专题 19.40 一次函数背景下的动点问题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.40 一次函数背景下的动点问题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共62页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 19.40 一次函数背景下的动点问题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的个数有（       ）个
①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，；

A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，直线l：y＝﹣x++3与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（　　）

A．20+4 B．44+4
C．20+4或44﹣4 D．20﹣4或44+4
3．如图，已知在平面直角坐标系中，点是函数图象上的两动点，且点的横坐标是，点的横坐标是，将点，点之间的函数图象记作图型，把图型沿直线进行翻折，得到图型，若图型与轴有交点时，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（3，4），点P是y轴正半轴上的动点，连接AP交线段OB于点Q，若△OPQ是等腰三角形，则点P的坐标是（　　）

A．（0，） B．（0，）
C．（0，）或（0，） D．（0，）或（0，）
5．如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（       ）．

A． B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣9，7），B（﹣3，0），点P在x轴的正半轴上运动，将线段AB沿直线AP翻折到AC，当点C恰好落在y轴上时，直线AP对应的函数表达式可以是（       ）

A．y＝x+8 B．y＝
C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x+4
7．如图，点，点在射线上匀速运动，运动的过程中以为对称中心，为一个顶点作正方形，当正方形的面积为40时，点的坐标是（       ）

A． B． C． D．
8．已知直线过点且与x轴相交夹角为30度，P为直线上一动点，为x轴上两点，当时取到最小值时，P的坐标为(　　　)
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP'，连接CP'，则线段CP'的最小值为(　　)

A． B．1 C． D．
10．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（　　）

A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x+2 C．y=﹣3x﹣2 D．y=﹣x+2
11．函数的图象与x、y轴分别交于点A、B，点P为直线AB上的一动点（）过P作PCy轴于点C，若使的面积大于的面积，则P的横坐标x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为______．

13．如图，是直线上的一条动线段，且，点，连接、，则周长的最小值是_______．

14．已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．

15．如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为______．

16．如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是_______．

17．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段、上（点P不与点A、C重合），满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是_____．

18．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）点的坐标为________；
（2）若点是轴上的动点，点是直线上的动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标是________．

19．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P是直线上一动点，点Q为坐标平面内的点，要使以为顶点的四边形为菱形，则点Q的坐标是_______．

20．如图，已知x轴上一点，B为y轴上的一动点，连接，以B为直角顶点，为腰作等腰直角，连接，则的最小值是_________．

21．如图，在直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一条直线上，当的周长最小时点的坐标是______．

22．如图， 将一块等腰直角三角板 ABC放置在平面直角坐标系中， ÐACB = 90°，AC = BC，点 A在 y轴的正半轴上，点C在 x轴的负半轴上，点 B在第二象限， AC所在直线的函数表达式是 y = x + 2，若保持 AC的长不变，当点 A在 y轴的正半轴滑动，点 C随之在 x轴的负半轴上滑动， 则在滑动过程中， 点 B与原点 O的最大距离 是_______．

三、解答题
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
(1)求点C的坐标及直线BC的表达式；
(2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
(3)设点E的坐标为（0，）；
①用表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．


24．在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B（b，0），C（0，c），且．
(1)直接写出S△ACB=__________；
(2)如图1，线段CB沿y轴正方向以每秒0.5个单位的速度匀速移动至DE（点C的对应点为D，点B的对应点为E），连接AD、OE．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t值，使得3S△ACD＝2S△EOD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将线段AC往右平移3个单位长度至FG（点A的对应点为点F），线段FG与BC相交于点H． 若在x轴上存在点M使得S△MCH =2，试求出点M的坐标．


25．如图，已知平面直角坐标系内，点，点，连接．动点P从点B出发，沿线段向运动，到达点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为t秒．
(1)当点P运动到中点时，求此时的解析式；
(2)在（1）的条件下，若第二象限内有一点，当时，求a的值；
(3)如图2，当点P从B点出发运动时，同时有点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向上运动，点P停止运动，点M也立即停止运动．过点P作轴交于点N．在运动过程中，是否存在t，使得为等腰三角形？若存在，求出此时的t值，若不存在，说明理由．

