2022~2023学年中考数学一轮复习专题15图形折叠问题附解析

这是一份2022~2023学年中考数学一轮复习专题15图形折叠问题附解析，共41页。试卷主要包含了直角三角形折叠问题，矩形折叠问题，四边形折叠压轴问题，剪纸类折叠问题，四边形折叠问题等内容，欢迎下载使用。

2022~2023学年中考数学一轮复习专题15图形折叠问题附解析
一、直角三角形折叠问题
1．（2021·广安）如图，将三角形纸片 ABC 折叠，使点 B 、 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE 、 FG .已知 ∠ACB=15° ， AE=EF ， DE=3 ，则 BC 的长为　 　.

2．（2021·无锡）如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=22 ， AC=6 ，点E在线段 AC 上，且 AE=1 ，D是线段 BC 上的一点，连接 DE ，将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形 FGDE ，当点G恰好落在线段 AC 上时， AF=　 　.

3．（2022·德阳）如图，直角三角形 ABC 纸片中， ∠ACB=90° ，点 D 是 AB 边上的中点，连接 CD ，将 △ACD 沿 CD 折叠，点 A 落在点 E 处，此时恰好有 CE⊥AB .若 CB=1 ，那么 CE=　 　.

4．（2021·鄂尔多斯）如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°，AC=8，BC=6 ，将边 BC 沿 CN 折叠，使点B落在 AB 上的点 B′ 处，再将边 AC 沿 CM 折叠，使点A落在 CB′ 的延长线上的点 A′ 处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点N、M，则线段 A′M 的长为（　　）

A．95 B．85 C．75 D．65
5．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　　）

A．136 B．56 C．76 D．65
6．（2022·台湾）如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上.今以DE为折线将B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示.若AD=10，AF=16，DF=14，BF=8，则CG的长度为多少？（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2022·扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P.若BC=12，则MP+MN=　 　.

8．（2022·绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．

（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．





9．（2021·吉林）如图①，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠A=60° ， CD 是斜边 AB 上的中线，点 E 为射线 BC 上一点，将 △BDE 沿 DE 折叠，点 B 的对应点为点 F ．

（1）若 AB=a ．直接写出 CD 的长（用含 a 的代数式表示）；
（2）若 DF⊥BC ，垂足为 G ，点 F 与点 D 在直线 CE 的异侧，连接 CF ，如图②，判断四边形 ADFC 的形状，并说明理由；
（3）若 DF⊥AB ，直接写出 ∠BDE 的度数．











二、矩形折叠问题（求角度）
10．（2022·菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC=36°，则∠D1AD=（　　）

A．48° B．66° C．72° D．78°
11．（2022·宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（　　）

A．817 B．715 C．1517 D．815
12．（2021·巴中）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 △ BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）

A．34 B．35 C．33 D．12
13．（2021·湘西）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB 、 CD ，若 CD//BE ， ∠1=20° ，则 ∠2 的度数是　 　.

14．（2022·苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.

（1）求证： △DAF≌△ECF ；
（2）若 ∠FCE=40° ，求 ∠CAB 的度数.
三、矩形折叠问题（求定长）
15．（2022·兰州）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 △CDE 沿DE翻折得到 △FDE ，点F落在AE上．若 CE=3cm ， AF=2EF ，则 AB=　 　cm．

16．（2022·徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝　 　．

17．（2022·沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为　 　．

18．（2022·毕节）矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB=4，BC=6，则CF的长是（　　）

A．3 B．175 C．72 D．185
19．（2021·毕节）如图，在矩形纸片ABCD中， AB=7 ， BC=9 ，M是BC上的点，且 CM=2 .将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点 C′ 处，折痕为MN，则线段PA的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．25
20．（2021·北部湾）如图，矩形纸片 ABCD ， AD：AB=2：1 ，点 E ， F 分别在 AD ， BC 上，把纸片如图沿 EF 折叠，点 A ， B 的对应点分别为 A′ ， B′ ，连接 AA′ 并延长交线段 CD 于点 G ，则 EFAG 的值为（　　）

A．22 B．23 C．12 D．53
21．（2021·徐州）如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 E 折叠，使 C，A 两点重合.点 D 落在点 G 处.已知 AB=4 ， BC=8 .

