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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题含解析
展开2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1.设全集,,,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】试题分析:由题意得,,所以,故选C.
【解析】集合的运算.
2.命题“,都有”的否定为( )
A.,使得 B.,使得
C.,都有 D.,使得
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可.
【详解】命题“ 都有”的否定为:
“ 使得”,所以选项A正确.
故选:A.
3.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据偶次根式被开方数非负,分母不等于列不等式组,解不等式组即可求解.
【详解】由题意可得:,解得:
故函数的定义域为:,
故选:C.
4.已知,且,则的最大值是
A. B.4 C. D.8
【答案】C
【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值.
【详解】由题意得,,当且仅当时等号成立,
所以的最大值是.
故选C.
【点睛】运用基本不等式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如逆用就是;逆用就是等.当应用不等式的条件不满足时,要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形,使之满足使用不等式的条件,解题时要特别注意等号成立的条件.
5.已知,则的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
【答案】A
【分析】作差法比较大小,即得解
【详解】由题意,
因此
故选:A
【点睛】本题考查了作差法比较大小,考查了学生综合分析,数学运算能力,属于基础题
6.若,满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由不等式的性质求解即可
【详解】,
,
,
,
,
又可得,
所以,
所以的取值范围是
故选:A
7.设,,若,则的最小值是( )
A. B.2 C.4 D.10
【答案】A
【分析】利用“1”的代换,利用基本不等式即可得出答案.
【详解】,,,
则,
当且仅当时取等号,
的最小值是,
故选:A.
8.设x∈R,定义符号函数,则函数=的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】函数f(x)=|x|sgnx==x,
故函数f(x)=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线,
故答案为C.
二、多选题
9.在下列四组函数中,与表示同一函数的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】BD
【解析】两个函数要是同一个函数,只要定义域相同,对应关系相同即可
【详解】解:对于A,的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不相同,所以不是同一个函数;
对于B,,的定义域都为,而,与的对应关系相同,所以,是同一个函数;
对于C,的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不相同,所以不是同一个函数;
对于D,,的定义域都为,而,,所以,是同一个函数,
故选:BD
10.已知,则下列推证中不正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论.
【详解】解:A.时不成立.
B.时不成立.
C.,两边同除以,可得,正确.
D.由,,取,可得,不成立.
故选ABD.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.
11.下面命题正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“,”是真命题,则
C.设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D.设,,则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.
【详解】选项A,由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以“”是“”的充分不必要条件,故A正确;
选项B,“,”是真命题可知,时不成立,当时,只需满足,解得,故B正确;
选项C,根据不等式的性质可知:由且能推出,充分性成立,故C错误;
选项D,因为可以等于零,所以由不能推出,由等价于且,可得,所以“”是“”的必要不充分条件,故D正确.
故选:ABD.
12.已知,,则的值可能是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【分析】,有则且,分和去掉绝对值号 ,然后用重要不等式求出其最值,从而得到答案.
【详解】由,得,则且.
当时, =
=.当且仅当即 时取等号.
当时, =
=.当且仅当即 时取等号.
综上,.
故选:BCD.
三、填空题
13.函数的定义域是,则函数的定义域是______.
【答案】.
【分析】根据函数定义域的概念以及一元二次不等式进行求解.
【详解】因为函数的定义域是,所以,
解得或,则函数的定义域是.
故答案为:.
14.已知,则______.
【答案】.
【分析】根据已知把换成,建立方程组求解.
【详解】因为 ①,
把换成有:
②,
联立①②式有:,
解得.
故答案为:.
15.函数的值域为__________.
【答案】
【详解】函数
令,则.
得.
当时,函数有最大值.
所以值域为.
故答案为.
点睛:本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择
16.已知不等式,恒成立,则实数m的取值范围是______________.
【答案】
【分析】变换得到,计算得到答案.
【详解】不等式,恒成立,即
当即时等号成立,故
故答案为:
【点睛】本题考查了均值不等式的应用,变换得到是解题的关键.
四、解答题
17.解不等式:
(1);
(2)
【答案】(1)或 (2) 或
【分析】(1)分式不等式化为,通分化为,再有一元二次不等式解法即可求解.
