2022-2023学年四川省成都市青羊区成都市石室联合中学九年级上学期期中数学试题(解析版)

这是一份2022-2023学年四川省成都市青羊区成都市石室联合中学九年级上学期期中数学试题(解析版)，共32页。试卷主要包含了选择题.，四象限内，那么m的取值范围是．，解答题.等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题.
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．据此解答即可．
【详解】解：A、是分式方程，故该选项不符合题意；
B、当时，就不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、可以变形为，是一元二次方程，故本选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的特点：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，是整式方程．
2. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将点代入，求出k的值，再根据对各项进行逐一检验即可．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
∵，
∴只有点在反比例函数图象上．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，根据对角线的特点判断特殊四边形的方法逐一判断即可.
【详解】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A是假命题；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B是假命题；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题；
故选D
【点睛】本题考查的是平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，掌握“特殊四边形的判定方法”是解题的关键.
4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】进行配方，即可得出选项．
【详解】解：，
配方，得，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5. 如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，，．则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项B，D正确，不符合题意；
∵，
∴，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
6. 反比例函数的图象位于第二、四象限内，那么m的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数所在的象限，判定m﹣5的符号，即m﹣5＜0，然后通过解不等式即可求得m的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内，
∴m﹣5＜0，
解得，m＜5；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，解题关键是明确比例系数k的正负与图象所在象限的关系．
7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：A、函数y=ax﹣a的图象应该交于y轴的负半轴，故不符合题意；
B、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，故不符合题意；
C．由函数y=ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故不符合题意；
D．由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8. 如图，已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质得出，由勾股定理得出，求出，由三角形的面积及菱形的面积可得出答案．
【详解】解：∵四边形菱形，
∴，
∵菱形的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题.
9. 若，则＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
可设，则，
∴，
故答案为：3
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
10. 在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质得出，进而得出k的取值范围．
【详解】解：在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，
∴，
∴，
∴k的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
11. 如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形中，可得，，再根据，得出，从而得出，再利用，求出的值．
【详解】解：在平行四边形中，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12. 如图，点是矩形的中心，是边上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：∵是由翻折而成，
∴，，
∵是矩形的中心，
∴是的垂直平分线，，
∴，，
在中，，即，解得，
在中，设，则，
∵，即，解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，涉及矩形性质、中垂线的性质、勾股定理和等腰三角形的判定与性质等知识，等腰熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13. 如图，已知正方形的边长为1，如果将线段绕着点B旋转后，点D落在的延长线上的处，那么_____．
【答案】##
【解析】
【分析】由正方形的边长为1，可得，由勾股定理求得，即可求出答案．
【详解】解：由于正方形的边长为1，
则，，
∵将线段绕着点B旋转后，点D落在的延长线上的处，
∴，，
在中，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形中的旋转变换，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
三、解答题.
14. 计算：
（1）；
（2）用适当方法解下列方程：
①；
②
【答案】（1）
（2）①， ；②，
【解析】
【分析】（1）先化简各式，然后再按照实数加减运算法则进行计算即可解答；
（2）①利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；②利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：
=
=
=
【小问2详解】
解：①
∵
∴
即， ；
②
移项得
则
或
即，
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标内三顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出，使与位似且相似比为；
（3）直接写出点和点的坐标，及的面积．
【答案】（1）图见详解
（2）图见详解 （3），，8
【解析】
【分析】（1）根据轴对称变换：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标是原来相反数的性质找出对应点即可；
（2）根据位似变换的性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比为相似比，找出对应点即可；
（3）根据三角形的面积公式结合网格即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，延长截取，延长截取，即为所求；
【小问3详解】
解：由图，，
则由表格
【点睛】本题考查了轴对称变换的性质，位似变换的性质，熟练掌握轴对称变换以及位似变换的性质是解题的关键．
16. 将分别标有“成”“都”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，请用树状图或列表法表示出所有可能出现的情况：并求出两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为．
【点晴】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；解题关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）写出当月时，的取值范围；
（3）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入可确定反比例函数解析式，进而求得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当或，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（3）先确定点的坐标是，再计算出，由可求得，可求得，则可求得的坐标，即可确定直线的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求解即可．
【小问1详解】
把代入
∴，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得，，
∴，
∵一次函数过点和．
∴，解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
由图象可知，当时，x的取值范围为或；
【小问3详解】
∵，
∴点的坐标是，
∴，
∵
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴直线的解析式为．
由
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（3）中求得E点的坐标是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
18. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【答案】（1）答案不唯一，如△AFB∽△BCE
（2）CE＝7.5 （3）当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形
【解析】
【分析】（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；
（2）根据△AFB∽△BGC，得，即，设AF＝5x，BG＝3x，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；
（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．
【小问1详解】
解：（任意回答一个即可）；
①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，理由如下：
∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
【小问2详解】
∵四边形AFCC'是平行四边形，
∴AF＝CC'，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴ ，即，
设AF＝5x，BG＝3x，
∴CC'＝AF＝5x，
∵CG＝C'G，
∴CG＝C'G＝2.5x，
∵△AFB∽△BCE∽△BGC，
∴ ，即，
∴CE＝7.5；
【小问3详解】
分两种情况：
①当C'F＝BC'时，如图2，
∵C'G⊥BE，
∴BG＝GF，
∵CG＝C'G，
∴四边形BCFC'是菱形，
∴CF＝CB＝9，
由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，
∴BF＝6x，
∵△AFB∽△BCE，
∴ ，即，
∴，
∴CE＝；
②当C'F＝BF时，如图3，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴ ，
设BF＝5a，CG＝3a，
∴C'F＝5a，
∵CG＝C'G，BE⊥CC'，
∴CF＝C'F＝5a，
∴FG＝＝4a，
∵tan∠CBE＝，
∴，
∴CE＝3；
综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
B卷
一、填空题.