（1）求证： ΔAEF 是等腰三角形；
（2）求线段 FD 的长.
22．（2021·盐城）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ， E 、 F 分别是边 BC 、 CD 上一点， EF⊥AE ，将 △ECF 沿 EF 翻折得 △EC′F ，连接 AC′ ，当 BE=　 　时， △AEC′ 是以 AE 为腰的等腰三角形.

23．（2022·大连）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A′落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．连接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，则AD的长是　 　cm．

四、四边形折叠压轴问题（求最值）
24．（2022·镇江）如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB=5，AD=7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B′，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB′长的最小值等于　 　．

25．（2021·嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是　 　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为　 　．

26．（2020·凉山州）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将 ΔEBF 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为　 　．

五、剪纸类折叠问题
27．（2021·嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
28．（2021·河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠B=30° ， AC=1 .第一步，在 AB 边上找一点 D ，将纸片沿 CD 折叠，点 A 落在 A′ 处，如图2，第二步，将纸片沿 CA′ 折叠，点 D 落在 D′ 处，如图3.当点 D′ 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 A′D′ 的长为　 　.

29．（2022·六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（　　）

A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
30．（2021·台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（　　）

A．（36 −63 ）cm2 B．（36 −123 ）cm2
C．24cm2 D．36cm2
31．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)， ∠AOB 的度数是　 　.

六、四边形折叠问题（其他）
32．（2022·西藏）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′上，连接DB′．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠ADB′的度数为（　　）

A．50° B．60° C．80° D．90°
33．（2022·雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 　 　.

34．（2021·青岛）如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF．若∠BFE=45°，则BF的长为（　　）

A．5 B．35 C．53 D．35
35．（2022·安顺）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．

（1）求线段AE的长；
（2）求证四边形DGFC为菱形；
（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．





36．（2022·天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ=30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ=t．

（1）如图①，当t=1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（3）若折叠后重合部分的面积为33，则t的值可以是　 　（请直接写出两个不同的值即可）．

答案解析部分
1．【答案】4+23
【解析】【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，
∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，
∴∠BAE=60°，
∵DE= 3 ，
∴AE=BE=AB= DEcos30° =2，
∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF= BF2−AB2 = 23 ，
∴BC=BF+FC= 4+23 ，
故答案为： 4+23 .
【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，求得∠BAE的度数，求出AE＝BE的值，易求得∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，由线段的构成BC=BF+FC可求解．
2．【答案】236
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥AC于点M，

∵将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形 FGDE ，当点G恰好落在线段 AC 上，
∴FG= AB=22 ，∠EFG= ∠BAC=90° ，EF=AE=1，
∴EG= 12+(22)2=3 ，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴△FME∽△GFE ，
∴EMEF=EFEG=MFFG=13 ，
∴EM=13EF = 13 ， MF=13FG=232 ，
∴AM=AE+EM= 43 ，
∴AF= AM2+MF2=(43)2+(232)2=236 .
故答案是： 236 .
【分析】过点F作FM⊥AC于点M，根据折叠的性质可得FG= AB=22 ，∠EFG= ∠BAC=90° ，EF=AE=1，由勾股定理求出EG=3，证明△FME∽△GFE，可得EMEF=EFEG=MFFG=13，从而求出EM、MF、AM的长，利用勾股定理求出AF即可.
3．【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有 AC=BCtan∠A=1tan30∘=3 ，
∴CE=AC=3
故答案为：3.
【分析】根据内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=CD=BD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠DCA，根据翻折的性质可得∠DCA=∠DCE，CE=AC，由同角的余角相等可得∠A=∠BCE，则∠A=∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，根据三角函数的概念可得AC，据此可得CE.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6
∴AB= AC2+BC2=62+82=10 ，
∵S△ABC＝ 12 ×AB×CN＝ 12 ×AC×BC
∴CN＝ 245 ，
∵AN＝ AC2−CN2=82−(245)2=325 ，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝ 245 ，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝ 325 - 245 = 85 ．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB=10，再求出MN＝CN＝ 245 ，最后计算求解即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得x=136
即AE=136
故答案为：A
【分析】根据折叠的性质求出CE= DE， ∠C=∠CDE，再求出∠ADE = 90°，最后列方程求解即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵∠AFD=∠BFG，
∴△AFD∽△BFG，
∴DFFG=AFBF，即14FG=168，
∴FG=7，
∵AD=10，DF=14，BF=8，
∴AB=32，
∴AC=32，
∴CG=AC−AF−FG=32−16−7=9；
故答案为：C.
【分析】证明△AFD∽△BFG，可得DFFG=AFBF，据此求出FG，根据CG=AC−AF−FG即可求解.
7．【答案】6
【解析】【解答】解：∵已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D，
∴BD=DB′=12BB′，AD⊥BC.
∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB'于点P，
∴AM=DM，AN=ND，
∴MN⊥AD，
∴MN∥BC.
∵AM=DM，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MP=12DB′，MN=12DC.
∵BC=12，BD+DC=CB′+2BD=BC，
∴MP+MN=12DB′+12DC=12(DB′+DB′+B′C)=12BC=6.
故答案为：6.
【分析】根据折叠的性质可得BD=DB′=12BB′，AD⊥BC，AM=DM，AN=ND，推出MN为△ADC的的中位线，得到MP=12DB′，MN=12DC，由线段的和差关系可得BD+DC=CB′+2BD=BC，则MP+MN=12DB′+12DC=12(DB′+DB′+B′C)=12BC，据此计算.
8．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∠EAC＝ 12 ∠BAC＝25°，
∵P与E重合，
∴D在AB边上，AE⊥CD，
∴∠ACD＝65°，
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°．
（2）解：①如图1，当点P在线段BE上时，

∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，
又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∴90°－α＋β＝40°＋α，
∴2α－β＝50°．
②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，

∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，
又∵∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α
＝40°＋α＋β，
∴90°－α＝40°＋α＋β，
∴2α＋β＝50°．
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据α＝∠ACB－∠ACD，代入计算求出其结果.
（2）分情况讨论：当点P在线段BE上时，根据∠ADC＝∠ACD＝90°－α，利用三角形的内角和定理可证得∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，据此可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，可得到∠ADC＝∠ACD＝90°－α；再证明∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系.
9．【答案】（1）解：如图①，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，

∵CD 是斜边 AB 上的中线， AB=a ，
∴CD=12AB=12a ．
（2）解：四边形 ADFC 是菱形．
理由如下：
如图②∵DF⊥BC 于点 G ，

∴∠DGB=∠ACB=90° ，
∴DF//AC ；
由折叠得， DF=DB ，
∵DB=12AB ，
∴DF=12AB ；
∵∠ACB=90° ， ∠A=60° ，
∴∠B=90°−60°=30° ，
∴AC=12AB ，
∴DF=AC ，
∴四边形 ADFC 是平行四边形；
∵AD=12AB ，
∴AD=DF ，
∴四边形 ADFC 是菱形．
（3）解：如图③，点 F 与点 D 在直线 CE 异侧，

∵DF⊥AB ，
∴∠BDF=90° ；
由折叠得， ∠BDE=∠FDE ，
∴∠BDE=∠FDE=12∠BDF=12×90°=45° ；
如图④，点 F 与点 D 在直线 CE 同侧，

∵DF⊥AB ，
∴∠BDF=90° ，
∴∠BDE+∠FDE=360°−90°=270° ，
由折叠得， ∠BDE=∠FDE ，
∴∠BDE+∠BDE=270° ，
∴∠BDE=135° ．
综上所述， ∠BDE=45° 或 ∠BDE=135° ．
【解析】【分析】（1）根据CD 是斜边 AB 上的中线， AB=a ， 计算求解即可；
（2）先求出 DF//AC ，再求出 AC=12AB ， 最后证明求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】∵将一矩形纸片沿AB折叠，
∴AD∥BC，∠DAB=∠D1AB，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=36°，
∴∠DAB=144°=∠D1AB，
∴∠D1AD=360°−144°−144°=72°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠DAB+∠ABC=180°，再求出∠DAB=144°=∠D1AB，最后计算求解即可。
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AB//CD，AD=BC=3，AB=CD=5，
∴∠BDC=∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，
∴∠BDF=∠DBF，
∴BF=DF，
设BF=x，则DF=x，AF=5−x，
在Rt△ADF中，32+(5−x)2=x2，
∴x=175，
∴cos∠ADF=3175=1517，
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠A=90°，AB∥CD，AB=CD=5，AD=BC=3，易得∠BDC=∠DBF，根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，进而可推出BF=DF，设BF=x，则DF=x，AF=5-x，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x，接下来根据三角函数的概念进行计算即可.
12．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： OE=BE2−OB2=6 ，
∴AE=OA−OE=4 ，
设 CD=DE=x ，则 AD=AC−CD=8−x
在直角三角形ADE中： AD2+AE2=DE2 ，
∴(8−x)2+42=x2 ，
解得 x=5 ，
∴DE=5 ，
∵∠DEB=90°，
∴tan∠DBE=DEBE=510=12 ，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质以及点C的坐标可得BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，由勾股定理求出OE，进而得到AE的值，设CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt△ADE中，应用勾股定理可求得x的值，得到DE的值，然后根据三角函数的概念进行求解.
13．【答案】40°
【解析】【解答】解：如图所示：

