专题08 二次根式（1）-2022-2023学年八年级数学上册期末复习考点强化训练（冀教版）

专题08  二次根式（1）

考点1：二次根式的定义

1．下列式子一定是二次根式的是（　　）

A． B．﹣ C． D．

【答案】A

【解析】A、中a2≥0，所以是二次根式，本选项符合题意；

B、当a＜0时﹣不是二次根式，本选项不符合题意；

C、的根指数是3，本选项不符合题意；

D、当a＜0时不是二次根式，本选项不符合题意．

故选：A．

2．已知是正整数，则实数n的最小值是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】D

【解析】是正整数，则实数n的最小值为．

故选：D．

3．下列式子中不一定是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A、是二次根式，故此选项不合题意；

B、是二次根式，故此选项不合题意；

C、是二次根式，故此选项不合题意；

D、当x＜﹣1时，不是二次根式，故此选项符合题意；

故选：D．

4．已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　）

A．5 B．7 C．9 D．10

【答案】D

【解析】A、当n＝5时，＝＝2，不是整数，故A不符合题意；

B、当n＝7时，＝，不是整数，故B不符合题意；

C、当n＝9时，＝＝2，不是整数，故C不符合题意；

D、当n＝10时，＝＝7，是整数，故D符合题意．

故选：D．

5．当x＝﹣14时，二次根式的值是_______．

【答案】3．

【解析】当x＝﹣14时，＝＝3，

6．当x＝4时，二次根式的值是_______．

【答案】3．

【解析】当x＝4时，＝＝＝＝3，

7．当二次根式取得最小值时，x＝_______．

【答案】﹣1．

【解析】要使二次根式取最小值，必须x+1＝0，

解得：x＝﹣1，

8．用思维导图或框架图的形式描述你对二次根式的认识．

【答案】见解析

【解析】

考点2：二次根式有意义的条件

1．若﹣＝（x+y）2，则x﹣y的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由题意得，1﹣x≥0，x﹣1≥0，

解得，x＝1，

则y＝﹣1，

∴x﹣y＝2，

故选：C．

2．已知y＝3+，则x+2y的立方根为（　　）

A．4 B．2 C．8 D．3

【答案】B

【解析】由题意得，2x﹣4≥0，4﹣2x≥0，

解得，x＝2，

则y＝3，

∴x+2y＝8，

∵8的立方根是2，

∴x+2y的立方根为2，

故选：B．

3．如果有意义，那么字母x的取值范围是（　　）

A．x＞1 B．x≥1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1

【答案】C

【解析】∵式子在实数范围内有意义，

∴x+1≥0，解得x≥﹣1．

故选：C．

4．在代数式中，m的取值范围是（　　）

A．m＞3 B．m≤3 C．m≥3 D．m＜3

【答案】B

【解析】由题意得：3﹣m≥0，

解得：m≤3，

故选：B．

5．式子中x的取值范围是_______．

【答案】x≥1且x≠2．

【解析】由题意得：x﹣1≥0，且x﹣2≠0，

解得：x≥1且x≠2，

6．若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．

【答案】x≤．

【解析】由题意得，3﹣4x≥0，

解得，x≤，

7．当代数式有意义时，x要满足的条件是_______．

【答案】x＞0．

【解析】由可知，x≥0，

由x为分母可知，x≠0，

解得，x＞0，

8．如图，在河岸EF和河岸GH（EF∥GH）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线AM自AF逆时针旋转至AE便立即回转，灯B发出射线BN自BG逆时针旋转至BH便立即回转．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足a＝++4．

（1）求a、b的值；

（2）如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（t＜90），问t为何值时，两灯的光束互相平行？

（3）如图2，连接AB，∠BAE＝60°，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作CP⊥AC交GH于点P，则在灯A自AF转至AE之前，的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出其取值范围．

【答案】见解析

【解析】（1）∵a＝++4，

∴，

解得：b＝1，

∴a＝4；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

由题意得，at＝b（t+2）或360﹣at＝2+t，

即4t＝t+2，360﹣4t＝2+t，

解得：t＝；或t＝；

故t为s或s时，两灯的光束互相平行；

（3）不变，如图3，过C作CQ∥GH，

∵GH∥EF，

∴CQ∥EF，

设A灯转动时间为t秒，

∵∠CAE＝180°﹣4t，

∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣4t）＝4t﹣120°，

又∵GH∥EF∥CQ，

∴∠GBC＝∠BCQ，∠ACQ＝∠CAE，

∴∠BCA＝∠CBG+∠CAE＝t+180°﹣4t＝180°﹣3t，

而∠ACP＝90°，

∴∠BCP＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣90°，

∴＝．

考点3：二次根式的性质与化简

1．若1＜x＜4；则化简﹣＝（　　）

A．﹣3 B．5﹣2x C．3 D．5

【答案】B

【解析】∵1＜x＜4，

原式＝|x﹣4|﹣|x﹣1|

＝﹣（x﹣4）﹣（x﹣1）

＝﹣x+4﹣x+1

＝5﹣2x．

故选：B．

2．下列计算中．正确的是（　　）

A．x+x＝x2 B．x•x2•x3＝x5 C．＝x D．（x3）2＝x6

【答案】D

【解析】（A）原式＝2x，故A错误．

（B）原式＝x6，故B错误．

（C）原式＝|x|，故C错误．

故选：D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．（﹣）﹣2＝9 B．＝﹣2 C．（﹣2）0＝﹣1 D．|﹣5﹣3|＝2

