专题 19.33 用待定系数法求一次函数解析式（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.33 用待定系数法求一次函数解析式（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共15页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题 19.33 用待定系数法求一次函数解析式（知识讲解）【学习目标】1、知道什么是待定系数法,并会用待定系数法求一次函数的解析式:2、能结合一次函数的图象和性质,灵活运用待定系数法求一次函数解析式;3、能根据函数图象确定一次函数的表达式进一步体会数形结合的思想;【要点梳理】待定系数法求函数解析式的步骤1、设：设函数解析式的一般形式；2、代：将点的坐标代入函数解析式得到方程或方程组(有几个系数,就要有几个方程); 3、求: 解方程或方程组,求出待定系数的值; 4、写: 将求出的待定系数回代所设函数解析式。【典型例题】类型一、待定系数法求正比例函数解析式 1．已知，与成正比例，y2与成正比例，当时，；当时，．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）求当时y的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设y1=kx2，y2=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可；（2）把x=2代入函数解析式，即可得出答案．解：（1）设，，则， 把，和，代入得：即，， ∴y与x之间的函数表达式是，（2）把代入得：．【点拨】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．举一反三：【变式1】已知y与2x－1成正比例，当x＝3时，y＝10（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y＝－2时，求x的值．【答案】（1）y＝4x－2；（2）x＝0．【分析】（1）根据正比例函数定义设设y＝k（2x－1），将数值代入计算即可；（2）将y＝－2代入（1）的函数解析式求解．解：（1）设y＝k（2x－1），当x＝3时，y＝10，∴5k＝10，解得k＝2，∴y与x之间的函数关系式是y＝4x－2；（2）当y＝－2时4x－2＝－2，解得x＝0．【点拨】此题考查正比例函数的定义，求函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．【变式2】已知正比例函数y＝kx图象经过点（3，﹣6）．(1)  求这个函数的解析式(2)  判断点A（4，﹣2）是否在这个函数图象上【答案】(1)；(2)点A（4，﹣2）不在这个函数图象上【分析】（1）把把点（3，﹣6）代入正比例函数y＝kx，解出k的值即可得到解析式；（2）将点A的横坐标代入，解出y的值与点A的纵坐标对比即可得到答案．解：（1）把点（3，﹣6）代入正比例函数y＝kx得 解得这个函数的解析式为（2）将点A的横坐标代入得点A（4，﹣2）不在这个函数图象上【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、待定系数法求一次函数解析式 2．已知，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b经过点A（1，－1）和点B（3，3）(1)  求直线AB所对应的函数表达式；(2)  若点M（2，m）在直线AB上，求m的值．【答案】(1) y＝2x−3；(2) 1。【分析】（1）用待定系数法直接求解表达式即可；（2）根据函数表达式和点M（2，m）在直线AB上，代入求解即可．解：(1) ∵直线y＝kx+b经过点A（1，－1）和点B（3，3），∴，得，即直线AB所对应的函数表达式是y＝2x−3；    （2）∵点M（2，m）在直线AB上，∴2×2−3＝m，解得，m＝1，即m的值是1．【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2；（2）点C的坐标是（2，2）．【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得．∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．（2）设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC=2，∴•2•x=2，解得x=2．∴y=2×2﹣2=2．∴点C的坐标是（2，2）．【变式2】如图所示，直线是一次函数的图象．（1）求与的值；（2）(2)当时，求的值．   【答案】(1)；(2).【分析】（1）由图可知点在一次函数的图象上，且函数图象过点，故把两点坐标代入一次函数即可得出，的值；（2）由（1）中、的值可得出一次函数的解析式，把代入求出的值即可．    