26．在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，如图，已知∠A＝60°，C（2，0），
(1)求点D的坐标
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位速度沿射线AD运动，过点P作PE⊥x轴，于E，直线PE交直线CD于点Q，设△PCQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，当点Q在x轴上方时，求S与t的关系式，直接写出t的取值范围
(3)在（2）的条件下，连CP，当点Q在第一象限，△PCQ为等腰三角形时，作∠PQC的平分线交射线AD于点M，此时是否存在点N，使以点D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

27．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点．
(1)当点是中点时，求的面积；
(2)连接，若平分，求此时点的坐标；
(3)平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；
(4)平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标．


























参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，再由题意可得A（0，2），B（-2，0），从而得到∠ABO=∠BAO=45°，进而得到∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，再根据三角形外角的性质，则①正确；过点Ｇ作ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＣＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则∠BGC=∠AHC=90°，可证得△BCG≌△ACH，△BOF≌△AOE，从而得到CG=CH，AF=BE，再由三角形的面积，可得②正确；根据，可得AD=AB=AC，再根据等腰三角形的性质，可得∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，则得到③正确；过点C作CP⊥AB于点P，可得CP过点O，根据勾股定理可得，， 从而得到，再由等腰直角三角形的性质可得④正确；设点，则OD=m，AD=2+m，可得到，，再由，求出m，即可求解．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC，
当时，，当时，，
∴A（0，2），B（-2，0），
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，∠CAF=∠BAC-∠BAO=15°，
∴∠AEB=∠ACB+∠CBE=75°，故①正确；
如图，过点Ｇ作ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＣＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则∠BGC=∠AHC=90°，

∵∠CBE=15°，∠CAF=15°，
∴∠CBE=∠CAF，
∵∠BGC=∠AHC=90°，AC=BC，
∴△BCG≌△ACH，
∴CG=CH，
∵∠CBE=∠CAF， OB = OA，∠BOF=∠AOE=90°，
∴△BOF≌△AOE，
∴OE=OF，
∴OA+OF=OB+OE，即AF=BE，
∵，
∴，故②正确；
∵，AB=BC=AC，
∴AD=AB=AC，
∴∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=150°，故③正确；
如图，过点C作CP⊥AB于点P，
∵OA=OB，
∴CP过点O，
∵∠ABO=45°，∠ABC=60°，
∴∠COE=∠BOP=45°，∠BCP=30°，
∴OP=BP，，∠OCG=45°，
∵OA=OB=2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠COE=∠OCG=45°，
∴CG=OG，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，故④正确；
设点，则OD=m，AD=2+m，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得： ，
∴，故⑤正确
所以正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：D
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，求出DF的解析式，联立方程组，求出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可．
【详解】
解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，

∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点，
∴D（2，0）
∴BD=4
又∠DBE＝∠DEB，
∴DE=BD=4
对于直线l：y＝﹣x++3，当x=0时，y=+3；当y=0时，x=+3
∴OH=+3，AO=+3
∴
∴
∴
∴
又
∴，
∴
∴
设直线DF所在直线解析式为
把，D（2，0）代入得，
解得，
∴直线DF所在直线解析式为
联立，
解得，
∴F(，)
∴
在Rt△DFE中，
∴
①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴DC=DM
在Rt△DFM中，
∴
②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，

∵EM=DE
∴
又∵，
∴
∴DC=DM
∴
在Rt△DFM中，
∴
综上所述，或
故选：C
【点拨】本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
先由AB关于l对称直线和x轴相交得到x轴关于直线l对称的直线也与AB相交，作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中，然后再求出C、D点的坐标，求出OD的长，设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1，可得OE=3，然后运用点与直线的距离求得k，最后再代入分段函数即可求得m的取值范围．
【详解】
解：∵AB关于l对称直线和x轴相交
∴x轴关于直线l对称的直线也与AB相交
作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中
当y=0时，x=6，即C（6，0）
在l中，当x=0时，y=3,即OD=3
设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1
∵x轴和直线l1关于直线l对称
∴OD=OE=3
∴D到l1的距离d= ，解得k=
∴l1：y=x+8
由题意可知：x+8=-2x+10,x+8=x,解得x=3，x=
∴交点的横坐标为3和
∵交点在l上
∴3≤m≤或3≤m+1≤，即．
故选A．