【答案】A

【解析】（﹣）﹣2＝＝9，因此选项A符合题意；

＝|﹣2|＝2，因此选项B不符合题意；

（﹣2）0＝1，因此选项C不符合题意；

|﹣5﹣3|＝8，因此选项，D不符合题意；

故选：A．

4．若＝2，则x的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．± D．±2

【答案】D

【解析】∵＝2，

∴|x|＝2，

∴x＝±2．

故选：D．

5．二次根式中x的取值范围是_______．

【答案】x＞2．

【解析】要使有意义，必须x﹣2＞0，

解得：x＞2，

6．若＝1﹣2a，则a的取值范围是a＜．_______（判断对错）

【答案】错．

【解析】有题意得，1﹣2a≥0，

解得，a≤，

所以，题目说法错误，

7．若要说明“＝3m”是错误的，则m的值可以为_______（写出一个m的值）．

【答案】﹣2．（答案不唯一）

【解析】∵“＝3m”是错误的，

∴3m＜0，

∴m＜0，

∴m的值可以为﹣2．

8．像（+2）（﹣2）＝1、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

（1）化简：；

（2）计算：+；

（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．

【答案】见解析

【解析】（1）＝＝；

（2）+＝+＝2+++＝2+2+；

（3）∵﹣＝，﹣＝，

又∵+＞+，

∴＜，

即：﹣＜﹣．

考点4：最简二次根式

1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A.＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D.是最简二次根式，故本选项符合题意；

故选：D．

2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A、，不是最简二次根式，本选项不合题意；

B、是最简二次根式，本选项符合题意；

C、，不是最简二次根式，本选项不合题意；

D、＝，不是最简二次根式，本选项不合题意；

故选：B．

3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A、是最简二次根式，故本选项符合题意；

B、＝|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：A．

4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A、是最简二次根式，故本选项符合题意；

B、中被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D、中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：A．

5．将化成最简二次根式为_______．

【答案】．

【解析】＝，

6．在根式，，中，是最简二次根式的有_______个．

【答案】1．

【解析】是最简二次根式；

＝，故不是最简二次根式；

＝a，故不是最简二次根式．

综上所述，最简二次根式的有1个．

7．将二次根式化为最简二次根式为　　．

【答案】．

【解析】＝＝＝，

8．把下列二次根式化成最简二次根式

（1）

（2）

（3）

【答案】见解析

【解析】（1）＝；

（2）＝4；

（3）＝＝．

考点5：分母有理化

1．若x＝，则x2﹣2x（　　）

A． B．1 C．2+ D．﹣1

【答案】B

【解析】∵x＝＝+1，

∴x2﹣2x＝x（x﹣2）

＝（+1）（+1﹣2）

＝2﹣1

＝1．

故选：B．

2．若（4+）•x＝y，且y为整数，则x的值可以是（　　）

A． B．4+ C．4﹣ D．2﹣

【答案】C

【解析】A、当x＝时，（4+）•x＝（4+）×＝4+3＝y，此时y不是整数，不合题意；

B、当x＝4+时，（4+）•x＝（4+）×（4+）＝19+8＝y，此时y不是整数，不合题意；

C、当x＝4﹣时，（4+）•x＝（4+）×（4﹣）＝13＝y，此时y是整数，符合题意；

D、当x＝2﹣时，（4+）•x＝（4+）×（2﹣）＝5+2＝y，此时y不是整数，不合题意；

故选：C．

3．下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A．＝2，此选项不符合题意；

B．是最简二次根式，符合题意；

C．＝，此选项不符合题意；

D．＝，此选项不符合题意；

故选：B．

4．将化为最简二次根式，正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】＝＝＝．

故选：A．

5．已知a＝，b＝，那么ab＝_______．

【答案】．

【解析】∵a＝，b＝，

∴ab＝＝＝．

6．把化成最简二次根式的结果是　　．

【答案】．

【解析】＝．

7．计算：++20180﹣＝_______．

【答案】7+2．

【解析】原式＝+2+1﹣

＝1+2+1+1+2+2

＝7+2．

8．计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|．

【答案】见解析

【解析】原式＝﹣3﹣2+﹣1+﹣1

＝﹣5．

考点6：同类二次根式

1．下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】B

【解析】A、∵＝3，

∴与不属于同类二次根式；

B、∵＝3，＝2，

∴与属于同类二次根式；

C、∵＝＝，＝，

∴与不属于同类二次根式；

D、∵＝2，＝6，

∴与不属于同类二次根式；

故选：B．

2．下列二次根式与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C．﹣ D．

【答案】C

【解析】A、＝＝3，与不是同类二次根式；

B、＝＝，与不是同类二次根式；

C、﹣＝﹣2，与是同类二次根式；

D、＝＝6，与不是同类二次根式；

故选：C．

3．下列各数中，化为最简二次根式后能与合并的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为＝9，

＝2，

＝，

＝，

所以能与合并的是，

故选：B．

4．下列二次根式能与进行合并的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A、，能与进行合并，故本选项符合题意；

B、，不能与进行合并，故本选项不符合题意；

C、，不能与进行合并，故本选项不符合题意；

D、，不能与进行合并，故本选项不符合题意；

故选：A．

5．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝_______．

【答案】4．

【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，

∴2m﹣1＝7．

∴m＝4．

6．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a＝_______．

【答案】3．

【解析】＝2，

∵最简二次根式与2是同类二次根式，

∴a＝3．

7．若与最简根式是同类二次根式，则a＝_______．

【答案】2．

【解析】根据题意得a+1＝3，

解得a＝2，

8．若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．

【答案】见解析

【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，

∴，

解得：．