解：(1) 由图可知点在一次函数的图象上，且函数图象过点，，解得；(3)  由（1）知，，一次函数的解析式为，当时，，解得．【点拨】本题考查简单的一次函数问题，涉及到待定系数法求一次函数解析式、函数求值等知识，掌握一次函数的图象与性质是解决问题的关键．3．在平面直角坐标系中，直线l经过点和点，请问将直线l沿x轴平移几个单位时，正好经过原点？【答案】向右平移2个单位【分析】先用待定系数法求出直线解析式，再求出它与x轴的交点坐标，就可以得出结果．解：设直线l的解析式为：，将点和坐标代入，得，解得，∴直线l的解析式为：，令，则，解得，∴直线l与x轴的交点坐标是，∴将直线l沿x轴向右平移2个单位时，正好经过原点．【点拨】本题考查一次函数的平移，解题的关键是掌握一次函数平移的方法．举一反三：【变式1】如图，已知直线AB经过点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）将直线AB向上平移2个单位得到直线CD，使CD与y轴交于点C，与x轴交于点D，求四边形ABDC的面积．【答案】（1）y＝﹣2x+4；（2）四边形ABDC的面积是5．【分析】（1）根据待定系数法可求直线AB的函数解析式；（2）四边形ABDC的面积=三角形COD的面积-三角形AOB的面积，列出算式计算即可求解．解:（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，依题意有，解得．故直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+4；（2）四边形ABDC的面积＝三角形COD的面积﹣三角形AOB的面积＝（4+2）×（2+1）÷2﹣4×2÷2＝9﹣4＝5．故四边形ABDC的面积是5．【点拨】考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，面积计算，关键是熟练掌握待定系数法求直线的函数解析式．【变式2】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，一个正比例函数的图象与这直线交于点C，点C的横坐标是1．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线y＝﹣x+2于点D，设平移后函数图象的截距为b，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围．【答案】（1）；（2）﹣6≤b≤2【分析】（1）先求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）求得A、B的坐标，把A的坐标代入平移后的直线解析式，求得b的值，根据图象即可求得符合题意的b的取值．解：（1）把x＝1代入y＝﹣x+2得，y＝，∴C（1，），设正比例函数解析式为y＝kx，把C的坐标代入得k＝，∴正比例函数的解析式为y＝x；（2）直线y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0），B（0，2），设平移后的直线解析式为y＝x+b，把A（4，0）代入得，×4+b＝0，解得b＝﹣6，把B（0,2）代入得，b=2，∴符合题意的b的取值范围是﹣6≤b≤2．【点拨】本题考查了一次函数与正比例函数的交点，一次函数的平移，熟练掌握待定系数法，一次函数平移的规律是解题的关键．4．如图，直线y＝与x轴、y轴分别相交于点A、B，设M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处．(1)  求：点B′的坐标；(2)  求：直线AM所对应的函数关系式． 【答案】(1)B′的坐标为（2，0）(2)直线AM所对应的函数关系式为【分析】（1）根据题意先确定点A、点B的坐标，再由AB=AB'，可得AB'的长度，求出OB'的长度，即可得出点B'的坐标；（2）由题意设OM=m，则B'M=BM=4-m，在Rt△OMB'中利用勾股定理求出m的值，得出M的坐标后，进而利用待定系数法可求出AM所对应的函数解析式．解：（1）直线y＝与x轴、y轴分别相交于点A、B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝-3，∴A（-3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4 ，AB=，∵A B'＝AB＝5，∴O B'＝AB′-AO=5﹣3＝2，∴B'的坐标为：（2，0）．(2)设OM＝m，则B'M＝BM＝4﹣m，在Rt△OMB'中，m2+22＝（4﹣m）2，解得：m＝，∴M的坐标为：（0，），设直线AM的解析式为y＝kx+b，则，解得：，故直线AM的解析式为：y＝．【点拨】本题考查一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、勾股定理及翻折变换的性质，拓展的一元一次方程，解答本题的关键是数形结合思想的应用．