浙江省宁波七中教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列事件中，属于不可能事件的是(    )

A. 是实数，则 B. 人在月球上所受的重力比在地球上小
C. 任意选择某电视频道，正在播放动画片 D. 一个三角形三个内角的和小于

2.    若，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.    将抛物线向左平移个单位后，得到新抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

4.    如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(    )

A.
B.
C. 且
D. 或

5.    如图，是等边外接圆上的点，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，在中，，，为边上的一点，且若的面积为，则的面积为(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.    如图是装了液体的高脚杯示意图数据如图用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径(    )

A.  B.  C.  D.

8.    小明给出如下题目：二次函数的图象如留所示，点坐标为，给出下列结论：
   ；
   ；
   当时，；
   ；
   ：：：：．
   其中正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9.    如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点，顺时针旋转的图形经过取舍而成的，其中顶点的对应点为，点，是两条抛物线的两个交点，直线为“心”形对称轴，点，，是抛物线与坐标轴的交点，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是______ ．
12. 在，，，，这五个数中任取两数，，则二次函数的顶点在坐标轴上的概率为______．
13. 如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足：______．

14. 如图，有一块直角三角形余料，，现从中切出一条矩形纸条，其中，在上，点在上，点在上，若，，则纸条长为______．

15. 如图，中，弦，沿折叠劣弧交直径于，，则直径______．

16. 如图，线段的长为，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在一个不透明的布袋里装有个球，其中个白球，个红球，它们除颜色外其余都相同．
    若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；
    若摸出个球，记下颜色后不放回，再摸出个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率要求画树状图或列表
18. 本小题分
    如图，已知它们依次交直线，，于点，，和点，，．
    如果，，，求的长．
    如果：：，，线段是线段和线段的比例中项，求的值．
19. 本小题分
    已知二次函数图象的顶点是，且过点
    求二次函数的表达式．
    求当时，函数的最大值．
    求当取何值时，．
20. 本小题分
    如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．保留作图痕迹
    
    在图中的圆上找一点不与点重合，使；
    在图中的圆上找一点，使平分弧；
    在图中的圆上找一点，使平分．
21. 本小题分
    如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为点，连结交于点，连结，，．
    求证：≌；
    若，，求的长．

22. 本小题分
    某公司电商平台，在年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量件是关于售价元件的一次函数，如表仅列出了该商品的售价，周销售量，周销售利润元的三组对应值数据．

求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
若该商品进价元件，售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润；
因疫情期间，该商品进价提高了元件，公司为回馈消费者，规定该商品售价不得超过元件，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足中的函数关系，若周销售最大利润是元，求的值．

23. 本小题分
    如图，折叠矩形纸片，具体操作：点为边上一点不与点、重合，把沿所在的直线折叠，点的对称点为点；将沿所在直线折叠，折痕所在的直线交于点，点的对称点为点．
    
    求证：∽．
    若，，
    点在移动的过程中，求的最大值；
    如图，若点恰在直线上，连接，求的面积．
24. 本小题分
    定义：中，，则称为半余三角形，叫做半余角．
    如图，中，是直径，求证：为半余三角形．
    下列说法正确的是：
    半余三角形一定是钝角三角形；
    直角三角形不可能是半余三角形；
    任何直角三角形都能分割成两个半余三角形．
    如图，中，是直径，，，点是线段上一点不与点、点重合，若为半余三角形，求的长．
    如图，点是直径上一点，为半余三角形，且为半余角，过点作交于点，若的面积为面积的倍，求的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是实数，则，属于必然事件，故A不符合题意；
B、人在月球上所受的重力比在地球上小，属于不可能事件，故B不符合题意；
C、任意选择某电视频道，正在播放动画片，属于随机事件，故C不符合题意；
D、一个三角形三个内角的和小于，不可能事件，故D符合题意；
故选：．
直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
本题考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据，得出，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，根据已知条件得出是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
，
故，向左平移个单位后，
得到新抛物线的解析式为：．
故选：．
直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图象得：对称轴是，其中一个点的坐标为，
图象与轴的另一个交点坐标为．
利用图象可知：
的解集即是的解集，
或．
故选：．
利用二次函数的对称性，可得出图象与轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集．
此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
 

5.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理的应用，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【解答】
解：，，
∽，
，即，
解得的面积为，
的面积为：．
故选：．
【分析】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
证明∽，根据相似三角形的性质求出的面积为，计算即可．  

7.【答案】 

【解析】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，

，
∽，即相似比为，
，
，，
，
故选：．
高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
即抛物线抛物线与轴有个交点，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，故错误；
抛物线与轴的另一个交点坐标为，开口向下，
当时，，故正确；
，，
，故错误；
抛物线经过点，
，
，
，
，
，
：：：：，故正确．
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则根据判别式的意义可对进行判断；利用对称轴即可对进行判断；根据图象即可对进行判断；由，，即可对进行判断；由，，即可求得，即可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于点，连接，如图，
点是的重心，
点为的中点，，
点是的重心，
点在中线上，
，
，，
∽，
，
即，
是的重心，
，，
，，
∽，
，
，
．
故选：．
连接，延长交于点，连接，如图，利用三角形重心的定义和性质得到点为的中点，，则可判断点在中线上，且，再证明∽得到，直接证明∽得到．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了相似三角形的判定与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，
抛物线和它绕着原点，顺时针旋转的图形交于、两点，
，、关于直线对称，
，
，
，
设，则，
，
，
抛物线经过点，
，
解得：或，
 ，舍去，
直线的解析式为：，
联立，
解得：，，
点坐标是：，
．
故选：．
如图，连接，过点作于点，设，则，可得，再求出直线解析式，联立直线和抛物线，求出点的坐标，可求得．
本题考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，两点之间距离公式，直角三角形性质，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和方程思想．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角，首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和除以外角度数即可．
【解答】
解：一个正多边形的每个内角为，
它的外角为，
，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中二次函数的顶点在坐标轴上的结果数为，
所以二次函数的顶点在坐标轴上的概率．
故答案为．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再利用二次函数的性质得到二次函数的顶点坐标为，然后根据坐标轴上点的坐标特征可判断顶点在坐标轴上的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