【点拨】本题主要考查了分段函数的应用、轴对称的性质、点到直线的距离等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
利用待定系数法分别求出OB、PA的函数关系式，设，，并由P、Q点坐标，可表示出OP、OQ和PQ，根据△OPQ是等腰三角形，可得或或，则可得到关于m的方程，求得m的值，即可求得P点坐标．
【详解】
解：设OB的关系式为，
将B（3，4）代入得：，
∴，
设，，
∴，，，
设PA的关系式为，将，代入得：
，
解得，
∴，
将，联立方程组得：
，
解得，
若△OPQ是等腰三角形，则有或或，
当时，，，
即，
解得，则P点坐标为（0，），
当时，，，
解得，不合题意，舍去，
当时，根据等腰三角形性质可得：点Q在OP的垂直平分线上，，
∴，且，
即，
解得，则P点坐标为（0，）
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，）或（0，）．
故选：C．
【点拨】本题是一次函数的综合问题，考查了待定系数法、等腰三角形的性质等知识，掌握待定系数法与两点间的距离公式并注意分类讨论思想及方程思想的应用是解题的关键，综合性较强．
5．C
【解析】
【分析】
分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的的面积，判断函数图像，选出正确答案即可．
【详解】
由点M是CD中点可得：CM=，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，

y==x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即1
BP=x－1，CP=2－x，
y===；
（3）如图：当点P位于线段MC上时，即2
MP=，
y===．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
【点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
连接BC，交PA于Q，由题意可知，PA垂直平分BC，设直线PA的解析式为y＝kx+b，进一步得到直线PA的解析式为y＝kx+9k+7，设直线BC的解析式为y＝﹣x+n，把B（﹣3，0）代入得n＝﹣，即可得到C（0，﹣），进而得到Q（﹣，﹣），代入y＝kx+9k+7，然后解关于k的方程即可求得．
【详解】
解：连接BC，交PA于Q，

由题意可知，PA垂直平分BC，
设直线PA的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣9，7）代入得，7＝﹣9k+b，
∴b＝9k+7，
∴直线PA的解析式为y＝kx+9k+7，
设直线BC的解析式为y＝﹣x+n，
把B（﹣3，0）代入得0＝+n，
∴n＝﹣，
∴C（0，﹣），
∴Q（﹣，﹣），
∵Q在直线PA上，
∴﹣＝﹣k+9k+7，
整理得，15k2+14k+3＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝﹣，
∴直线PA的解析式为y＝﹣x+，或y＝﹣x+4，
故选：
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，表示出C的坐标，即得到Q的坐标是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
作轴于，轴于E，根据的坐标求得直线的斜率，进一步得出直线的斜率为，通过证得，得出，，可设，则，然后根据待定系数法求得直线的斜率为，整理得，然后根据勾股定理得出，代值求解即可．
【详解】
解：作轴于，轴于E，

设直线的解析式为，
∵点
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴直线的斜率为
又∵，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
设，则
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴
整理得：
∵正方形面积为40
∴
∴在中，，即：
解得：
∴
∴
故答案选B
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据直线的斜率列出方程是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
通过解直角三角形证得A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B，交直线l于P，此时PA+PB=A′B，根据两点之间线段最短，则PA+PB此时取到最小值，求得直线l和直线A′B的解析式，然后两解析式联立，解方程组即可求得此时P的坐标．
【详解】
如图，设直线交x轴于点M，

∵直线：（k＞0）过点(，0)，且与轴相交夹角为30°，
∴OM=，
∴ON=OM，MN=2ON=2，
∴N(，1)，
把M(，0)，N(，1)代入，得：
，解得，
∴直线为：，
∵OM=OA=，
∴AN=MN=2，
过A点作直线的垂线，交y轴于A′，则∠OAA′=60°，
∠OA′A=30°，
∴A′A=2OA=2，
∴OA′=，
∴A′N=OA′- ON=2，
∴A′N=AN，
∵A′A⊥直线，
∴直线平分AA′，
∴A′是点A关于直线的对称点，
连接A′B，交直线于P，此时PA+PB=A′B，PA+PB时取到最小值，
∵OA′=3，
∴A′（0，3），
设直线A′B的解析式为，
把A′（0，3），B(，0) 代入得，
解得：，
∴直线A′B的解析式为，
由解得，
∴P点的坐标为(，2)，
故选：A．
【点拨】本题是一次函数与几何的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，轴对称-最短路线问题，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质等，求得出点A关于直线的对称点是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
由点P的运动确定P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP'与MN垂直时，线段CP'的值最小．
【详解】
解：∵A，B两点是直线y=﹣x+4与坐标轴的交点，
∴A(0，4)，B(4，0)，
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB
∴C(2，2)，
又∵P是线段OC上的一个动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∴ P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一条线段MN，
∴当线段CP'与MN垂直时，线段CP'的值最小，
在△AOB中，AO=AN=4，AB=4，
∴NB=4-4
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB2+HN2=NB2
∴2HB2=NB2，
∴HB=4-2，
∴CP'=OB-BH-xc=4-（4-2）-2=2-2

