人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质练习题

12.3 角的平分线的性质

1．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

2．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若，，则BCP的面积为（    ）

A．16 B．20 C．40 D．80

3．（2022·浙江杭州·八年级期末）下列语句中是命题的有（    ）

①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

②作点A关于直线l的对称点

③三边对应相等的两个三角形全等吗？

④角平分线上的点到角两边的距离相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2022·浙江丽水·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（    ）

A．对应角相等的两个三角形是全等三角形．

B．三个内角之比为3:4:5的三角形是直角三角形．

C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离．

D．角平分线上的点到角两边的距离相等．

5．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，，点E是AD上的点，连接BE，CE，且，BE平分．以下结论中：①E是AD中点，②，③，④，正确的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（    ）

A．边角边，全等三角形对应角相等

B．角边角，全等三角形对应角相等

C．边边边，全等三角形对应角相等

D．斜边直角边，全等三角形对应角相等

7．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（    ）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA

8．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为_____．

9．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是______．

10．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 _____．

11．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为______．

12．（2022··八年级期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E和F，若PE=3，则PF=_____.

13．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 _____．

14．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，在中，是的平分线，延长至点，使，连接，若，的面积为1，则的面积是______．

15．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）平面直角坐标系xOy中有点P（x，y），实数x，y，m满足以下两个等式：2x﹣3m＋1＝0，3y﹣2m﹣16＝0．

(1)当x＝1时，点P到x轴的距离为        ；

(2)若点P落在一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；

(3)当x≤4＜y时，求m的最小整数值．

16．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，已知ABC．

(1)请用直尺和圆规作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）的条件下，若，，求∠BDA的度数．

参考答案：

1．C

【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，求得△OPE的OE边上的高，即可求得△OPE的面积．

如图，作PH⊥OA于点H，

∵OP平分∠AOB，P到OB的距离是2，

∴PH=2

∴△OPE的面积为，

∴△OPE的面积为4，

故选：C

本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握定理的内容是解答此题的关键所在．

2．B

【解析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4，进而根据三角形面积公式求解即可．

解：过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，

∴PA=PE，PD=PE，

∴PE=PA=PD，

∵PA+PD=AD=8，

∴PA=PD=4，

∴PE=4．

故选：B．

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

3．B

【解析】根据命题的定义分别进行判断即可．

解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题；

②作点A关于直线l的对称点A'，不是命题；

③三边对应相等的两个三角形全等吗？不是命题；

④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题；

故选：B．

本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

4．D

【解析】根据全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质进行判断即可．

A：对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项错误不符合题意；

B：设三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，

则三个内角分别为：45°、60°、75°，

∴三个内角之比为3:4:5的三角形不是直角三角形，本选项错误不符合题意；

C：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项错误不符合题意；

D：角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确符合题意；

故选：D．

本题考查的是命题的真假判断，全等三角形的判定、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质，熟记这些性质是解题的关键．

5．B

【解析】延长BE交CD的延长线于点F，证明∆ABE≅∆DFE，得出AE=DE，AB=DF，即可判断①和②正确；过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，由角平分线的性质定理即可判断③④．

解：延长BE交CD的延长线于点F，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠F，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠F=∠CBE，

