初中数学北师大版八年级上册1 认识无理数教学设计

第二章实数  第一节 认识无理数

教学目标：

1.知道存在非有理数的数或举出一些例证，能说明现阶段学习的这类数满足的基本特征关系；初步阐明非有理数的数与有理数之间的关系（能否表示为整数与分数及其说明的方法）.

2. 能把对有理数的理解（如分类、表示、运算及合理性等）应用到研究新的数的过程中；能通过观察、质疑、实验、归纳和猜想得到存在非有理数的数，并能用分类、归纳或形式化证明的方法清晰的说明.

3. 进一步养成求知意识并坚定对归纳成真的信念.

教学重难点：

重点：1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

难点：1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教法与学法指导：

师生互动主体探究式教学，遵循以学生为主体、教师为主导、发展为主旨的现代教育原则，通过熟悉的现实生活情景，发现现有的有理数是不够用的，发现现有的有理数之外还存在非有理数，引发认知冲突，提出需要学习新的知识．引导学生分类讨论，形成师生与生生互动，体现了数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.

课前准备：

教师：教学设计和教案，多媒体课件，教学过程中与预设生成有别的预案.

学生：准备两个边长为1的正方形，双面胶以及一把小剪刀.

教学过程：

一、创设问题情境,引入新课

教师：（1）勾股定理解决了那个方面的内容？

（2）在使用勾股定理的时候要注意什么问题？

学生：思考、总结并回答问题

教师：生活中的直角三角形非常多，比如在我们常见的方格中.（投影展示）

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC三边的大小关系？

学生：计算并判断有没有线段相等.

教师：我们再来试一试：下面的图形是由5个边长为1的正方形构成的，你能不能再剪两刀的情况下将其拼成一个正方形？

学生：动手试一试，并合作探究，研究分析问题后尝试给出结论，再共同验证结论.

教师：上面问题中的线段AB、BC和试一试中新的正方形的边长是多少？你能算出来吗？

学生：不能，只能得到它们的平方.

教师：这样的数存在吗？是不是我们学过的有理数呢？

设计意图：通过复习勾股定理得到一个大家没有见过的数为新课的引入做好铺垫，同时让学生在感性上先体会无理数的客观存在。

二、合作探究、交流互动

教师：你能不能再找一些这样的数？

学生：思考、交流，并动手验证这样数的存在.拼一个面积为2的正方形。

探究活动：

学生：四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个面积为2的正方形.并展示

设计意图：通过动手操作直观的体会并验证平方等于2的数是客观存在的。

教师：大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.

学生：思考后得出结论：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.

学生：因为，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.

（教师补充：有限小数和无线循环小数都可以写成分数并举例验证）

发现、归纳：任何整数的平方还是整数，任何最简分数的平方还是一个分数，因此，a既不是整数，也不是分数，即a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

引入新课并板书课题“认识无理数”

做一做：

 (1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

(3)b是有理数吗？

教师：参考前面的分析请大家分析一下b的情况

学生：计算、交流后给出结论并互相补充。

根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，

因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.

没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.

因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.

教师：大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

三、巩固训练

1、正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

2、加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？

3、右图是有16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，请分别找出两条长度是有理数的线段和两条不是有理数的线段。

设计意图：能增添知识的趣味性，提高学生的学习积极性。也能进一步让学生感受到无理数的普遍性让学生初步学会辨别有理数和无理数，为后面课程打好基础。

四、总结归纳、收获感悟

教师：我们通过本节科的学习都知道了什么？

学生：

1.通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断一个数是否为有理数.

五、课后作业

课本33页习题2.1第1,2,3题

六、板书设计

课后评价与反思：

1.利用对勾股定理的回顾和应用引入新的数，在引入过程中围绕学生的思考和探究学习进行，穿插学生的探究活动和交流活动等动手操作的过程让学生对知识的生成有直观的感受和认识。同时对勾股定理的回顾对课堂容量偏少也是较好的补充。

2. 本课明显的反映了知识是如何产生，反映了人们的问题意识和思考方式，也反映了数学研究的一般思考和方式方法。学生的学习积极性较高，理解也非常到位，同时也让学生感受到了知识的关联，学习无理数还是会涉及勾股定理。

3.在老师的引导下，依靠教材和老师提供的材料，象科学家发现真理那样，去“发现”知识，从而体验到那种“发现”的兴奋、喜悦、自信和自豪等多种情感，同时有效地训练了他们的直觉思维、探究能力和积极参与意识，这样的课堂就是我所追求的师生共同成长、学生可持续发展的高效课堂！