2022-2023学年山西省长治市、忻州市高一上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年山西省长治市、忻州市高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意明确图中阴影部分表示的含义，即可根据集合的运算求得答案.

【详解】由题意知：图中阴影部分表示，而 ，

故，

故选：D．

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.

【详解】由推不出，反之，由可以推出

所以“”是“”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.

3．已知，，则的非空真子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由补集的定义求解，列出其非空真子集，即可得答案.

【详解】由已知，则非空真子集为，

所以非空真子集有个.

故选：A

4．下列说法中正确的是（    ）

①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；

②；

③不等式的解集为；

④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为.

A．①② B．②④ C．②③④ D．③④

【答案】B

【分析】根据集合中元素的确定性判断①，由元素与集合的关系判断②，由不等式的解集的形式判断③，根据点所在的位置可知坐标满足的条件判断④.

【详解】①“高个子男生”标准不确定，不满足集合的确定性，故①错误；

②是有理数，故正确，故②正确；

③描述法中缺少代表元素，应该为，故③错误；

④因为第二、第四象限点的横纵坐标符号相反，故点构成的集合可表示为，故④正确.

故选：B.

5．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】D

【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为.

【详解】关于的不等式的解集为，

，，

可化为，

即

，

关于的不等式的解集是.

故选：D.

6．下列结论中正确的个数是（    ）

①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

②命题“，”是全称量词命题；

③命题“，”是真命题；

④命题“有一个偶数是素数”是真命题.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】①命题是全称量词命题；②命题是全称量词命题；③④，通过举例得到命题是真命题.

【详解】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题；

②命题“，”是全称量词命题，所以该命题是真命题；

③命题，，如，所以该命题是真命题；

④命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题.

故选：D

7．已知，，若集合，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据集合相等的定义求出，即可得解.

【详解】解：因为，

所以解得或

当时，不满足集合元素的互异性，

故，，.

故选：B.

8．已知实数，，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式变形并计算得，再将其化简之后利用基本不等式求解判断.

【详解】因为，，所以，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

，

当且仅当，则时取等号，

所以的最小值是.

故选：C.

二、多选题

9．已知集合，，，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C． D． 

【答案】AC

【分析】根据给定条件，用列举法表示出集合，再逐项计算判断作答.

【详解】，而，，

显然，A不正确；，B正确；

，C不正确；因，则，D正确.

故选：AC

10．有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】BCD

【分析】先解出，然后根据充分条件的定义即可选出答案.

【详解】，，②③④是的充分条件，

故选:BCD.

11．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．的最小值为1

C．的最大值为4 D．的最小值为2

【答案】AD

【分析】利用基本不等式得到选项AD正确；的最大值为1，所以选项B错误；的最大值为2，所以选项C错误.

【详解】，，，

，

当且仅当，即时等号成立，故选项A正确；

，，当且仅当时，等号成立，故选项B错误；

设，所以，

所以，所以，

，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故选项C错误；

，当且仅当时等号成立，故选项D正确.

故选：AD.

12．整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即.以下判断正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若，则整数，属于同一个“类”

【答案】ACD

【分析】对选项A，余数为2，所以该选项正确；对选项B，余数为1，所以该选项错误；对选项C，根据定义得该选项正确；对选项D，则，分别被4除的余数相同，所以该选项正确.

【详解】对选项A，，即余数为2，所以该选项正确；

对选项B，，即余数为1，所以该选项错误；

对选项C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，所以该选项正确；

对选项D，由题意能被4整除，则，分别被4除的余数相同，所以该选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．命题“，”的否定为______.

【答案】，

【分析】利用全称量词命题的否定求解.

【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题“，”的否定为“，”.

故答案为：，

14．已知，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由不等式的性质求解即可

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

故答案为：

15．已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.

【答案】或

【分析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解.

【详解】设方程的两个不相等的实数根为，

由题得或.

由题得.

综合得或.

故答案为：或

16．已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题得，解不等式即得解.

【详解】，

，

所以,

所以，

当且仅当或时等号成立.

所以，，

所以

恒成立，

.

故答案为：

四、解答题

17．设集合，，．求：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】由集合的交并补混合运算直接得出答案.

【详解】(1)

(2)，

(3)，

，

18．求解下列问题：

(1)已知，比较和的大小；

(2)已知，比较与的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用作差法比较大小；

（2）用作差法比较大小．

【详解】(1)－．

所以；

(2)∵，∴，，

∴，

所以．

19．已知集合，非空集合.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由可得，则，再求补集即可；

（2）“”是“”的充分条件可知且，分情况讨论即可.

【详解】(1)当时，

，

则，

所以.

(2)，

因为“”是“”的充分条件，

所以且，故，

当，即时，，

因为，

所以不成立，即不符合题意；

当，即时，，

则有解得.

综上，的取值范围为.

20．如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.

(1)若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；

(2)若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围.

【答案】(1)每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m

(2)

【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值；

（2）根据题意可知总费用，解不等式即可求得的取值范围.

【详解】(1)设每个长方形区域的长为m（），则宽为，

则栅栏总长为.

当且仅当，即时等号成立，

所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m；

(2)由题可知每个长方形区域的长为m，宽为m，，

则长方形区域的面积为，栅栏总长为，

总费用，又总费用不超过180元，

，解得：,

又，,

故当时，总费用不超过180元.

21．（1）若关于的不等式的解集是，求不等式的解集；

（2）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）或（2）

【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可.

（2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可.

【详解】（1）不等式的解集是，

，是方程的两个根，

由韦达定理得：，，

即，

解不等式可得：或，

故的解集为或

（2）恒成立，，

，

当且仅当，即时等号成立，

解得，

则实数的范围是：.

22．设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．

(1)当时，写出集合A的孪生集B；

(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．

【答案】(1)；

(2)128；

(3)不存在，理由见解析.

【分析】⑴根据孪生集的定义写出集合即可；

⑵设，且，根据孪生集的定义即可求解；

⑶利用反证法来证明.

【详解】(1)∵，∴；

(2)设，不妨设，

因为，所以B中元素个数大于等于7，

取，则，此时B中元素共7个，

所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为；

(3)不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集，

不妨设，则集合A的孪生集，

则，，

则必有，，其4个正实数的乘积；

同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾．

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集．