专练11（图形变换，10道）-2022-2023学年上学期八年级数学期末考点必杀200题（冀教版）

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专练11（线段垂直平分线与角平分线）（10道）1．（2019年山东菏泽东明期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．【分析】（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．2．（2019年山东济南商河期末）如图，已知∠BAC＝60°，∠B＝80°，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于E．（1）求∠BAD的度数；（2）若AB＝10，BC＝12，求△ABD的周长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，求出∠DAC，计算即可；（2）根据DA＝DC，三角形的周长公式计算．【解答】 （1）∵∠BAC＝60°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵DE垂直平分AC∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝40°，∴∠BAD＝60°﹣40°＝20°；（2）由（1）知DA＝DC∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝10+12＝22．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．（2019年广东梅州梅县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED＝EC，根据线段垂直平分线的判定定理证明．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．4．（2020年江苏无锡宜兴月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．（1）若BC＝10，求△AEF周长．（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．【分析】（1）由在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得AE＝BE，AF＝CF，即可得△AEF周长＝BC；（2）由∠BAC＝128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，继而求得答案．【解答】 （1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，∴AE＝BE，AF＝CF，∵BC＝10，∴△AEF周长为：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10； （2）∵AE＝BE，AF＝CF，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，∵∠BAC＝128°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2019年内蒙古鄂尔多斯鄂托克期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．【分析】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为30cm可得AB长，进而可得答案．【解答】 （1）∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． （2）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，AE＝BE，∵△BCD的周长为18cm，∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．∵△ABC的周长为30cm，∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，∴BE＝12÷2＝6cm．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．（2018年广西北海期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．【解答】 （1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．7．（2019年陕西西安雁塔电子科大期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．8．（2019年黑龙江齐齐哈尔克东期末）已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：（1）OC＝OD；（2）OP是CD的垂直平分线．【分析】（1）先根据P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB得出PC＝PD，由HL定理得出△POC≌△POD，故可得出OC＝OD；（2）根据P是∠AOB平分线上的一点得出∠COP＝∠DOP，根据SAS定理得出△COE≌△DOE，由此可得出结论．【解答】 （1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，在Rt△POC与Rt△POD中，∵，∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），∴OC＝OD； （2）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，∴∠COP＝∠DOP∵由（1）知，OC＝OD，∴在△COE与△DOE中，，∴△COE≌△DOE，∴CE＝DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分线．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．9．（2018年山东济宁金乡期末）如图所示，∠A＝∠B＝90°，P是AB的中点，且PD平分∠ADC，连接PC．（1）求证：PC平分∠BCD；（2）线段PD与PC有怎样的位置关系？请说明理由．【分析】（1）过P作PQ⊥CD于Q，根据角平分线性质求出PA＝PQ＝PB，再根据角平分线性质求出即可；（2）根据平行线性质求出∠ADC+∠DCB＝180°，求出∠PDC+∠DCP＝90°，即可求出答案．【解答】（1）证明：过P作PQ⊥CD于Q，∵P是AB的中点，∴PA＝PB，∵PD平分∠ADC，∠A＝90°，PQ⊥CD，∴PA＝PQ，∴PA＝PQ＝PB，∵∠B＝90°，PQ⊥CD，∴PC平分∠BCD；（2）PD⊥PC，证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵PD平分∠ADC，PC平分∠BCD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，∴∠PDC+∠PCD＝90°，∴∠DPC＝90°，∴PD⊥PC．【点评】本题考查了梯形的性质，平行线的性质，角平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．10．（2018年河北唐山丰南经安月考）如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1＝65°，∠BDC＝78°，求∠C的度数．【分析】根据三角形的内角和和垂直的定义求解．【解答】解：∵DA⊥AB，∴∠A＝90°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠1＝90°﹣65°＝25°．∵∠BDC＝78°，∴∠C＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝180°﹣25°﹣78°＝77°．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．同时考查了角平分线的性质．垂直和直角总是联系在一起．