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求的长和点C的坐标；（2）求直线的解析式．【答案】（1）AB=5，C(8，0)；（2）【分析】（1）先根据A、B两点是直线与两坐标轴的交点求出两点坐标，再由勾股定理求出AB的长，由图形翻折变换的性质得出AC=AB，故可得出C点坐标；（2）设点D的坐标为D(0，m)，由图形翻折变换的性质可知CD=BD，在Rt△OCD中由勾股定理可求出m的值，进而得出D点坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．解：（1）当x=0时，， B点的坐标为（0，4），OB=4，当y=0,则，解得x=3，A点的坐标为（3，0），OA=3，AB =，△DAB沿直线AD折叠，，，；（2）设点，则，∴，在中，，即，解得，，设直线 的解析式为，则，解得，直线 的解析式为．【点拨】本题考查了一次函数，勾股定理，折叠；熟知待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、折叠的性质，是解题的关键．5．草根医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示，根据图象回答下列问题：(1)求时，y与x的函数表达式；(2)如果每毫升血液中含药量为3微克及以上时治疗疾病有效．请问病人服药后8小时内有多长时间药物对治疗疾病有效？请说明理由．【答案】(1)(2)病人服药后8小时内有4个小时药物对治疗疾病有效，理由见解析【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先利用待定系数法求出时，y与x之间的函数关系式，然后将y＝3分别代入两个一次函数解析式求出x的值就可以求出结论．解：(1)设时，y与x的函数表达式为，代入（2，6），（8，0）得：，解得：，∴时，y与x的函数表达式为；(2)病人服药后8小时内有4个小时药物对治疗疾病有效理由：设时，y与x的函数表达式为，代入（2，6）得：，解得：，∴时，y与x的函数表达式为，将y＝3代入得：，解得：，将y＝3代入得：，解得：，∵5－1＝4，∴病人服药后8小时内有4个小时药物对治疗疾病有效．【点拨】本题考查了一次函数的图象的运用，待定系数法求一次函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数的解析式是关键．举一反三：【变式1】 甲、乙两人分别从同一公路上的A，B两地同时出发骑车前往C地，两人离A地的距离y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)A，B两地相距   　km；乙骑车的速度是　   　km/h；(2)求甲追上乙时用了多长时间．【答案】(1)20        5; (2)4【分析】（1）根据图象得出A、B两地之间的距离，根据速度=路程÷时间可得到乙的速度；（2）分别求出y乙和y甲的解析式，令y乙= y甲，即可得答案．解：(1) A、 B两地相距20千米，乙的速度为：（30-20）÷2= 5 (km/h)；(2)设函数关系式为y乙 = kx + b，把(0， 20)、(2，30)两点代入，则，解得：，∴y乙 = 5x + 20，设函数关系式为y甲= mx，则函数图象过点(6，60)，则有60= 6m，即m = 10，∴函数关系式为：y甲= 10x， 令y乙= y甲，则5x+ 20= 10x，解得：x=4．【点拨】本题考查了函数的图象及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是根据函数图像得到信息．【变式2】某通讯公司推出了两种上网流量的收费方式供用户选择：方案一：套餐费+流量费；方案二：仅收流量费，无套餐费．如图中的射线l1，射线l2分别表示通讯公司每月按方案一，方案二收取的流量费y1（元）和y2（元）与当月用户使用流量x（G）的函数关系．(1)分别求出y1、y2与x的函数表达式；(2)若某用户今年2月份已使用流量少于10G，但其2月份的流量费超过40元，那么该用户采用了哪种方案支付上网流量？【答案】(1)答案见解析; (2)方案二【分析】（1）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；（2）将x=10代入y1和y2，比较即可．解：(1) 由图像可知l1过点（0，10），（5，25），设y1 =kx+ b，将（0，10），（5，25）代入得：，解得：，∴y1 =3x+ 10，由图像可知l2过点（0，0），（5，30），设y2 =k1x+ b1，将（0，0），（5，30）代入得：，解得：，∴y2 =6x，(2)当x=10时，y1 =3×10+ 10=40，y2 =60，∵60＞40，∴该用户采用了方案二支付上网流量．【点拨】本题考查了一次函数解析式的求法、一次函数的应用，解题的关键是由函数的图像求出一次函数解析式．