故选：A．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找到最小值是解决问题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．
【详解】
当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示．
∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=2，OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）；
当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=2，即D（0，2），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：，解得：．
则这条直线解析式为y=﹣x+2．
故选D．

【点拨】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解答本题的关键．
11．D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意知：PC=x，OC=
∴BC=
∵的面积大于的面积
∴x＞6.
故选D.
考点: 一次函数综合题.
12．，或，
【解析】
【分析】
先求出直线的解析式为，则可求，设，则，可求，，分两种情况讨论：当在轴负半轴时，由折叠可知，在△中，由勾股定理可求，在△中，，，可求，所以，解得，则，；当在轴正半轴时，同理可得，，解得，求得，．
【详解】
解：设的直线解析式为，
将，代入可得，
，
解得，
，
，
点是边上，轴，
设，
轴，
，
，，
当在轴负半轴时，如图，

由折叠可知，，
，
在△中，，
在△中，，，
，
，
解得，
，；
当在轴正半轴时，如图，

同理可得，，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，，
故答案为，或，．
【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．
13．+2．
【解析】
【分析】
过点A作AB⊥CD，垂足为点B，当点B为CD的中点时，△ACD的周长最小，利用等腰三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】
过点A作AB⊥CD，垂足为点B，当点B为CD的中点时，△ACD的周长最小，如图，延长BA交x轴与点E，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，
设点M（3，）是直线上一个点，则OM==2，
∴∠MOF=30°，
∴∠BEF=60°，∠EAF=30°，
∵A（2+，1），
∴OF=2+，AF=1，
设AE=2n，则EF=n，
根据勾股定理，得，
∴EF=，AE=，
∴OE=OF+EF=2+，
∴BE=OE=1+，
∴BA=BE-AE=1+-=1，

∵CB=BD，AB⊥CD，CD=2，
∴AC=AD=，CB=BD=1，
∴AC=AD=，
∴△ACD的周长最小值为+2．
故答案为：+2．
【点拨】本题考查了正比例函数的解析式，勾股定理，直角三角形中30°角的性质，等腰三角形的判定和性质，两点间的距离公式，准确确定最小值的情形，并灵活运用勾股定理求解是解题的关键．
14．或．
【解析】
【分析】
先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．
【详解】
与轴，轴分别交于点，，
令，，，
令，，，
，
，
，
，，
，
①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，
则，

点关于直线的对称点为点
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综合①②可知C的坐标为或．
故答案为: 或．
【点拨】本题考查了一次函数图像的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；利用函数解析式求出P点坐标，再利用长度公式即可得出答案．
【详解】
解：建立如图平面直角坐标系，


由题意可知：
当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
∴．
当点在上除点、的位置处时，有．
由中位线定理可知：且．
∴点的运动轨迹是线段，
∴当时，取得最小值．
∵，
∴
设直线的解析式为：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
联立，得
∴
∴
∵
∴
∴线段的最小值为
故答案为：．
【点拨】本题考查了线段的最值问题以及利用矩形建立平面直角坐标系，函数解析式，长度公式等知识，解题的关键是学会找到线段取得最值的位置进行解答．
16．
【解析】
【分析】
根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【详解】
解：当x=0时，y=2x+2=2，
∴A（0，2）；
当y=2x+2=0时，x=-1，
∴C（-1，0）．
∴OA=2，OC=1，
∴AC==，
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD．
在△AOC和△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=2，DB=OC=1，
OD=OC+CD=3，
∴点B的坐标为（-3，1）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=，
∴OE=CE=AC=，
∵BC⊥AC，BC=，
∴BE==，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=，
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为，
故答案为：．