(2)由高次不等式采用“穿针引线”法即可求解.
【详解】(1)由,则,所以,
,解得或
不等式的解集为或
(2)由,
所以
由“穿针引线”法
或
故不等式的解集为或
故答案为或
【点睛】本题考查了分式不等式解法、高次不等式解法,属于基础题.
18.已知集合,.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)当时,没有元素使与同时成立,求实数的取值范围.
【答案】(1),
(2),
【分析】(1)由可得,分, 两种情况分类讨论,求出实数的取值范围;
(2)由题意知,分, 讨论,建立不等式或不等式组求解即可.
【详解】(1)集合,,,
,
当时,,解得,
当时,,
解得,
综上,实数的取值范围是,;
(2)当时,没有元素使与同时成立,
,
当时,,解得,
当时,或,
解得,
综上,实数的取值范围是,.
19.已知,,.
(1)求证:;
(2)求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】(1)根据重要不等式得到进而得到结果;
(2)根据均值不等式得到结果.
【详解】解:(1)因为,所以根 据 重 要 不 等 式 得 到:,当且仅当时取等号,
所以;
(2)因为,所以,等号成立的条件为:,即,
故.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.解决二元的范围或者最值问题,常用的方法有:不等式的应用,二元化一元的应用,线性规划的应用等.
20.前一阶段,随着新冠肺炎疫情在多地零星散发,一些城市陆续发出“十一期间非必要不返乡”的倡议.为最大程度减少人员流动,减少疫情发生的可能性,某地政府积极制定政策,决定政企联动,鼓励企业在十一期间留住员工在本市过节并加班追产.为此,该地政府决定为当地企业十一期间加班追产提供(万元)的专项补贴.企业在收到政府(万元)补贴后,产量将增加到(万件).同时企业生产(万件)产品需要投入成本为(万元),并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注:收益=销售金额+政府专项补贴-成本
(1)求企业十一期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式;
(2)当政府的专项补贴为多少万元时,企业十一期间加班追产所获收益最大?
【答案】(1),;
(2)万元.
【分析】(1)依题意得到的函数解析式;
(2)利用基本不等式求出函数的最大值,即可得解.
【详解】(1)依题意可知,销售金额万元,政府补贴万元,成本为万元;
所以收益,
(2)由(1)可知,
其中,
当且仅当,即时取等号,
所以,
所以当时,A企业十一期间加班追产所获收益最大,最大值为万元;
即当政府的专项补贴为万元时,A企业十一期间加班追产所获收益最大,最大值为万元
21.集合,;
(1)若,为的最小值,求集合;
(2)若,,求a,b的取值范围.
【答案】(1);
(2)a∈,.
【分析】(1)利用基本不等式求得b的最小值,将b代入并因式分解,即可得解;
(2)由题意知A⊆B,对a分类讨论即求得范围.
【详解】(1)由,有,解得或,
,
,,
当且仅当t=5时取等号,故,
故由可化为:且,
∴,解得,
故B={x| }.
(2)b<0,A∩B=A,有A⊆B,而
可得:
a=0时,化为:2x﹣b<0,解得但不满足A⊆B,舍去
a>0时,解得:或,但不满足A⊆B,舍去
a<0时,解得或
∵A⊆B
∴,解得,
∴a、b 的取值范围是,.
22.设A是实数集的非空子集,称集合且为集合的生成集.
(1)当时,写出集合的生成集;
(2)若是由5个正实数构成的集合,求其生成集中元素个数的最小值;
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合,使其生成集,并说明理由.
【答案】(1)
(2)7
(3)不存在,理由见解析.
【分析】(1)根据直接写出集合中元素;
(2)设,且,利用生成集的定义分析中元素大小关系,不相等的元素至少有7个,再举例即可求解;
(3)不存在,利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可.
【详解】(1),所以.
(2)设,不妨设,
因为,所以中元素个数大于等于7个,
又,,此时中元素个数等于7个,
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
(3)不存在,理由如下:
假设存在4个正实数构成的集合,使其生成集,
不妨设,则集合A的生成集
则必有,其4个正实数的乘积;
也有,其4个正实数的乘积,矛盾;
所以假设不成立,故不存在4个正实数构成的集合A,使其生成集