∵∠1=20° ，
由折叠的性质可得 ∠BAF=∠1=20° ，
∵CD//BE ，
∴∠HBA=∠BAF=20° ，
∴∠CHB=∠HAB+∠HBA=40° ，
∵CH//BD ，
∴四边形 CHBD 是平行四边形，
∴∠CHB=∠2=40° ；
故答案为：40°.
【分析】由折叠的性质可得 ∠BAF=∠1=20° ，由平行线的性质可得∠HBA=∠BAF=20°，利用三角形外角的性质可得∠CHB=∠HAB+∠HBA=40°，证明四边形 CHBD 是平行四边形，可得∠CHB=∠2=40°.
14．【答案】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则 AD=BC=EC ， ∠D=∠B=∠E=90° .
在△DAF和△ECF中，
∠DFA=∠EFC，∠D=∠E，DA=EC，
∴△DAF≌△ECF .
（2）解：∵△DAF≌△ECF ，
∴∠DAF=∠ECF=40° .
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90° .
∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50° ，
∵∠FAC=∠CAB ，
∴∠CAB=25° .
【解析】【分析】（1）根据矩形以及折叠的性质可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，根据对顶角的性质可得∠DFA=∠EFC，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DAF=∠ECF=40°，根据矩形的性质可得∠DAB=90°，则∠EAB=90°-∠DAF=50°，根据折叠的性质可得∠FAC=∠CAB，据此计算.
15．【答案】35
【解析】【解答】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上， CE=3cm ，四边形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF， AD∥BC ，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= 35 (cm)，
AB=DF= 35 (cm).
故答案为∶ 35 ．
【分析】由折叠及矩形的性质得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，易得AF=2EF=6cm，则AE=AF+EF=9cm，根据矩形的性质可得AB=CD=DF，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC=∠DEF，则AD=AE=9cm，然后在Rt△ADF中，根据勾股定理可得DF的值，据此解答.
16．【答案】43
【解析】【解答】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴DF=CF2−CD2=4，
所以AF=AD−DF=5−4=1，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在Rt△AEF中：
AE2+AF2=EF2，
∴(3−x)2+12=x2，
解得x=53，
∴AE=3−53=43
故答案为：43.
【分析】由折叠的性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质可得CD=AB=3，BC=AD=5，利用勾股定理可得DF，由AF=AD-DF可得AF，设BE=EF=x，则AE=3-x，利用勾股定理可得x，进而可得AE.
17．【答案】213−4或4
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴ΔGHE∼ΔNHE，
∴NHGH=HEHF=NEGF，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若NHGH=12时，则有：HEHF=NEGF=12
∴EH=13EF=43，FH=23EF=83，GF=2NE=4，
由勾股定理得，NH=EH2+NF2=(43)2+22=2313，
∴GH=2NH=4313
∴GM=GN=GH+NH=213，
∴MD=MF=GM-GF=213−4；
②若NHGH=2时，则有：HEHF=NEGF=2
∴EH=23EF=83，FH=13EF=43，GF=12NE=1，
由勾股定理得，NH=EH2+NF2=(83)2+22=103，
∴GH=12NH=53
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=5−1=4
综上，MD的值为213−4或4．
【分析】先求出ΔGHE∼ΔNHE，再分类讨论计算求解即可。
18．【答案】D
【解析】【解答】解：连接BF，与AE相交于点G，如图，

∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE
∴△ABE与△AFE关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=12BC=3
∴AE=AB2+BE2=42+32=5
∵sin∠BAE=BEAE=BGAB
∴BG=BE⋅ABAE=3×45=125
∴BF=2BG=2×122=245
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°2=90°
∴FC=BC2−BF2=62−(245)2=185
故答案为： D.
【分析】连接BF，与AE相交于点G，根据折叠的性质可得BE=FE，BG=FG=12BF，根据中点的概念可得BE=CE=3，利用勾股定理可得AE，根据三角函数的概念可得BG，由BF=2BG可得BF，根据等腰三角形的性质可得∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，则∠BFC=90°，然后利用勾股定理计算即可.
19．【答案】B
【解析】【解答】连接PM