【点拨】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（1，0），（−，0）
【解析】
【分析】
分三种情况考虑：当PQ＝PB时，可得△APQ≌△CBP，确定出此时P的坐标；当BQ＝BP时，利用外角性质判断不可能；当BQ＝PQ时，设OP=x，则AP＝4＋x，BP＝，进而求出此时P的坐标即可．
【详解】
解：对于直线，
令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝−4，
∴A（−4，0），B（0，3），即OB＝3，
∵A与C关于y轴对称，
∴C（4，0），即OC＝4，
则根据勾股定理得：BC＝BA=；
∵C点与A点关于y轴对称，
∴∠BAO=∠BCO，
∵，
∴∠BPQ=∠BCO，
又∵∠BCO+∠CBP=∠BPQ+∠APQ，
∴∠CBP=∠APQ，
（i）当PQ＝PB时，则△APQ≌△CBP，
∴AP=CB=5，
∴OP=1，
∴此时点P（1，0）；
（ii）当BQ＝BP时，∠BQP＝∠BPQ，
∵∠BQP是△APQ的外角，
∴∠BQP＞∠BAP，
又∵∠BPQ＝∠BAO，
∴这种情况不可能；
（iii）当BQ＝PQ时，∠QBP＝∠QPB，
又∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠QBP＝∠BAO，
∴AP＝BP，
设OP=x，则AP＝4＋x，BP＝，
∴4＋x＝，
解得：x＝−．
此时点P的坐标为：（−，0）．
综上，P的坐标为（1，0），（−，0）．
故答案是：（1，0），（−，0）．
【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．
18．     （，）；     （3，11）或（，）或（，）；
【解析】
【分析】
（1）直接把两条直线方程组成方程组，求出方程组的解，即可得到答案；
（2）根据题意，可分为两种情况进行分析：①△DBE≌△OBC；②△EBD≌△OBC；分别求出点E的坐标，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵直线与直线交于点，
∴，解得：，
∴点C的坐标为（，）；
故答案为：（，）；
（2）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，7），
∴OB=7；
若以，，为顶点的三角形与全等，
则可以分为两种情况进行分析：
①当△DBE≌△OBC时，如图：

∴BD=BO=7，∠BED=∠BCO，
∴CO∥DE，点D的坐标为（0，14），
∴直线DE为，
∵点E是直线与直线的交点，
∴，解得；
∴点E的坐标为（3，11）；
②当△EBD≌△OBC时，如图

∴BE=OB=7，BC=BD，
∵点E在直线的图像上，则设点E为（x，），
∵点B为（0，7），
∴，
解得：，
∴或，
∴，或，
∴点E的坐标为（，）或（，）；
综合上述，点E的坐标为（3，11）或（，）或（，）；
故答案为：（3，11）或（，）或（，）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，一次函数的图形和性质，勾股定理求两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确运用全等三角形的思想和一次函数的性质进行解题．
19．（-3，），（，3），（3，），（，-1）
【解析】
【分析】
先根据直线表达式求出点A和点B坐标，再根据已知条件画出图形，根据图形求出相应线段的长度即可求出点Q的坐标．
【详解】
解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，2），
若OA为菱形的边，
如图1，过点Q作x轴的垂线，垂足为C，
∵OA==OQ，OB=2，
∴AB==4，
∴∠OAB=30°，
∴∠QOC=30°，
∴CQ=OQ=，
∴OC==3，
∴点Q的坐标为（-3，）；

如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为C，
设OC=x，则PC=，
∵OA=OP=，
∴在△PCO中，，
解得：x=（舍）或x=，
∴PC=3，即点P的坐标为（，3），
∵四边形AOPQ为菱形，
∴点Q坐标为（，3）；

如图3，根据图1的结果同理可得：
点Q的坐标为：（3，）；

若OA为菱形的对角线，如图4，四边形AQOP为菱形，
∴PQ垂直平分OA，
∴P、Q的横坐标为，
代入中，得，
∴点P的坐标为（，1），
∴点Q的坐标为（，-1）；

综上：点Q的坐标为（-3，），（，3），（3，），（，-1），
故答案为：（-3，），（，3），（3，），（，-1）．
【点拨】本题考查了一次函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是能够根据菱形的性质进行分类讨论．
20．
【解析】
【分析】
过C作轴于H，利用一线三直角，可证，由A点坐标为，，设B点坐标为，， 点C动点轨迹为直线．设直线与x轴交于点P，与y轴交于点Q，过O点作直线的对称点M，连结，求出M点坐标为．两点之间线段最短，当且仅当三点共线时， 的最小值即为线段的长度求出即可
【详解】
过C作轴于H，

∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵A点坐标为，
∵，∴，设B点坐标为，
∴，
∴，
∴C点坐标为（n，），
∴点C在直线上．
设直线与x轴交于点P，与y轴交于点Q，
令，解得，令，
∴，
∴．
∵，
∴，过O点作直线的对称点M，连结，
由对称性可知，，
∴，
∴M点坐标为．
∵，
∴当且仅当三点共线时，取得最小值，
∴的最小值即为线段的长度．
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查一线三直角三角形全等，动点轨迹，距离最短，勾股定理应用问题，掌握一次函数的性质，三角形全等的证明方法，会利用动点的坐标，构造随动点C的轨迹函数，利用函数图像作对称轴作出对称点是解题关键
21．（0，4）．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得B′点，根据待定系数法求函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值
【详解】

解：作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于C点，
B′点的坐标是（-4，0），
设AB′的函数解析式为y=kx+b，图象经过（-4，0），（1，5），得

解得
AB′的函数解析式为y=x+4
自变量的值为零时，y=4
当△ABC周长最小时，C点坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短．
22．+
【解析】
【分析】
根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【详解】
解：当x=0时，y=x+2=2，
∴A（0，2）；
当y=x+2=0时，x=-2，
∴C（-2，0）．
∴OA=2，OC=2，
∴AC=
=2 ．
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．

∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD．
在△AOC和△CDB中， ，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=2，DB=OC=2，
OD=OC+CD=4，
∴点B的坐标为（-4，2）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=2 ，
∴OE=CE=，
∵BC⊥AC，BC=2 ，
∴BE= =，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=+ ．
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=+ ，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为+，
故答案为：+．
【点拨】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
23．(1)（8，0）；y=-x+8
(2)（0，5）或（0，-3）
(3)①（m-4，m-3）；②3≤m≤
【解析】
【分析】
（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；
（3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可；
②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围．
(1)
令x=0，则y=8，
∴B（0，8），
令y=0，则x=-6，
∴A（-6，0），
∵点D为线段AB的中点，
∴D（-3，4），
∵△ABC的面积为56，
∴×8×AC=56，
∴AC=14，
∴C（8，0），
设直线BC的表达式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=-x+8；
(2)
设E（0，y），
∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∵△DEF的面积为5，
∴DE2=5，
∴DE=，
∴，
∴y=3或y=5，
∴E（0，3）或E（0，5）；
(3)
①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，

∵∠GED+∠HEF=90°，∠GED+∠GDE=90°，
∴∠GDE=∠HEF，
∵DE=EF，
∴△GDE≌△HEF（AAS），
∴GE=HF，GD=EH，
∴HF=3，DG=m-4=EH，
∴F点纵坐标m-3，横纵标m-4，   
∴F（m-4，m-3）；
②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，


此时m-3=0，
∴m=3；
当F在直线BC上时，
此时m-3=-（m-4）+8，
∴m=；
∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）．
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键．
24．(1)4
(2)存在，t=8
(3)（，0）或（，0）
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的非负性和绝对值的非负性分析求得a、b、c的值，继而根据三角形面积公式即可求解；
（2）运动时间为t，运动速度为0.5个单位∕s，分当DE在BC的上方时和当DE在BC的下方两种情况讨论
（3）利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，再利用一次函数平移规律求出直线FG解析式，求出线段FG与BC相交于点H点H，设，根据计算即可求解．
(1)
∵，
又≥0，≥0，≥0，
∴，，，
∴，，，
∴点A(-1，0)，B（3，0），C（0，-2），
∴AB=4，OC=2，
∴，
(2)
存在，
①当DE在BC的上方时，运动时间为t，运动速度为0.5个单位∕s，
，，
∴， ，
∵3S△ACD＝2S△EOD，
∴，
解得：，
②当DE在BC的下方时， ，，
∴ ，，
∵3S△ACD＝2S△EOD，
∴，
解得：（t为正数，舍去）
综上所述，当时，使得3S△ACD＝2S△EOD．