13.【答案】： 

【解析】解：如图：

由题意得：
，矩形∽矩形，
，
，
，
：：，
：：，
故答案为：：．
根据题意可得，矩形∽矩形，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意得：∽，
，即，
解得．
故答案为：．
根据题意推知∽，由该相似三角形的对应边成比例求得的长度即可．
本题考查了相似三角形的应用和矩形的性质．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，过作于，

，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
连接，，过作于，由折叠的性质得到，根据圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，通过∽，得到，得到，由勾股定理得到，列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，

，
和是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，
，
，
由题意知点在圆上运动，若圆交于点，则点运动到点时，的值最小，
此时最小值为．
的最小值为．
故答案为：．
连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，证明∽，由比例线段求出，由题意知点在圆上运动，若圆交于点，则点运动到点时，的值最小，由图形可求出答案．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；

树状图如下所示：

两次摸出的球恰好颜色相同的概率为． 

【解析】直接利用概率公式计算可得；
列举出所有情况，看两个球都颜色相同的情况数占总情况数的多少即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
 

18.【答案】解：，
，即，
解得：；
，
，即，
解得；，
，
． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出；
根据平行线分线段成比例定理求出，再根据比例中项的概念计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、比例中项的概念，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：由于该二次函数的顶点坐标为，
故设这个二次函数的表达式为，将点代入，得
，
解得，
所以所求二次函数的表达式为或
当，，
当时，函数的最大值是；
令，则，
解得或，
抛物线开口向下，
当时，． 

【解析】由于本题给出了二次函数的顶点坐标，故可设这个二次函数的表达式为，再将点代入求出值，进而求得函数表达式；
根据二次函数的性质即可求解；
求得抛物线与轴的交点，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求，使；

如图，作交于点，点即为所求，使平分弧；
如图，作交于点，点即为所求，使平分． 

【解析】根据网格即可在图中的圆上找一点，使；
根据网格即可在图中的圆上找一点，使平分弧；
根据网格即可在图中的圆上找一点，使平分．
本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】证明：是中点，
，
是的直径，且，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，连接，设的半径为，

中，，即，
中，，即，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
或舍去，
． 

【解析】首先利用已知条件和垂径定理证明，然后根据证明≌；
连接，设的半径为，由列出关于的勾股方程就能求解．
此题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：设，由题意有：
，
解得，
所以，关于的函数解析式为；
由，
又由表知，把，，代入上式可得关系式
得：，
，
，
所以售价时，周销售利润最大，最大利润为；
由题意，
其对称轴，
时，随的增大而增大，
只有时周销售利润最大，
，
． 

【解析】设，把，和，，代入可得解析式．
根据利润售价进价数量，得，把，，代入上式可得关系式，顶点的纵坐标是有最大值．
根据根据利润售价进价数量，得，其对称轴，时，随的增大而增大，只有时周销售利润最大，即可得．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，
 

23.【答案】证明：如图中，

由折叠可知，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
∽．

解：设，
∽，
，
，
，
，
时，有最大值，最大值为．

如图中，连接．

由折叠可知，，，，
，
，
，
，
点在直线上，
，，
，
，
，
，
由折叠可知，垂直平分线段，
． 

【解析】根据两角对应相等两三角形相似证明即可；
设，证明∽，推出，可得利用二次函数的性质求解即可；
如图中，连接解直角三角形求出，，，，由翻折的性质可知垂直平分线段，利用面积法可得．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决问题．
 

24.【答案】证明：如图，

作于，
，
，
，
，
是半余三角形；
解：正确，理由如下：
因为等边三角形是半余三角形，
所以不正确，
因为等腰直角三角形是半余三角形，
所以不正确，
因为直角三角形斜边上中线分成的两个等腰三角形是半余三角形，
所以正确；
解：如图，

是的直径，
，
，，，
，
由上可知，当点图中是的中点时，是半余三角形，
此时，
当时，图中，是半余三角形，
此时∽，
，
，
，
综上所述：或；
解：如图，

设，
作于，作于，
，
，
为半余三角形，且为半余角，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
化简得，
，
，
或，
或． 

【解析】作，可证得平分，且，进而得出结论；
可举出反例，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，从而得出结果；
只需是等腰三角形即可；
作于，作于，设，则，，可推出两个三角形的面积比等于，根据表示出，进而解出，进而求得结果．
本题考查了新定义的理解解题，转化为等腰三角形性质和分类等问题，同时考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是转化题意，化成学过的知识．