专题 19.48 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.48 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共22页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题 19.48 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【知识网络】
变化的世界
函 数
建立数学模型
应

用
概 念
选择方案
概 念
再认识
表示方法
图 象
性 质
一次函数
（正比例函数）
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程组
与数学问题的综合
与实际问题的综合
列表法
解析法
图象法

【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别说明：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
特别说明：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
为何值时，函数的值为0？
确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解．
为何值时，函数与函数的值相等？
确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
为何值时，函数的值大于0？
确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
【典型例题】
类型一、函数的概念
1、如图，下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数？你能说出其中的道理吗？

【答案】答案见分析
【分析】
对于函数概念的理解主要抓住以下三点：①有两个变量；②一个变量的每一个数值随着另一个变量的数值的变化而变化；③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，通过分析不难得出（1）、（2）能够表示y是x的函数，（3）、（4）不能表示y是x的函数．
解：（3）、（4）对于x的每一个取值，y都有不唯一确定的值与之对应，故都不是函数；
（1）、（2）能够表示y是x的函数，
∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴（1）、（2）能够表示y是x的函数．
【点拨】本题考查了对函数概念的理解，理解函数的概念是解题的关键．
举一反三：
【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（       ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
函数就是在一个变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应，
所以A、C、D不合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【变式2】在下列关系式中：①长方形的宽一定时，其长与面积的关系；②等腰三角形的底边长与面积；③圆的周长与圆的半径．其中，是函数关系的是________（填序号）
【答案】①③
【分析】
根据函数定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，解答即可．
解：①长面积宽，是函数关系；
②高不能确定，共有三个变量，不是函数关系；
③周长半径，是函数关系．
故答案为：①③．
【点拨】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
类型二、自变量取值范围或函数值
2、已知函数．
（1）自变量x的取值范围是什么？ （2）当时，y的值为多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质求解；
（2）把x的值代入函数解析式即可得到解答．
解：（1）由题意可得：
，
∴x>1；
（2）当x=4时，y=．
【点拨】本题考查二次根式和分式的综合应用，熟练掌握二次根式和分式的意义是解题关键 ．
举一反三：
【变式1】函数中自变量的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件即可求解．
解：依题意可得x-1≥0，x-2≠0
解得且
故选C．
【点拨】此题主要考查函数自变量的取值，解题的关键是熟知二次根式与分式有意义的条件．
【变式2】函数y＝的自变量x的取值范围是______．
【答案】且
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【点拨】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
类型三、一次函数的解析式
3、甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．

【答案】（1）甲：，乙：；（2）
【分析】
（1）分别设出甲乙的函数解析式，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）由题意得利用甲乙的函数解析式列方程，解方程并检验可得答案．
解：（1）设甲气球上升过程中：，
由题意得：甲的图像经过：两点，

解得：
所以甲上升过程中：
设乙气球上升过程中：
由题意得：乙的图像经过：两点，

解得：
所以乙上升过程中：

（2）由两个气球的海拔高度相差，
即


或
解得：或（不合题意，舍去）
所以当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为
【点拨】本题考查的是一次函数的应用，考查利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
解：正方形中，过点作轴于点，






设直线所在的直线解析式为，
代入，得


，
故选：A．

【点拨】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．

【答案】
【分析】连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求．
解：连接点A，B，
设直线AB的解析式为
点，点

解得
直线AB的解析式为
当时，则
解得

故答案为：
【点拨】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键．
类型三、一次函数的图象和性质
4、在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

【答案】（1）；（2）点C的坐标是（0，）
【分析】
（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0），把A坐标代入即可解答
（2）先求出点B坐标，设点C的坐标为（0，y），由AC＝BC利用勾股定理求出y即可解答
解：（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0）.
一次函数的图像平行于直线，∴
又∵一次函数的图像经过点A（2，3），
∴，解得b＝2.
所以，所求一次函数的解析式是
（2）由y＝，令y＝0，得号＝0，解得x＝－4.
∴一次函数的图像与x轴的交点为B（－4，0）.
∵点C在y轴上，.设点C的坐标为（0，y）.
由AC＝BC，得，解得y＝
经检验：y＝是原方程的根.
∴点C的坐标是（0，）
【点拨】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于利用勾股定理进行计算
举一反三：
【变式1】一次函数的图象如图所示，将直线向下平移若干个单位后得直线，的函数表达式为．下列说法中错误的是（   ）