(3)
∵点A(-1，0)，B（3，0），C（0，-2），
设直线AC，BC的解析式为、，
将A(-1，0)， C（0，-2）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：，
将点B（3，0），C（0，-2）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：，
∵FG是线段AC往右平移3个单位长度得到的，点A的对应点为点F，
∴直线FG的解析式为：，点F(2，0)，G（3，-2），
令，
解得：，
将代入得：，
∴点H，
∵设，
则，，
∴，
∵S△MCH =2，即，
解得：或，
∴点M(，0)或M（，0）．
【点拨】本题考查一次函数的综合问题，涉及到二次根式非负性，绝对值非负性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，解题的关键正确求得各点坐标和各直线的函数解析式，注意分类讨论．
25．(1)
(2)
(3)或或．
【解析】
【分析】
（1）求出点的坐标，利用待定系数法可求出解析式；
（2）由，知直线PQ//AB，从而得出直线的解析式为，即可解决问题；
（3）分或或三种情形，分别根据含角的直角三角形的性质进行解答即可．
(1)
解：，，
的中点为，
当点运动到中点时，，
设直线的函数解析式为，
将代入得，，
，
直线的函数解析式为；
(2)
解：由点，，可知，直线的解析式为，
，
直线PQ//AB，
直线的解析式为，
当时，
，
解得，
；
(3)
解：当时，设交直线于，
则，
，
解得，
当时，
，，
，
，
，
，
，
解得，
当时，，
，
，
解得，
综上：或或．
【点拨】本题是三角形的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，三角形面积等知识，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
26．(1)
(2)当0＜t＜4时，；当4＜t＜6时，
(3)点N的坐标（16-4，12-6）或（-4，12-6）或（4，10-12）．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ODC中，解直角三角形求出OD即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解①当0＜t＜4时，如图2中．②当4＜t＜6时，如图3中．求出PQ、EC即可；
（3）如图4中，作CH⊥AD于H，在CH上截取一点G，使得GP=GC，连接PG．由PE∥CH，推出∠PCG=∠QPC=∠GPC=15°，推出∠PGH=30°，设PH=m，则，可得，推出，推出P，Q，可得直线PC的解析式为，由QM平分∠PQC，推出QM⊥PC，推出可得直线QM的解析式为，可得x=8，可得M，设N（x，y），再分三种情形分别求解即可解决问题．
(1)
如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCO=∠A=60°，
在Rt△DOC中，，
∴．
(2)
①当0＜t＜4时，如图2中，

∵C（2，0），，
∴直线CD的解析式为，
∴AP=t，AD=4，
∴PD=4-t，
∴，
∴，
∴．
②当4＜t＜6时，如图3中，

易知：，
∴，
∴．
(3)
如图4中，作CH⊥AD于H，在CH上截取一点G，使得GP=GC，连接PG．

∵QP=QC，∠CQE=30°，
∴∠QCP=∠QPC=15°，
∵PE∥CH，
∴∠PCG=∠QPC=∠GPC=15°，
∴∠PGH=30°，设PH=m，则，
∴，
∴，
∴，
∴直线PC的解析式为，
∵QM平分∠PQC，
∴QM⊥PC，
∴可得直线QM的解析式为，
令y=2，可得x=8，
∴M（8，2），
设N（x，y），
①当QM为对角线时，x=8-4+8=16-4，y=12-6，可得N1（16-4，12-6）．
②当DQ为对角线时，x=8-4-8=-4，y=12-6，可得N3（-4，12-6）．
③当DM为对角线时，，
，
∴N2（4，10-12）．
综上所述，满足条件的点N的坐标（16-4，12-6）或（-4，12-6）或（4，10-12）．
【点拨】本题考查一次函数综合题、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，两直线垂直的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．(1)
(2)
(3)
(4)点的坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）连接，先求出点，点，可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解；
（2）由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的值，即可求点坐标；
（3）由得，若平分，P（，0），由面积法可的长，由勾股定理可求的长，即可得的取值范围；
（4）分、、三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可．
(1)
解：如图，连接，

直线交轴于点，交轴于点，
点，点，
，，
，
点是中点，
，
，
，
，
；
(2)
如图，连接，

平分，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
；
(3)
过点作轴于点．

由得，＝，，
－＝，
∴,
＝，
＝，
的取值范围；
(4)
设点，过点作轴于点，
则，

同理可得：，，
当时，即，解得或舍去；
当时，同理可得；
当时，同理可得或，
故点的坐标为或或或．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．