∵矩形纸片ABCD中， AB=7 ， BC=9 ，
∴CD=7
∵CM=2
∴BM=7
∵折叠
∴CD=PC′=7 ， ∠C′=90°=∠B
∴BM=PC′=7
∵PM=PM
∴Rt△PBM≅Rt△PC′M(HL)
∴CM=C′M=PB=2
∴PA=AB−PB=5
故答案为：B.
【分析】连接PM，由矩形的性质可得CD=AB=7，BM=7，由折叠可得 CD=PC′=7 ，∠C′=90°=∠B， 即得BM=PC′=7，证明 Rt△PBM≅Rt△PC′M(HL)，可得
CM=C′M=PB=2，利用PA=AB-PB即可求出结论.
20．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，

∵点 A ， B 的对应点分别为 A′ ， B′ ，
∴EA=EA′ ， FB=FB′ ，
∴EF是AA＇的垂直平分线.
∴∠AOE=90°.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°.
∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，
∴∠AEO=∠AGD.
∵FH⊥AD，
∴∠FHE＝∠D＝90°.
∴△EFH∽△GAD.
∴EFAG=FHAD .
∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFH是矩形.
∴FH＝AB.
∴EFAG=FHAD=ABAD=12=22 ；
故答案为：A.

【分析】过点F作FH⊥AD于点H，利用折叠的性质可证得EA＇=AE，FB=FB＇，同时可证得EF是AA＇的垂直平分线，可得到∠AOE=90°；利用矩形的性质去证明∠AEO=∠AGD，利用垂直的定义可证得∠FHE＝∠D＝90°；再利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得△EFH∽△GAD，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用矩形的性质可得到FH=AB，由此可求出EF与AG的比值.
21．【答案】（1）证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形
∴ AD//BC
∴ ∠FEC=∠AFE
因为折叠，则 ∠FEC=∠AEF
∴∠AEF=∠AFE
∴ ΔAEF 是等腰三角形
（2）解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形
∴AD=BC=8，CD=AB=4 ， ∠D=90°
设 FD=x ，则 AF=AD−x=8−x
因为折叠，则 FG=x ， AG=CD=4 ， ∠G=∠D=90°
在 Rt△AGF 中
FG2=AF2−AG2
即 x2=(8−x)2−42
解得： x=3
∴ FD=3
【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得∠FEC=∠AFE，由折叠可得∠FEC=∠AEF，从而得出
∠AEF=∠AFE，利用等腰三角形的判定即证结论；
（2）由矩形的性质可得AD=BC=8，CD=AB=4 ， ∠D=90°，设 FD=x ，可得AF=AD−x=8−x， 由折叠可得FG=x ， AG=CD=4 ， ∠G=∠D=90°，在 Rt△AGF 中，由FG2=AF2−AG2可得关于x的方程，求解即可.
22．【答案】78 或 43
【解析】【解答】解：当 AE=EC′ 时，设 BE=x ，则 EC=4−x ，
∵△ECF 沿 EF 翻折得 △EC′F ，
∴EC=EC′=4−x ，
在Rt△ABE中由勾股定理可得： AE2=BE2+AB2 即 (4−x)2=x2+32 ，
解得： x=78 ；
当 AE=AC′ 时，如图所示，过A作AH垂直于 EC′ 于点H，

∵AH⊥ EC′ ， AE=AC′ ，
∴EH=C′H ，
∵EF⊥AE ，
∴∠C′EF+∠AEC′=90° ， ∠BEA+∠FEC=90°
∵△ECF 沿 EF 翻折得 △EC′F ，
∴∠C′EF=∠FEC ，
∴∠BEA=∠AEH ，
在△ABE和△AHE中 ∠B=∠AHE∠AEB=∠AEHAE=AE ，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE=HE ，
∴BE=HE=HC′ ，
∴BE=12EC′
∵EC=EC′ ，
∴BE=12EC ，
∴BE=13BC=43 ，
综上所述， BE=78或43 ，
故答案为： 78或43
【分析】由等腰三角形的性质分两种情况①当 AE=EC′ 时，②当 AE=AC′ 时，据此分别解答即可.
23．【答案】53
【解析】【解答】解：如下图所示，设A′E交BM于点O，连接AO，

