2022-2023学年山东省烟台市莱阳市人教版七年级（上）期中数学试卷（五四学制）(解析版)

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2022-2023学年山东省烟台市莱阳市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列交通标志图案是轴对称图形的是(    )A. B. C. D. 如图，作△ABC一边BC上的高，下列画法正确的是(    )A. B. C. D. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(    )A. ∠A+∠B=∠C B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2-b2 D. a：b：c=13：14：15如图，为增强人民体质，提高全民健康水平，某市拟修建一个大型体育中心P，使得体育中心P到三个乡镇中心A，B，C的距离相等，则点P应设计在(    )A. △ABC三条高线的交点处 B. △ABC三条中线的交点处C. △ABC三条角平分线的交点处 D. △ABC三边垂直平分线的交点处在△ABC中，AB=6，BC=7，AC==4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为(    )A. 6 B. 10 C. 11 D. 13根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是(    )A. AB=3，AC=4，∠B=30°B. AB=3，BC=4，AC=8C. ∠A=50°，∠B=60°，AB=4D. ∠C=90°，AB=5如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是(    )A. 144 B. 64 C. 49 D. 25如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为cm2．(    )A. 27 B. 54 C. 272 D. 108如图，在四边形ABDE中，AB//DE，AB⊥BD，点C在BD上，若BC=DE=a，CD=AB=b，AC=CE=c，则下列结论不正确的是(    )A. △ABC≌△CDE B. ∠ACE=90°C. 12(a+b)2-12c2=2×12ab D. 四边形ABDE的面积是(a+b)2一个门框的尺寸如图所示，下列矩形木板不能从门框内通过的是(    )A. 长3m，宽2.5m的矩形木板B. 长4m，宽2.1m的矩形木板C. 长3m，宽2.2m的矩形木板D. 长3m，面积为6m2的矩形木板第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠C=95°，则∠EAD的度数为______．小明用如图所示的圆柱形杯子喝奶茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，杯子的高度是8cm，杯口的直径是6cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短应为______cm．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG.已知∠ACB=15°，AE=EF，则∠B的度数为______．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A=36°，∠D=14°，则∠ACB的度数为______．如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面结论：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的AD边上的中线；③CH是△ACD的AD边上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．其中正确的有______.(填序号)如图，△ABC的面积是18cm2，AB=AC，BC的长为5cm，D为BC的中点，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，交AD于点M，则BM+DM的值为______cm．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题8.0分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂了阴影，请你对各图中剩下的空白小正方形按要求进行操作：在图1中选择两个空白小正方形涂阴影，在图2、图3、图4中分别选择三个小正方形涂阴影，分别使得各图中阴影部分成为一个轴对称图形．(本小题8.0分)如图，BD，AE分别是△ABC中AC边和BC边上的高，已知AE=6，BC=10，BD=5．(1)求△ABC的面积；(2)求AC的长；(3)求CE2的值．(本小题8.0分)在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小球从OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=24cm，OA=OB=OC=30cm．(1)试说明OE=BD；(2)求AD的长．(本小题9.0分)(1)如图1，在所给正方形网格图中完成下题：①画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A'B'C'；②在DE上画出点Q，使QA+QC最小．(2)如图2，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，(尺规作图，保留作图痕迹)．(本小题9.0分)在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q，若∠BAC=80°，求∠PAQ的度数．(本小题9.0分)如图，在△ABC中，AE是△ABC的高，∠B=38°，∠ACB=62°．(1)如图1，若AD是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数；(2)如图2，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，求∠G的度数．(本小题9.0分)如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C、D均在网格格点上．(1)求四边形ABCD的面积；(2)∠BCD是直角吗？为什么？(本小题12.0分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，AD与BE相交于点F．(1)∠AFE与∠AEF相等吗？请说明理由；(2)若BC=20，BE=13，AB=12，求△BCE的面积．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：B．根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】C 【解析】解：选项C中，线段AD的BC边上的高．故选：C．根据三角形的高的定义，判断即可．本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，中线和高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．3.