A． B． C． D．当时，
【答案】B
【分析】根据两函数图象平行k相同，以及平移规律“左加右减，上加下减”即可判断
解：∵将直线向下平移若干个单位后得直线，
∴直线∥直线，
∴，
∵直线向下平移若干个单位后得直线，
∴，
∴当时，
故选B．
【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
【变式2】已知关于x的一次函数y=kx+4k﹣2（k≠0）．若其图象经过原点，则k=__，若y随着x的增大而减小，则k的取值范围是__．
【答案】          k＜0
解：∵图象经过原点，
∴0=0+4k-2,
∴k=.
∵y随着x的增大而减小，
∴k<0.
故答案为；k＜0．
【点拨】本题考查了一次函数的图像与性质，当图像过原点时，把（0,0）代入即可求出k的值；当y随着x的增大而减小时，则k<0.
类型四、一次函数与方程（组）、不等式
5、如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B．
（1）求△AOB的面积； （2）求y1＞y2时x的取值范围．

【答案】（1）1.5；（2）x＞﹣1．
【分析】
（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积；
（2）结合函数图象即可求出y1＞y2时x的取值范围．
解：（1）由y1=﹣x+1
可知当y=0时，x=2
∴点A的坐标是（2，0）
∴AO=2
∵y1=﹣x+1与x与直线y2=﹣x交于点B
∴B点的坐标是（﹣1，1.5）
∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5；
（2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5）
由函数图象可知y1＞y2时x＞﹣1．
【点拨】一次函数与一元一次不等式．
举一反三：
【变式1】如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是

A．x＞3 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【答案】D
解：∵直线y=kx+b交x轴于A（﹣2，0），
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2．
故选D．
【变式2】如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___．

【答案】
【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．
解：根据题意，
∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴方程组的解为；
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．
类型五、一次函数的应用
6、某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【分析】
（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，
由题意可得，，
解得，
经检验是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，
则购进乙品牌洗衣液瓶，
由题意可得，，
解得，
由题意可得，，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，.
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
【点拨】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得y与x的函数关系式，然后令y＝7.5，求出x的值，即此时x的值就是a的值，本题得以解决．
解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，
当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，
即a的值为3，
故选：A．
【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式2】如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．

【答案】
【分析】过P作PD⊥OC于D，先求出A，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB≌△OPA，从而求出BD＝2，OD＝4−2，进而即可求解．
解：如图所示，过P作PD⊥OC于D，
∵一次函数与坐标轴分别交于A，两点，
∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形，

∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
又∵PC＝OP，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷＝2，
∴OD＝OB−BD＝4−2，
∴P（-2，4−2）．
故答案是：P（-2，4−2）．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．
类型六、一次函数综合
7、如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．
（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．

【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.
解：（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；
（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况，利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；
②设点A坐标，表示△PMN即可．
（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，
∵直线l1过点F（0，10），E（20，0），
∴，解得：，
直线l1的表达式为y=﹣x+10，
解方程组得，
∴点P坐标为（8，6）；
（2）①如图，当点D在直线上l2时，

∵AD=9
∴点D与点A的横坐标之差为9，
∴将直线l1与直线l2 的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，
∴y﹣（20﹣2y）=9，
解得：y=，
∴x=20﹣2y=，
则点A的坐标为：（，），
则AF=，
∵点A速度为每秒个单位，
∴t=；
如图，当点B在l2 直线上时，

∵AB=6，
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，
∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得，
﹣x+10﹣x=6，
解得x=，
y=﹣x+10=，
则点A坐标为（，）
则AF=，
∵点A速度为每秒个单位，
∴t=，
故t值为或；
②如图，

设直线AB交l2 于点H，
设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，
由①中方法可知：MN=，
此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，
∵△PMN的面积等于18，
∴=18，
解得
a1=-1，a2=﹣-1（舍去），
∴AF=6﹣，
则此时t为，
当t=时，△PMN的面积等于18.
【点拨】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三角形的面积等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键.
【变式1】在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（   ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
解：设直线l解析式为：y=kx+b，由l与x轴交于点A（-，0），与y轴交于点B（0，b），依题可得关于k和b的二元一次方程组，代入消元即可得出k的值，从而得出直线条数.
解：设直线l解析式为：y=kx+b，则l与x轴交于点A（- ，0），与y轴交于点B（0，b），
∴，
∴（2-k）2=8|k|，
∴k2-12k+4=0或（k+2）2=0，
∴k=6±4或k=-2，
∴满足条件的直线有3条，
故选C.
【点拨】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解本题的关键是确定出直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标.
【变式2】如图，在等腰中，，点的坐标为，若直线：把分成面积相等的两部分，则的值为__________．

【答案】
分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得m的值．

解：∵y=mx+m=m（x+1），
∴函数y=mx+m一定过点（-1，0），
当x=0时，y=m，
∴点C的坐标为（0，m），
由题意可得，直线AB的解析式为y=-x+2，
，得，
∵直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，
∴，
解得，m=或m=（舍去），
故答案为．
【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．