∵点E是中点，
∴在Rt△ABM和 Rt△A′BM中，AO=OM=OB，OA′=OB=OM，
∴∠OAE=∠OBE，∠OBA′=∠OA′B ，
∵∠OBE=∠OBA′，
∴∠OAE=∠OA′B ，
∵∠OAE+∠AOE=90°，∠OA′B+∠OA′M=90°，
∴∠AOE=∠OA′M，
∴AO//A′M，
∵AM//OA′
∴四边形AOA′M是平行四边形，
∴AM=OA′
∴AM=AO=OM，
∴△AOM是等边三角形，
∴∠AMO=∠OMA′=60°
∴tan∠AMO=tan60°=ABAM
∴AM=23，
∵MF⊥BM，∠OMA′=60°，
∴∠A′MF=30°，
∴∠DMF=180°−150°=30°，
∵DF=12AB=3，
∴MD=DFtan30°=33，
∴AD=AM+MD=53，
故答案为：53．
【分析】先求出四边形AOA′M是平行四边形，再求出∠A′MF=30°，最后求解即可。
24．【答案】2
【解析】【解答】解：∵将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B' ，
∴EB=EB′ ，
而 B′E≥AE+AB′ ，
当E点与A点重合时， EB′=AB=AB′=5 ，此时DB'的长最小，
∴DB′=AD−AB′=AD−AB=7−5=2 ．
故答案为：2.
【分析】根据折叠的性质可得EB=EB′，当E与A重合时，EB′=AB=AB′=5，此时DB′的长最小，然后根据DB′=AD-AB′=AD-AB进行计算.
25．【答案】3+12；(1+32)π−1−3
【解析】【解答】解：如图1，过点B作BH⊥AC于H点，

∵∠BAC＝30°，
∴AH=ABcos30°=2×32=3，BH=ABsin30°=2×12=1，
∵∠BCH = 45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴CH=BH=1，
∴ AC=AH+CH=A'C=1+3，
当CA'⊥AB时，CK最短，而A'C=AC为定值，则点A'到直线AB的距离最大，
设CA'交AB的延长线于K，
在Rt△ACK中，
CK=ACsin30°=12（1+3）=1+32，
∴A'K = A'C -CK= 1+3-1+32=1+32，
如图2，

当点P到达点B时，线段A' P扫过的面积=S扇形A'CA-2S△ABC
=90π1+32360-2×12×（1+3）×1
=(1+32)π−1−3 ，
故答案为： 3+12 ，(1+32)π−1−3 .
【分析】先找出点A′到直线AB距离的最大值点，如图1，过点B作BH⊥AC于H，根据点到直线的距离最小，结合A'C为定值，则知这时A'K为最大，解直角三角形求出CA'，CK，可得结论；如图2可知，当点P到达点B时，线段A' P扫过的面积=S扇形A'CA-2S△ABC，由此列式计算即可.
26．【答案】10
【解析】【解答】解：如图 1 ，连接 ED,PD,

图 1
则 EP+PD ＞ ED ，
∵EP=BE=3 为定值，
∴ 当 P 落在 ED 上时， PD 最短，
如图 2 ，连接 ED ，

图 2
由勾股定理得： ED=AE2+AD2=13,
∴PD=ED−PE=13−3=10.
即 PD 的最小值为：10
故答案为：10
【分析】如图 1 ，连接 ED,PD, 利用三角形三边之间的关系得到 PD 最短时 P 的位置，如图 2 利用勾股定理计算 ED ，从而可得答案．
27．【答案】D
【解析】【解答】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，

由折叠的性质可知CA = AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴AB=BD=AC=CD，
∴四边形BACD是菱形，
故答案为：D.
【分析】对折即根据轴对称得到的图形，由对折的性质即可得出CA=CB，最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，从而得出AB=BD=AC=CD，根据菱形的判定定理即可判断.
28．【答案】12 或 2−3
【解析】【解答】解：当 D′ 落在 AB 边上时，如图（1）：

设 DD′ 交 AB 于点 E ，
由折叠知： ∠EA′D=∠A=60° ，
AD=A′D=A′D′ ， DD′⊥A′E ， A′C=AC
∵∠ACB=90° ， ∠B=30° ， AC=1
∴AB=2，BC=3
设 AD=x ，则在 Rt△A′ED 中， A′E=12x
在 Rt△ECB 中， EC=12BC=32
∵A′C=AC
∴12x+32=1
即 x=2−3 .
当 D′ 落在 BC 边上时，如图（2）