【答案】D 【解析】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC为直角三角形，故A不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=31+2+3×180°=90°，∴△ABC为直角三角形，故B不符合题意；C、∵a2=c2-b2，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，故C不符合题意；D、∵a：b：c=13：14：15，∴设a=13k，b=14k，c=15k(其中k≠0)，∴a2+b2=(13k)2+(14k)2=27144k2，c2=(15k)2=125k2，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意；故选：D．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．4.【答案】D 【解析】解：∵体育中心P到三个乡镇中心A、B、C的距离相等，∴PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，同理，点P在线段AC的垂直平分线上，∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，故选：D．根据线段垂直平分线的性质解答即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5.【答案】B 【解析】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP=CP，∴△ACP的周长=AP+PC+AC=BP+AP+AC≥AB+AC，∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，∵AB=6，BC=7，AC=4，∴△ACP的周长6+4=10，∴△ACP的周长最小值为10，故选：B．当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，最小值为AB+AC的长．本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．6.【答案】C 【解析】解：A.AB=4，AC=3，∠B=30°，不符合三角形全等的条件，不能作出唯一的三角形，所以A选项不符合题意；B.AB=3，BC=4，AC=8，不符合三角形三边的关系，不能作出唯一的三角形，所以B选项不符合题意；C.∠A=50°，∠B=60°，AB=4，符合三角形全等的条件，能作出唯一的三角形，所以C选项符合题意；D.∠C=90°，AB=5，不符合三角形全等的条件，不能作出唯一的三角形，所以D选项不符合题意．故选：C．根据全等三角形判定的方法对A、C、D选项进行判断；根据三角形三边的关系对B选项进行判断．本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．7.【答案】C 【解析】解：由题意可得：小正方形的边长=132-52-5=7，∴小正方形的面积为7×7=49，故选：C．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8.【答案】A 【解析】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图， ∵OB平分∠ABC，∴OD=OE，∴S△BOC：S△AOB=BC：AB，∴S△BOC=96×18=27(cm2). 故选：A．过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，根据角平分线的性质得到OD=OE，然后根据三角形面积公式得到S△BOC：S△AOB=BC：AB．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．9.【答案】D 【解析】解：∵AB//DE，AB⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°．在△ABC和△CDE中，AB=CD∠B=∠D=90°BC=DE，∴△ABC≌△CDE(SAS)，∴∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，故①②不符合题意；∵AB//DE，AB⊥BD，∴四边形ABDE的面积是12(a+b)2；故④符合题意；∵梯形ABDE的面积-直角三角形ACE的面积=两个直角三角形的面积，∴12(a+b)2-12c2=2×12ab，故③不符合题意，故选：D．证明△ABC≌△CDE(SAS)，由全等三角形的性质可得出∠A=∠DCE，∠ACB=∠E.由图形的面积即可得到结论．本题考查了梯形，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．10.【答案】A 【解析】解：连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形， 根据勾股定理得AC=AB2+BC2=12+22=5≈2.236．四个选项中只有2.5>2.236，∴只有3×2.5薄木板不能从门框内通过，故选：A．解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用，只要根据已知条件构造出直角三角形即可解答．11.【答案】95° 【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠C=95°，∴∠D=∠B=30°，∠E=∠C=95°，∴∠EAD=180°-30°-95°=55°．故答案为：95°．直接利用全等三角形的性质得出对应角，进而得出答案．本题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题的关键．12.【答案】10 【解析】解：如图，连接AB， 由题意知，BC=6cm，AC=8cm，由勾股定理得，AB=AC2+BC2=62+82=10(cm)，∴吸管最短应为10cm，故答案为：10．连接AB，利用勾股定理求出AB的长，即可得到结论．本题主要考查了勾股定理的应用，计算出AB的长是解题的关键．13.【答案】60° 【解析】解：由折叠得∠EAB=∠B，∠FAC=∠ACB，∵AE=EF，∴∠EAF=∠BFA，∴∠EAB+∠EAF=∠B+∠BFA，∵∠EAB+∠EAF+∠B+∠BFA=180°，∴2(∠EAB+∠EAF)=180°，∴∠BAF=∠EAB+∠EAF=90°，∵∠FAC=∠ACB=15°，∴∠BFA=∠FAC+∠ACB=30°，∴∠B=90°-∠BFA=60°，故答案为：60°．由折叠得∠EAB=∠B，∠FAC=∠ACB，由AE=EF，得∠EAF=∠BFA，则∠EAB+∠EAF=∠B+∠BFA=90°，所以∠BAF=90°，而∠BFA=∠FAC+∠ACB=30°，则∠B=60°，于是得到问题的答案．此题重点考查轴对称的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明∠BAF=90°是解题的关键．14.【答案】68° 【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∵∠A=36°，∴∠AFE=90°-∠A=54°，∴∠CFD=∠AFE=54°，∵∠D=14°，∴∠ACB=∠D+∠CFD=14°+54°=68°，故答案为：68°．根据垂直定义得出∠AEF=90°，根据三角形内角和定理得出∠AFE=90°-∠A=54°，求出∠CFD=∠AFE=54°，再根据三角形的外角性质得出∠ACB=∠D+∠CFD即可．本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．15.【答案】③④ 【解析】解：对于①，由∠BAD=∠CAD，可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念，故①错误；对于②，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，由三角形中线的概念，故②错误；对于③，由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；对于④，由AH平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线．