8），交x轴于点B（-6，0），
∴OA=8，OB=6．
在Rt△AOB中，利用勾股定理可得
AB= ＝ =10．
当OC与AB垂直时，
AO×BO=AB×OC，即8×6=10×OC，解得OC=4.8．
所以DE长的最小值为4.8．

故答案为4.8．
【点拨】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、矩形的判定和性质，解决点到直线的最短距离问题，一般放在三角形中利用面积法求高．
25．
【解析】
【详解】
试题分析：由题意可求得图像与x轴和y轴的交点分别为A、（3,0），B、（0,4）,根据点到直线的距离和图像可知O点到直线的最小距离是OP⊥AB于P时，即OP是△AOB斜边上的高，根据勾股定理可知AB=,因此根据三角形的面积可得,因此OP=.
考点：点到直线的距离，勾股定理，三角形的面积
26．(2,0)
【解析】
【详解】
作点B（1，2）关于x轴对称的对称点C（1，-2）,连接CM, 由对称性知BM=CM,即MA+MB=MC+AM,当点M,点C,点A三点共线时,两条线段的和最小,连接AC与x轴交于点M,此点为所求,设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A点C坐标代入解析式,有5k+b=6,k+b=-2,可求得y=2x-4,令y=0,得x=2,故点M(2,0).
试题分析：求两条线段和的最小值,一般用图形的对称,将两条线段的和转化成一条折线段,当折线段变成直线段时, 两条线段的和最小,点 B（1，2）关于x轴对称的对称点C（1，-2）,连接CM,由对称性知BM=CM,
即MA+MB=MC+AM,当点M,点C,点A三点共线时,两条线段的和最小,连接AC与x轴交于点M,此点为所求,设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A点C坐标代入解析式,可以求得y=2x-4,令y=0,得x=2,故点M(2,0).
考点：两条线段和的最小值和直线解析式的求法.
27．（0，-5）
【解析】
【分析】
作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于一点，即为点P，此时值最大，设直线BN的解析式为y=kx+b，将N（2,1），B（3,4）代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案．
【详解】
解：如图，作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于一点，即为点P，此时值最大，
∵A（-2,1），
∴N（2,1），
设直线BN的解析式为y=kx+b，将N（2,1），B（3,4）代入，得
，解得，
∴直线BN的解析式为，
当x=0时，y=-5，
∴P（0，-5），
故答案为：（0，-5）．

【点拨】此题考查关于y轴对称的点的坐标特点，待定系数法求函数解析式，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点P是解题的关键．
28．     3     5＋
【解析】
【分析】
答题空1：根据已知坐标求出两点间距离，结合实数性质即可求解；
答题空2：先求出直线AB的解析式，再确定AB上的定点M，连接MC、PC，根据三角形两边之和大于第三边即可求解．
【详解】
解：∵A（2＋2m，1），B（2－m，4），
∴ ，
∵m为实数，
∴即 ，
∴当 时，为最小值；
∵A（2＋2m，1），B（2－m，4），
∴设直线AB解析式为 ，
将A、B代入解析式得 ，
令 则 ,
∴直线AB过定点M（2，3），
如图连接MC、PM，

∵C点为点O关于AB的对称点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点P（－2，0）到点C的最大距离为 ．
故答案为：3；．
【点拨】本题考查坐标与图形变化——对称，一次函数的性质，勾股定理，三角形边的关系等知识，解题关键是判断出直线AB过定点M．
29．3
【解析】
【分析】
由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，求出点C的坐标，再结合图形利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】
解：如图，

要使△ABC的周长最小，AB一定，
则AC+BC最小，
作A关于y轴的对称点A′（-1,4），连接BA′交y轴于点C，
点C即为使AC+BC最小的点，
设直线A′B的解析式为 ，将点A′(-1，4)，B(3，0)代入得：
，
解得：，
∴C(0，3)，
如图，A A′=2，CD=1，BH=4，
∴，
故答案为：3
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，轴对称确定最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟记最短距离的确定方法是解题的关键．
30．
【解析】
【分析】
首先根据题意可知直线垂直于直线，可设直线的解析式为，再把点代入，即可求得解析式，据此即可求得两直线的交点坐标，最后根据中位坐标即可求得．
【详解】
解：点与点关于直线对称
直线垂直于直线
可设直线的解析式为
把点代入解析式，得
解得
故直线的解析式为