因为折叠， ∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°，
∴ A′D′=12A′C=12A′B，A′C=A′B=AC=1
∴AD=A′D′=12 .
故答案为： 12 或 2−3
【分析】当D′落在AB边上时，设DD′交AB于点E，由折叠的性质得∠EA′D=∠A=60°，AD=A′D=A′D′，A′C=AC，然后在△ABC中可得AB、BC的值，设AD=x，在Rt△A′ED中可得A′E，在Rt△ECB中，表示出EC，然后根据A′C=AC就可求得x；当D′落在BC上时，由折叠的性质得∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°，然后求出A′D′、A′C，据此可得AD.
29．【答案】C
【解析】【解答】解：∵对折两次，沿着45°角的虚线展开，
∴得到的四边形的四个角是直角，且对角线互相垂直，
∴剪下的图形展开后可得到正方形.
故答案为：C.
【分析】观察图形，可知对折两次，沿着45°角的虚线展开，得到的四边形的四个角是直角，且对角线互相垂直，利用正方形的判定方法，可得剪下的图形展开后的形状.
30．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点C作 CF⊥MN ，过点B作 BE⊥MN ，
，
∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴∠PAC=∠α=60° ，
∴∠EAB=∠PAB=30° ，
∴∠BAC=90° ， AB=BEsin∠EAB=6cm ， AC=CFsinα=23cm ，
∴S△ABC=12AB⋅AC=63 ，
∴S阴=S矩形−S△ABC=12×3−63=(36−63)cm2 ，
故答案为：A.
【分析】过点C作CF⊥MN，过点B作BE⊥MN，利用折叠的性质可求出∠PAC、∠EAB、∠PAB的度数，利用解直角三角形求出AB，AC的长；再求出△BAC的面积，根据阴影部分的面积=矩形的面积减去△ABC的面积，由此可求出阴影部分的面积.
31．【答案】45°
【解析】【解答】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
∠AOB=22.5°×2=45°
故答案为：45°

【分析】根据图中折叠的特点，角是对称折叠，故∠AOB=45°。
32．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，
∴∠BAE=∠B'EA=50°，AB'=AB，
∴∠BAB'=100°，AB'=AD，
∴∠DAB′=20°，
∴∠AB′D=∠ADB′=（180°-20°）÷2=80°.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质得∠BAD=∠C=120°，AB=AD，由折叠性质得∠BAE=∠BAE=50°，AB′=AB，则∠BAB′=100°，∠DAB′=20°，AB′=AD，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
33．【答案】7.5
【解析】【解答】解：∵ 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，
∴AD=BC=9，AD∥BC，AB=CD=3，∠A=90°，∠EBD=∠CBD，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠FDB=∠FBD，
∴FB=FD，
∴AF=AD−FD=9−FB，
∴FB2=32+(9−FB)2，
解得：FB=FD=5，
∴S阴影=12FD×AB=12×5×3=7.5.
故答案为：7.5.
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=9，AD∥BC，AB=CD=3，∠A=90°，根据折叠的性质可得∠EBD=∠CBD，根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，推出FB=FD，则AF=9-FB，利用勾股定理可得FB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
34．【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC 于H，

由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，
∵∠BFE=45°，
∴∠BFG=90° ，
在Rt△ABH 中，AB=10，∠B=60°，
AH=sinB×AB=sin60°×10=32×10=53 ，
∵AD//BC，
∴∠GAH=∠AHB=90° ，
∴∠GAH=∠AHB=∠BFG=90° ，
∴ 四边形AHFG是矩形，
∴FG=AH=53 ，
∴BF=GF=53 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作AH⊥BC 于H，由折叠知BF=GF，∠BFE=∠GFE=45°，在Rt△ABH中，可求出AH=sinB×AB=53， 再证四边形AHFG是矩形，可得FG=AH=53，即得结论.
35．【答案】（1）解：如图