又因为AH⊥CF，所以AH也是△ACF的高，故④正确．其中正确的有③④．故答案为：③④．本题是一道关于三角形的题目，回想三角形的中线、角平分线、高线的概念；由∠1=∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念可知①错误；接下来，根据三角形中线、高线、角平分线的概念试着分析②、③、④，相信你能解答此题了．本题考查三角形的角平分线、高线、中线．关键是根据三角形的中线、角平分线、高线解答．16.【答案】7.2 【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×5×AD=18cm2，解得：AD=7.2，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴BM+MD=AM+DM=AD=7.2(cm)，故答案为：7.2．由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知AM=BM，则可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17.【答案】解：如图所示． 【解析】根据轴对称图形的概念求解即可．本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换定义与性质．18.【答案】解：(1)S△ABC=12BC⋅AE=12×10×6=30；(2)∵S△ABC=12AC⋅BD=30，∴AC=30×2BD=605=12；(3)在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE2=AC2-AE2=122-62=108． 【解析】(1)根据三角形的面积公式直接可得答案；(2)根据S△ABC=12AC⋅BD=30，可得AC的长；(3)利用勾股定理可得答案．本题主要考查了三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵OB⊥OC，∴∠BOD+∠COE=90°，又∵CE⊥OA，BD⊥OA，∴∠CEO=∠ODB=90°，∴∠BOD+∠B=90°，∴∠COE=∠B，在△COE和△OBD中，∠CEO=∠BDO∠COE=∠BOC=OC，∴△COE≌△OBD(AAS)，∴OE=BD；(2)∵△COE≌△OBD，∴CE=OD=24cm，∵OA=30cm，∴AD=OA-OD=30-24=6(cm)． 【解析】(1)由直角三角形的性质证出∠COE=∠B，利用AAS证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出结论；(2)由全等三角形的性质得出CE=OD=24cm，则可得出答案．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．20.【答案】解：(1)①如图1，△A'B'C'即为所求．②如图1，点Q即为所求． (2)如图2，分成的△ACD，△ADE，△DEB即为所求． 【解析】(1)①根据轴对称的性质作图即可．②连接A'C，交直线DE于点Q，连接AQ，此时QA+QC最小．(2)作∠A的平分线，交BC于点D，再过点D作AB的垂线即可．本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．21.【答案】解：∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∵∠BAC=80°，∴∠B+∠C=180°-80°=100°，∵AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAP+∠CAQ-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=100°-80°=20°． 【解析】先根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，然后代入数据进行计算即可得解．本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵∠B=38°，∠C=62°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∵∠C=62°，∴∠CAE=90°-62°=28°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=12°；(2)∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，∴∠CAE=2∠CAG，∠FCB=2∠FCG，∵∠CAE=∠FCB-∠AEC，∠CAG=∠FCG-∠G，∴2∠FCG-∠AEC=2(∠FCG-∠G)=2∠FCG-2∠G，即∠AEC=2∠G，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∴∠G=45°． 【解析】(1)根据三角形的内角和定理可求得∠BAC=80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；(2)由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AEC=2∠G，根据三角形的高线可求解∠G的度数．本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用．23.【答案】解：(1)四边形ABCD的面积是5×5-12×1×5-12×1×4-12×1×2-12×2×4-1×1 =25-2.5-2-1-4-1 =14.5；(2)∠BCD是直角，理由是：连接BD， 由勾股定理得：BD2=32+42=25，BC2=22+42=20，CD2=12+22=5，所以BC2+CD2=BD2，即∠BCD是直角． 【解析】(1)根据图形得出四边形ABCD的面积是5×5-12×1×5-12×1×4-12×1×2-12×2×4，再求出即可；(2)求出BC、CD、BD的值，根据求出的结果得出BC2+CD2=BD2，再根据勾股定理的逆定理得出即可．本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．24.【答案】解：(1)∠AFE=∠AEF，理由：∵∠BAC=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠FBD+∠BFD=90°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠FBD，∴∠AEB=∠BFD，∵∠BFD=∠AFE，∴∠AFE=∠AEF；(2)在Rt△ABE中，BE=13，AB=12，∴AE=BE2-AB2=132-122=5，在Rt△BAC中，BC=20，∴AC=BC2-AB2=202-122=16，∴EC=AC-AE=16-5=11，∴△BCE的面积=12CE⋅AB =12×11×12 =66，∴△BCE的面积为66． 【解析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE+∠AEB=90°，再根据垂直定义可得∠ADB=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠FBD+∠BFD=90°，然后利用角平分线的定义可得∠ABE=∠FBD，从而利用等角的余角相等可得∠AEB=∠BFD，再利用对顶角相等可得∠BFD=∠AFE，最后利用等量代换即可解答；(2)先在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，再在Rt△BAC中，利用勾股定理求出AC的长，从而求出EC的长，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及勾股定理是解题的关键．