陕西省安康市2023届高三数学（理）上学期第一次质量联考试题（一模）（Word版附解析）

绝密★启用前

安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷

数学（理科）

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数，数列、立体几何．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i为虚数单位，复数z满足，则（    ）

A．2     B．     C．     D．

2．记集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

3．若，则（    ）

A．     B．     C．     D．

4．设，则成立的一个必要不充分条件是（    ）

A．     B．     C．     D．

5．正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．已知函数，则该函数的图象在处的切线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．记函数的最小正周期为T，若，且的最小值为1．则曲线的一个对称中心为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（    ）

A．18     B．19     C．21     D．22

9．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

10．定义在R上的函数满足对任意的x恒有，且，则的值为（    ）

A．2026     B．1015     C．1014     D．1013

11．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

12．如图，在多面体中，底面为菱形，平面，点M在棱上，且，平面与平面的夹角为，则下列说法错误的是（    ）

A．平面平面                  B．

C．点M到平面的距离为           D．多面体的体积为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知命题，使得，则为______________．

14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______________．

15．已知圆锥的侧面由函数的图象绕y轴旋转一周所得，圆锥的侧面由函数的图象绕直线旋转一周所得，记圆锥与圆锥的体积分别为和，则______________．

16．设等比数列满足，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和______________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分12分）

已知等差数列的前n项的和为，．数列的前n项和为，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，数列的前n项和为，求证：．

19．（本小题满分12分）

已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）若，求外接圆的面积；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

20．（本小题满分12分）

如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，平分，D是上一点，且平面平面．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值．

22．（本小题满分12分）

设向量．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，者存在两个极值点，证明：．

安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷·数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1．B  由，得，所以，故．故选B．

2．B  集合，，所以．故选B．

3．C  由，得，所以．故选C．

4．D  当时，选项A、B不符合题意，对于C选项，因为函数为上的单调递增函数，根据得到，反之亦成立，故为充要条件，故C错误；由可得，又，可得，反之不一定成立．故选D．

5．A  平移到，再连接，则或其补角为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为2，易得，由余弦定理得．故选A．

6．A  因为，所以，解得，所以，所以切线方程为：，即，故选A．

7．C  由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为，所以，所以，又函数的最小值为1，所以，所以，令，所以对称中心为，只有选项C符合题意．故选C．

8．B  由题意设前两站的距离为千米，第二站与第三站之间的距离为千米，…，第n站与第站之间的距离为千米，是等差数列，首项是，公差，则，解得，则站点数一共有19个．故选B．

9．D  由得，设，则．∴A，B，D三点共线，如图所示：

∵与反向共线，，∴，∴，∴．故选D．

10．B  根据得，又，所以，所以，所以．故选B．

11．A  令，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：

若使得函数有3个零点，则．故选A．

12．D  对于A，取的中点G，连接交于N，连接，因为是菱形，所以，且N是的中点，所以且，又，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以，又因为平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；对于B，取的中点H，由四边形是菱形，，则，所以是正三角形，所以，所以，又平面，以A为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，设平面的一个法向量，则即令，得，平面的法向量可取，所以，解得，故B正确；对于C，结合B，所以，则，设平面的一个法向量，则即取，得，所以点M到平面的距离，故C正确；对于D，，故D错误．故选D．

13．

14．4  因为在中，若，所以，所以，即，由正弦定理得，化简得，所以．

15．  当线段绕y轴旋转一周时，围成一个半径为2，高为4的圆锥，其体积为，当线段绕直线旋转一周时，因为点到直线的距离为，此时线段旋转一周围成一个半径为，高为的圆锥，其体积为，所以．

16．114  设等比数列的公比为q，则，解得，故，因为为中在区间中的项的个数，所以当时，；当时，；当时，；当时，；故．

17．解：（1）∵，∴，即，

∴函数的定义域为，

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

又∵在上为增函数，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）设存在实数a，使函数的最小值为0，，

∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以，①

又，②

联立①②解得：，

∴存在实数，使函数的最小值为0．

18．（1）解：设的公差为d，由题意得：解得

所以，

由，得，

又，所以是公比为的等比数列，

所以．

（2）证明：，

．

要证，即证，

因为在上为增函数，且，

所以得证．

19．解：（1）由题知：，由正弦定理可化为，

即，

由余弦定理知，又，故．

设外接圆的半径为R，则，所以，

所以外接圆的面积为．

（2）因为为锐角三角形且，

则即所以．

又由正弦定理，得，

所以．

又，则，

故面积的取值范围是．

20．（1）证明：因为，且平分，所以，

又因为平面平面，且平面平面平面，

所以平面，

又因为平面，所以．

（2）取的中点M，连接，则两两垂直，

所以以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图空间直角坐标系则，

由（1）知平面，所以是平面的一个法向量．

设平面的法向量，

因为，

则

取，则，

因此，

所以二面角的正弦值为．

21．解：（1）由图示得：，

又，所以，所以，

所以．

又因为过点，所以，即，

所以，解得，

又，所以，所以．

（2）根据题意得，

当时，，

令，则，

令，则

，

所以．

因为有三个不同的实数根，则，

所以，

即，所以．

22．（1）解：根据已知得，则

，

若，当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

若，由，得或，由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

若恒成立，所以在上单调递增．

若，由，得或；由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：由已知得，从而．

当时，恒成立，函数不可能有两个极值点；

当时，有两个根，因为，与都是正数相矛盾，不合题意；

当时，有两个根，因为，且，所以两根均为正数，故有两个极值点，

因为，由知，

因为，

所以等价于，

即．

令，

所以在上单调递减，又，所以当时，，

故成立．