专题3.1 函数的概念及其表示-2022-2023学年高一数学培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题3.1  函数的概念及其表示

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

1．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)等于(　B　)

A．－3x＋2　 B．－6x－1　　

C．2x＋1　 D．－6x＋5

【答案】B

【解析】在f(x)＝－3x＋2中，用2x＋1替换x，可得f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－3＋2＝－6x－1.

2．（2020·浙江高一期中）函数的定义域是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D

3．（2020·浙江高一课时练习）已知则函数的图象是（    ）

A． B．C． D．

【答案】A

【解析】当时，依函数表达式知，可排除B；当时，，可排除C、D．故选A

4．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（    ）

A．或     B．或        C．       D．或或

【答案】C

【解析】当时，令，得，解得；

当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.

综上所述，，故选C.

5.已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q.那么f(72)等于(　　)

A．p＋q B．3p＋2q

C．2p＋3q D．p3＋q2

【答案】B

【解析】因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，

f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.

6.已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　)

A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}

C．{x|0≤x≤1} D．{x|x＜0}

【答案】A

【解析】当x≥0时，f(x)＝1，xf(x)＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；

当x＜0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇔x≤2，所以x＜0，综上，x≤1.

7．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)

A．f(x)＝|x|　　　　　 B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

【答案】ABD

【解析】在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．

8．(多选)(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

A．f(x)的定义域为R

B．f(x)的值域为(－∞，4)

C．若f(x)＝3，则x的值是

D．f(x)<1的解集为(－1,1)

【答案】BC

【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)．当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选B、C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9.已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．

【答案】{－1,1,3,5,7}

【解析】∵x＝1,2,3,4,5，

且f(x)＝2x－3.

∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．

10.已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.

【答案】

【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，

依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，

∴，∴

则f(x)＝

11.已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，则f(x)的解析式为________________．

【答案】f(x)＝－x－(x≠0)

【解析】由题意知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，即f(x)－2f＝3x，用代换上式中的x，可得f－2f(x)＝，联立方程得解得f(x)＝－x－(x≠0)．

12．(一题两空)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：min）为，其中A，c为常数，已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，求c和A的值.

【答案】

【解析】由题意

组装第4件产品用时30 min，则，

所以，即，组装第A件产品用时15 min，则，

所以，即所以，所以c和A的值分别为和.

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13.已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：

(1)函数p＝f(m)的定义域；

(2)函数p＝f(m)的值域；

(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．

【解析】(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．

(2)由图知值域为[－2,2]．

(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．

14.如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为，，.

（1）求的值；

（2）求函数的解析式.

【解析】（1）直接由题图观察，可得.

（2）设线段AB所对应的函数解析式为

将与，代入.得，，

∴

同理，线段BC所对应的函数解析式为.

∴.

15.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．

(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；

(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．

【解析】(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0)．

由题意，得16＝4k＋b,10＝7k＋b，

解得k＝－2，b＝24，

所以y＝－2x＋24.

(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知S＝xy，

所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，

所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，

则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.

所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.

16．（2019·全国高一课时练习）甲、乙两车同时沿某公路从地出发，驶往距离地的地，甲车先以的速度行驶，在到达、中点处停留后，再以的速度驶往地，乙车始终以（单位：）的速度行驶．

（1）将甲车距离地的距离（单位：）表示为离开地的时间（单位：）的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象；

（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括、两地），试求乙车行驶速度的取值范围．

【解析】（1）由题意可知，当时，；

当时，；

当时，，由，得.．

函数的图象如图所示：

（2）由已知，得乙车离开地的距离（单位：）表示为离开地的时间（单位：）的函数为，其图象是一条线段，如图所示．

由图象知，当点在直线下方，点在直线的上方可知两车在途中恰好相遇两次，

则有，解得.

故当时，两车在途中恰好相遇两次（不包括、两地），

因此，的取值范围是．