解得
故直线与直线的交点坐标为，即线段中点的坐标为
设点的坐标为
则，
解得，
点关于直线对称的点的坐标为
故答案为：．
【点拨】本题考查了坐标与图形，即轴对称图形的特点，熟练掌握和运用轴对称图形的特点是解决本题的关键．
31．(1)
(2)当售价为22.5元时，该体育用品的日销售额达到最大，最大值为2025元
【解析】
【分析】
（1）当20≤x≤45时，运用待定系数法可求出与的函数关系式；
（2）分两种情况，根据一次函数的性质可求解．
(1)
设当时，．
依题意得：当时，；当时，．
则，
解得．
∴当时，；
(2)
设周销售额为元．
当时，，随的增大而增大，
∴时，最大值为2000元．
当时，，
∴时，的最大值为2025元．
综上所述，当售价为22.5元时，该体育用品的日销售额达到最大，最大值为2025元．
【点拨】本题考查的是一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
32．(1)A（4，0）和C（0，4），y=﹣x+4
(2)P1（，）、P2（，）
(3)（6，-2），
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件容易得出点A、点C坐标，根据点A、点C坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式；
（2）当△OPA的面积是5时，求出以OA为底时，OA边上的高h，然后利用点P在直线上求出点P的坐标；
（3）易得点O与点B关于直线l对称，那么连接DO，与l的交点即为点E，得到DO的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．
(1)
解： A（4，0）和C（0，4）
设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）
得，解之得，
∴直线l的函数表达式y=﹣x+4；
(2)
设△OPA底边OA上的高为h，由题意等×4×h=5，
∴h=，
∴|-x+4|=，解得x=或
∴P1（，）、P2（，）
(3)
解：如图，连接BO，

∵O与B关于直线对称，
∴连接OD并延长交直线于点E，则点E为所求，此时|BE-DE|=|OE-DE|=OD，OD即为最大值．
设OD所在直线为y=k1x   （k1≠0），经过点D（3，-1），
∴-1=3k1 ，
∴k1=
∴直线OD为，   
解方程组： ，得，
∴点E的坐标为（6，-2）．
又D点的坐标为（3，-1）
由勾股地理可得OD=
【点拨】考查点的坐标、待定系数法求一次函数以及一次函数图像行动点问题，在求平面图形中的求两条线段差的绝对值最小时，找到特殊点关于直线的对应点是解题的关键．
33．(1)；
(2)的周长的最小值为
【解析】
【分析】
（1）作AD⊥OB于D，则∠ADB=90°，OD=1，AD=4，OB=3，得出BD=2，由勾股定理求出AB即可；
（2）由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，作A′E⊥x轴于E，由勾股定理求出A′B，即可得出结果．
(1)
作于D，如图1所示：
则，
∴，
∴；

(2)
解：要使的周长最小，一定，则最小，
作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，
点C即为使最小的点，
作轴于E，
由对称的性质得：，
，OB=3，
∴，
由勾股定理得：，
∴的周长的最小值为．
【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题；熟记最短距离的确定方法是解题的关键．
34．(1)y＝－x＋，∠ABO＝30°
(2)所有满足条件的点P的坐标为（3＋，－）或（3－，）或（－，）
(3)OP＋PM的最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据A、B两点的坐标求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得，设AB直线为，代入A、B两点坐标，即可求解；
（2）分OB=OP，OB=PB两种情况，利用等要三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（3）作点M关于AB的对称点，设点的轨迹为，由对称可得，则，可得直线与x轴的夹角为，可得当时，OP＋PM的最小，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
(1)
解：∵
∴，
∴，
∴，
设AB直线为，将A、B两点代入可得：
，解得，即；
(2)
解：当OB=OP时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，


∵OB=3，，
∴OB=OP=3，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
当OB=PB时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，

则OB=PB=3，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
同理可得点的坐标为；
综上，，，；
(3)
解：作点M关于AB的对称点，如图

设点的轨迹为，
由对称可得，，
则，即直线与x轴的夹角为，，
∴当时，OP＋PM的最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
35．(1)y=x+10
(2)240
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）先求得点C的坐标（-3.7），再将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，即可得到直线AB的解析式；
（2）先求得点G、F的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM-PC的值最大，据此求解即可；
(1)
将点C（a，7）代入y=x，可得a=-3，
∴点C的坐标为（-3，7），
将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得
，解得，
∴直线AB的解析式为y=x+10；
(2)
∵点E的坐标是（﹣15，0）．
∴当时，y=和y=-15+10=-5，
∴点F的坐标为（-15，35），点G的坐标为（-15，-5），
∴；
(3)
存在，
证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM-PC的值最大，
令x=0，则y=10，
∴点B的坐标（0，10），
∵点M为y轴上OB的中点，
∴点M的坐标为（0，5），
设直线MC的解析式为y=ax+5，
将C（-3，7）代入得：7=-3a+5，解得：a=-，
∴直线MC的解析式为y=−x+5，
当x=-15时，y=−×(−15)+5＝15，
∴点P的坐标为（-15，15），
∴；
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握三角形面积在坐标系内的求法，并且能够熟练使用三角形全等解题．