∴CF=BC，

∵∠BEC=90°，

∴CE⊥BF，

∴∠BCE=∠FCE，BE=EF，

∵∠AEB=∠FED，

∴∆ABE≅∆DFE，

∴AE=DE，AB=DF，故①正确；

∵CF=CD+DF，

∴BC=CD+AB，故②正确；

∵∠EDC≠∠ECD，

∴ED≠EC，故③错误；

过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，

∵CE平分∠BCD，

∴EM=EN，

∴，故④正确；

故选：B．

题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．

6．C

【解析】结合题意，根据角平分线尺规作图、全等三角形的性质分析，即可得到答案．

根据题意，得：，

在和中

∴

∴，即

∴画出OP的依据是：边边边，全等三角形对应角相等

故选：C．

本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图、全等三角形的性质，从而完成求解．

7．B

【解析】利用基本作图和三角形全等的判定方法求解．

解：如图，

由作法得到，，

而为公共边，

所以根据“”可判断，

所以，

即平分．

故选：B．

本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握5种基本作图，也考查了全等三角形的判定．

8．3

【解析】由垂线段最短可知，当PQ与OM垂直的时候，PQ的值最小．

解：由垂线段最短可知，当PQ与OM垂直的时候，

PQ的值最小，

根据角平分线的性质可知，

此时PA=PQ=3．

故答案为：3．

本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段距离最短．

9．32

【解析】过点D作DQ⊥AC，由作法可知CP是角平分线，根据角平分线的性质知DB=DQ=3，再由三角形的面积公式计算即可．

解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，

由作图知CP是∠ACB的平分线，

∵∠B=90°，BD=4，

∴DB=DQ=4，

∵AC=16，

∴S△ACD=•AC•DQ=，

故答案为32．

本题主要考查作图-基本作图，三角形面积，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．

10．48

【解析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质可得OE=OF=OD=4，再由△ABC的面积是：，即可求解．

解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，

∴OE=OD，OD=OF，

即OE=OF=OD=4，

∴△ABC的面积是：

，

故答案为：48.

本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．

11．2

【解析】过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可．

解：过作于，

是边上的高，平分，交于点，

，

，

，

，

故答案为：．

本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．

12．3.

【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到答案．

∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB

 ∴PF=PE=3.

本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．

13．2

【解析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF=DE=8，根据三角形面积公式求出即可．

解：过E作EF⊥BC于F，

∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，

∴DE=EF，

∵S△BCE=×BC×EF=5，

∴×5×EF=5，

∴EF=DE=2，

故答案为：2．

本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出EF=DE=8是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．

14．6

【解析】由角平分线的性质可得DG＝DH，由三角形的面积关系可求解．

解：如图，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，

∵DECD，△BDE的面积为1，

∴S△BCD＝2S△BDE＝2，

∵CD是∠ACB的平分线，DH⊥CB，DG⊥AC，

∴DG＝DH，

∵AC＝2BC，，，

∴S△ACD＝2S△BCD，

∴S△ACD＝4，

∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6，

故答案为：6．

本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键．

15．(1)6

(2)P(10，10)

(3)−1

【解析】（1）当x＝1时，由2x﹣3m＋1＝0可求得m的值，再由3y﹣2m﹣16＝0可求得y的值，从而可得点P的坐标，即可得点P到x轴的距离；

（2）根据角平分线的性质定理及点在第一、三象限的坐标特征可得x=y，从而可得关于x与m的方程组，消去m即可求得x的值，从而可得点P的坐标；

（3）由条件可得用含m的代数式表示x、y的等式，根据不等关系可得关于m的不等式组，解不等式组即可求得m的最小整数值．

(1)

当x＝1时，由2x﹣3m＋1＝0，得

解得m=1

由3y﹣2m﹣16＝0，得

解得y=6

∴点P的坐标为(1，6)

即点P到x轴的距离为6

故答案为：6

(2)

∵点P在第一、三象限的角平分线上，且在一、三象限的点的两个坐标符号相同

∴

∴3x﹣2m﹣16＝0

由消去m，得x=10

∴y=10

∴点P的坐标(10，10)

(3)

由2x﹣3m＋1＝0，3y﹣2m﹣16＝0可得：

由题意得：

解不等式组得：

故不等式组的整数解为：−1，0，1，2，3，最小整数值为−1．

本题考查了点与坐标，角平分线的性质定理，点在各个象限的坐标特征，解二元一次方程组及解一元一次不等式组等知识，灵活运用这些知识是关键．

16．(1)见解析

(2)

【解析】（1）根据尺规作图作角平分线的步骤即可完成；

（2）由三角形内角和定理可求得∠ABC的度数，再由角平分线的性质可得∠DBC的度数，由三角形外角的性质即可求得结果．

（1）

如图

（2）

∵∠A＝100°，∠C＝28°，

∴，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝26°，

∴．

本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握这些性质是关键．