专题3.2 函数的性质-2022-2023学年高一数学培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题3.2 函数的基本性质

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3,0]上(　　)

A．单调递减 B．单调递增

C．先减后增 D．先增后减

【答案】C

【解析】作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，

易知f(x)在[－3,0]上先减后增．

2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　)

A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)

C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定

【答案】D

【解析】作由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.

3．函数f(x)＝的最大值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C. D.

【答案】B

【解析】作当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.

4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

【答案】C

【解析】作因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，

所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.所以f(x)在[0,1]上单调递增．

又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)

A．f(－π)>f(3)>f(－2)

B．f(－π)>f(－2)>f(3)

C．f(3)>f(－2)>f(－π)

D．f(3)>f(－π)>f(－2)

【答案】A

【解析】作∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．

6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)

A．21 B．－21

C．26 D．－26

【答案】B

【解析】作设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.

7.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|＋g(x)是偶函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

【答案】BC

【解析】作∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确．故选B、C.

8.(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是(　　)

A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3

B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3

C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3

D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)

【答案】AC

【解析】作在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.

【答案】－x＋1

【解析】作当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.

10.若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．

【答案】(－∞，8]∪[40，＋∞)

【解析】作由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．

11.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．

【答案】f(－2)<f(1)<f(0)

【解析】作∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，

∴f(2)<f(1)<f(0)，又∵f(x)＝－x2＋2为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．即f(－2)<f(1)<f(0)．

12.(一题两空)已知函数f(x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a＝________；函数y＝f(x)在区间[－2,1]上的值域为________．

【答案】1　

【解析】作由题知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－<0，故f(x)max＝f(2)＝6＋2a＝8，所以a＝1，则f(x)＝x2＋x＋2＝＋.因为f(x)的对称轴为直线x＝－∈[－2,1]且f＝，f(－2)＝4，f(1)＝4，所以所求值域为

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数

（1）试判断函数在（-1，+）上的单调性，并给予证明；

（2）试判断函数在的最大值和最小值

【解析】（1）∵，

∴函数在上是增函数，

证明：任取，，且，

则，

∵，∴，，

∴，即，

∴在上是增函数.

（2）∵在上是增函数，

∴在上单调递增，

它的最大值是，

最小值是．

14．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.

(1)求函数f(x)；

(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．

【解析】(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，

∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①　4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②　①－②得b＝a＋8.③

将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.

(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋)2＋＋18.图像的对称轴是直线x＝－.

∵0≤x≤1，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，∴此时函数f(x)的值域是[12,18]．

15．(12分)已知函数.

（1）若，求的定义域；

（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.

【解析】(1)当且时，由得，即函数的定义域是.

(2)当即时，令

要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；

当即时 ，令

要使在上是减函数，则函数在为增函数，即

并且，解得

综上可知，所求实数的取值范围是.

16．(12分)已知函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2）．

（1）求实数m的值；

（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；

（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．

【解析】（1）∵函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），

∴2＝1+m，

∴m＝1；

（2）f（x）＝x，定义域为：，

又f（﹣x）＝﹣xf（x），

∴函数f（x）是奇函数；

（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，

设0＜x1＜x2＜1，

则，

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

∴，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，1）上的单调递减．