初中数学湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质背景图ppt课件

课题名

角平分线的性质定理及其逆定理

教学目标

1.知识与技能：理解掌握角平分线的两个互逆定理的内涵及相互之间的联系和区别，并能熟练地利用这两个互逆定理解题。

2.过程与方法：通过学生拼图、发现、总结、探究规律等学习，初步学会科学研究的思维方法；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。

3.情感态度和价值观：通过对角平线的两个互逆定理的探究，初步感受事物之间的辩证关系；同时，培养学生刻苦钻研、勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神.

教学重点

角的平分线的两个互逆定理的内涵和联系，理解掌握这两个互逆定理的作用，并能灵活运用。

教学难点

角的平分线的两个互逆定理的作用，并能灵活运用。

教学准备

教师准备：制作《角平分线的性质定理及其逆定理》课件。

学生准备：预习《角平分线的性质定理及其逆定理》，并准备作图工具，剪两个全等的直角三角形。

教学过程

一、 温故知新

1.教师提问：判定两个直角三角形全等有哪此方法？

学生回答：

普通判定方法：①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；④三边分别相等的两个三角形全等（SSS)。

特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

2. 如图，AB=AD, CB⊥AB于点B, CD⊥AD于点D.

求证:∠1=∠2.

分析：由“CB⊥AB于点B, CD⊥AD于点D”可得∠B=∠D=900。而证明要∠1=∠2，只需证明Rt△ABC≌Rt△ADC而证明Rt△ABC≌Rt△ADC，需三个条件：∠B=∠D=900，AB=AD,AC=AC。

证明：∵CB⊥AB于点B, CD⊥AD于点D   ∴∠B=∠D=900

又∵在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD,AC=AC

∴Rt△ABC≌Rt△ADC     ∴∠1=∠2

二、 情境导入

1. 剪两个全等的直角三角形，将一组对应的锐角如图拼在一起，你发现了什么？

发现1：AB与A/B/重合后，变成了∠CAC/的角平分线。

发现2：BC与B/C/相等，即点C到∠CAC/的两边的距离相等。

三、新知讲授

（活动一）:探究——角平分线的性质

1. 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？

分析：由“OC平分∠AOB”可得：∠DOP=∠EOP；由“PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E”可得：∠POD=∠POE=900；又因OP=OP，于是就可证明△ODP≌△OEP，进而得到PD=PE.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB,  ∴∠ODP=∠OEP=900

在△ODP和△OEP中

∵∠ODP=∠OEP,∠DOP=∠EOP,OP=OP,    ∴△ODP≌△OEP,     ∴PD=PE

（活动二）:总结——角平分线的性质

1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

逻辑推理格式：

∵OP是∠AOB的平分线，且PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE

§规律——角平分线性质定理的作用：

证明到角两边的两条垂线段相等常用此定理。

（活动三）:探究——角平分线性质的逆定理

1、教师提问：角平分线性质定理的逆命题是什么？是真命题吗？

学生答：角平分线性质定理的逆命题——角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

2、证明角平分线性质定理的逆定理：

如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，若PD=PE，那么点P在∠AOB的角平分线上吗？

分析：要证明“点P在∠AOB的角平分线上”，只需证明射线OP是∠AOB的角平分线，因而只需证“∠DOP=∠EOP”。而证明“∠DOP=∠EOP”只需通过证明“△PDO≌△PEO”就可得到；而通过“∠PDO=∠PEO=900,PD=PE,OP=OP”这三个条件就可证明“△PDO≌△PEO”。

证明：过点0, P作射线OC.

∵PD⊥OA, PE⊥OB，  ∴∠PDO=∠PEO=900.

又∵在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP,PD=PE,

∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.

∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上。

（活动四）:总结——角平分线性质的逆定理

1.角平分线的性质定理的逆定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

2.逻辑推理格式：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，   且PD=PE

∴点P在∠AOB的平分线上。

§规律——角平分线性质定理的逆定理的作用：

判断一射线是角平分线可用此定理。

（活动五）:举例——典例分析

例1    如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2。

     （1）求证：点B在∠ADC的平分线上；

分析：由“∠BAD=∠BCD=90°”可知AB、CB是点B到∠ADC两边的距离；由“∠1=∠2”可得“AB=CB”；进而可和“点B在∠ADC的平分线上”。

证明：(1)∵在△ABC中∠1=∠2,    ∴BA = BC,

又∵∠BAD=∠BCD=90°，即：BA⊥AD、BC⊥CD

∴点B在∠ADC的平分线上.

2）求证：BD是∠ABC的平分线。

分析：要证明“BD是∠ABC的平分线”只需证明“∠ABD=∠CAD”；而证明“∠ABD=∠CAD”可通过证“Rt△BAD≌Rt△BCD”；通过三个条件“.∠BAD=∠BCD=90°,AB=CB，BD=BD”就可证明“△BAD≌Rt△BCD”。

证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中

∵BA=BC、BD=BD,∠BAD=∠BCD=90° ∴Rt△BAD≌Rt△BCD.

∴∠ABD=∠CBD，                ∴BD平分∠ABC.

三、课堂小测：

1.如图，在直线MN上求作一P点，使点P到∠AOB两边的距离相等。

分析：“在直线MN上求作一P点”说明“点P在直线MN上”；“点P到∠AOB两边的距离相等”说明“点P在∠AOB的平分线上”。因此点P是∠AOB的角平分线与MN的交点。

2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD，

求证：AB=AC。

分析：由“AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F”可得“DE=DF,∠BED=∠CFD=900”。添上“BD=CD”就可以证明“Rt△BED≌Rt△CFD”，进而得到“∠B=∠C”,从而得到“AB=AC”。

证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F

∴DE=DF,∠BED=∠CFD=900。

∵在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DF,BD=CD

∴△BED≌△CFD，  ∴∠B=∠C，∴AB=AC。

四、你的收获：

1、角平分线有两个性质：①一个角的角平分线将这个角分成相等一两份；②角平分线上的点到角的两边的距离相等。。

2.判定一条射线是角平分线也有两种方法：①从角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两份，这条射线叫做这个角的角平分线；②角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从顶点引出且过该点的射线就是这个角的平分线。

布置作业

课堂作业：P26 A组3题。

家作：P26 A组1、2题并预习P24~25《角平分线的性质》。

板书设计

教学反思

本节课从复习直角三角形全等的判定开始，通过拼图来探究角的平分线的性质，并探究了角的平分线性质的逆定理。其中，角的平分线性质与其逆定理的联系、区别是本节课的重点和难点。在教学中，需通过实例来强调两者之是的联系及其作用的不同。