∵ 四边形 ABCD 是矩形， AB=10 ， AD=8 ，
∴AD=BC=8，DC=AB=10 ， ∠DAB=∠B=90° ，
∵ 将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，顶点 D 恰好落在 AB 边上的点 F 处，
∴CF=CD=10 ，
在 Rt△BCF 中， BF=CF2−BC2=102−82=6 ，
∴AF=AB−BF=10−6=4 ，
设 AE=a ，则 DE=EF=8−a ，
在 Rt△AEF 中， AE2+AF2=EF2 ，
a2+42=(8−a)2 ，
解得 a=3 ，
∴AE=3 ；
（2）证明： ∵ DE=AD−AE=8−3=5 ，
∴tan∠DCE=DECD=510=12 ，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴DC∥GB ，
∴∠EGA=∠DCE ，
∴tan∠EGA=EAGA=12 ，
∵EA=3 ，
∴GA=6 ，
Rt△GAD 中， DG=AG2+AD2=62+82=10 ，
∴FG=GA+AF=6+4=10 ，
∴GD=DC=CF=GF ，
∴ 四边形 DGFC 为菱形；
（3）解： ∵ ∠DMN=∠DCM ，设 DN=x ， △DMN 是直角三角形
设 ∠DMN=∠DCM=α
由（2）可得 tan∠DCM=12
∴tan∠DMN =12
①当 ∠DNM=90° 时，如图，

∴DN=12NM ， ∠GNM=90° ，
∵GD=CD
∴∠DGM=∠DCM=α
∴∠NMG=90°−α
∴∠DMG=90°−α+α=90°
∵DG=DC=10
∵tan∠DGM=tanα=12
∴GN=2NM
∴10−x=2×2x
解得 x=2 ；
②当 ∠NDM=90° 时，
同理可得 DN=12DM，DM=12GD
∴ND=14DG=52

综上所述， ND=2 或 2.5
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质求出BC和CD长，根据折叠的性质求出CF长，在 Rt△BCF 中，根据勾股定理求出BF，则可得出AF长，设 AE=a ，在Rt△AEF中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
(2)根据(1)的结论分别求得GF、DG，根据三角函数定义和矩形的性质求出EA和GA，在Rt△GAD 中，根据勾股定理求出DG长，再求出GF长，从而得出GD=DC=CF=GF ，根据四边相等的四边形是菱形即可得出结论；
(3)设 DN=x，设 ∠DMN=∠DCM=α，利用(2)的结果求出 tan∠DCM=12，然后分两种情况讨论，即①∠DNM = 90°，②∠NDM=90°，分别根据解直角三角形求解即可.
36．【答案】（1）解：在Rt△POQ中，由∠OPQ=30°，得∠OQP=90°−∠OPQ=60°．
根据折叠，知△PO′Q≌△POQ，
∴O′Q=OQ，∠O′QP=∠OQP=60°．
∵∠O′QA=180°−∠O′QP−∠OQP，
∴∠O′QA=60°．
如图，过点O′作O′H⊥OA，垂足为H，则∠O′HQ=90°．

∴在Rt△O′HQ中，得∠QO′H=90°−∠O′QA=30°．
由t=1，得OQ=1，则O′Q=1．
由QH=12O′Q=12，O′H2+QH2=O′Q2
得OH=OQ+QH=32，O′H=O′Q2−QH2=32．
∴点O′的坐标为(32，32)．
（2）∵点A(3，0)，
∴OA=3．
又OQ=t，
∴QA=OA−OQ=3−t．
同（Ⅰ）知，O′Q=t，∠O′QA=60°．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB=90°．
在Rt△EAQ中，∠QEA=90°−∠EQA=30°，得QA=12QE．
∴QE=2QA=2(3−t)=6−2t．
又O′E=O′Q−QE，
∴O′E=3t−6.其中t的取值范围是2 （3）3，103．（答案不唯一，满足3≤t<23即可）
【解析】【解答】解：(2)如图，当点O′与AB重合时，OQ=O′Q=t，∠AQO′=60°，

则∠AO′Q=30°，
∴AQ=12t，
∴t+12t=3，
解得t=2，
∴t的取值范围是2 (3)

3，103．（答案不唯一，满足3≤t<23即可）
当点Q与点A重合时，AO′=3，∠DAO′=30°，
∴AD=AO′cos30°=23，
则S△ADP=12×23×3=33.
∴t=3时，重合部分的面积是33，
从t=3之后重合部分的面积始终是33，
当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝23，
由于P不能与C重合，故t<23，
所以3≤t<23都符合题意．
【分析】（1）过点O′作O′H⊥OA，垂足为H，解直角三角形求出QH=12O′Q=12，再利用勾股定理求出O′H=O′Q2−QH2=32即可；
（2）解直角三角形求出QE，可得结论；
（3）当点Q与点A重合时，S△ADP=12×23×3=33，所以从t=3之后重合部分的面积始终是33，再当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝23，从而得解。