19. 一元二次方程的两根为和，则_____．
【答案】2046
【解析】
【分析】据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出再整体代入即可求出结论．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为和，
故答案为：2046．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题的关键是得到．
20. 若点在反比例函数的图像上，则当函数值时，自变量x的取值范围是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】先把点A的坐标代入函数解析式求出m的值，然后在两个象限内利用反比例函数的性质解答．
【详解】解:∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得，
在第一象限，函数值y都是正数，所以时，，
在第三象限，函数值y随x的增大而减小，
所以时，，
综上所述，函数值时，自变量x的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数的性质，解题关键在于要分两个象限求解x的取值范围．
21. 我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：mn＝m+n，比如12＝1+×2＝．若y（510）＝25，则y的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用题干中新定义运算将y（510）＝25化简为y+＝25，即可得出结论．
【详解】解：∵mn＝m+n，
∴510＝5+×10＝5，
∴y（510）＝y5＝y+×5＝y+，
∵y（510）＝25，
∴y+＝25，
解得：y＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割、新定义运算以及一元一次方程的解法，理解新定义运算是解题的关键．
22. 定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可．
【详解】解：在Rt中，，
∴，
当时，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
当，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23. 如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为_____，的最小值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】在中，利用三角形相似可求得的长，设A点关于的对称点A′，当时，的值最小，进而求得即可．
【详解】解：设，则，
∵四边形为矩形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
∴， ，
如图，设A点关于的对称点为，连接，
则，
∴当三点在一条线上，且时，最小，
∴由三角形的面积公式知，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称的应用，相似三角形的判定与性质，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键．
二、解答题.
24. 某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为每件元时，一月份销售件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
（2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利元？
【答案】（1）二、三这两个月的销售量月平均增长率为
（2）该商品售价定为72元时，商场当月获利元
【解析】
【分析】（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得；
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元．
【小问1详解】
解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴，
即该商品售价定为元时，商场当月获利元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25. 如图1，在矩形中，已知．，点E、F分别是、的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当时，＝ ；②当时，＝ ；
（2）拓展探究：
将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；
（3）问题解决：
当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据矩形中， ．，，运用勾股定理得到，当时，根据E、F分别是、的中点，得到，，即可求得；②当时，由，得到；
（2）连接，根据旋转性质得到，结合，推出，推出；
（3）根据，求出，根据，得到，当点F在线段上时， 结合，得到，得到；当点F在线段延长线上时，得到，得到．
【小问1详解】
解：（1）①当时，见题干图1，
∵矩形中， ．，，
∴，
∵点E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
故答案为：；
②当时，如图1，
∵，
∴，
故答案：；
【小问2详解】
如图2，连接，
由旋转知，，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
A、F、E三点共线时，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当点F在线段上时，如图3，
∵，
∴，
∴；
当点F在线段延长线上时，如图4，
，
∴；
故的长度为或．
【点睛】本题主要考查了四边形和三角形旋转综合．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形．注意分类讨论．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结，动点P满足，交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，求C点的坐标；
（2）当动点P在线段的延长线上时，若直线与直线l的夹角为β，且，求的值；
（3）当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点，若，，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据点P的坐标是，轴可得C点的坐标；
（2）过点P作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为N，求出，证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出答案；
（3）可分点P在线段的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论，证明，可得，设，用含x的代数式表示出、的长，即可求出的值．
【小问1详解】
解：∵点P与点B重合，点B的坐标是，，
∴点P的坐标是，轴，
∴；
【小问2详解】
解：过点P作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为N，如图所示，则四边形是矩形，
∴，
∵直线与直线l的夹角为β，且，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的值为；
【小问3详解】
解：①若点P在线段的延长线上，
过点P作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为N，与直线的交点为F，如图2所示．
同（2）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，
∴；
②若点P在线段的反向延长线上，
过点P作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为N，与直线的交点为F，如图3所示．
同理可得： ，，，
∴，
∴．
综上所述：的值为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
成
都
加
油
成
（都，成）
（加，成）
（油，成）
都
（成，都）
（加，都）
（油，都）
加
（成，加）
（都，加）
（油，加）
油
（成，油）
（都，有）
（加，油）