【原创精品】人教版数学九年级下册 28.3.1 《锐角三角函数章末复习》（课件+教案+练习）

课题名

28.3.1 《锐角三角函数章末复习》

教学目标

1.掌握3个考点内容.

2.熟悉2个题型.

3.突破1个易错点.

教学重点

熟练掌握3个考点的内容.

教学难点

熟悉2个题型及易错1个易错点.

教学准备

教师准备：PPT、刻度尺、量角器、三角板.

学生准备：刻度尺、量角器、三角板.

教学过程

考点梳理

答案：

特殊角的三角函数值

考点专练

1．(2021·江西模拟)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是(     )

A．sinA＝                 B．cosB＝

C．tanA＝2              D．tanB＝

答案：C

2．(2021·天津)tan 30°的值等于(      )

A．         B．           C．1             D．2

答案：A

考点梳理

考点2 解直角三角形

答案：∠B

答案：∠A

考点专练

3．(2021·云南)在△ABC中，∠ABC＝90°.若AC＝100，sin A＝，则AB的长是(     )

A．           B．         C．60            D．80

答案：D

4．(2021·海南)如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是____________．

答案：(4，)

考点3 解直角三角形的实际应用

考点专练

5.(2021·济南)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为(参考数据：tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7.结果保留整数)(　　)

A．188 m           B．269 m            C．286 m           D．312 m

答案：C

6．(2020·四川自贡)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为________米(结果保留根号)．

答案：

母题剖析

题型一 与锐角三角函数相关的计算

例1.(2021·巴中)如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是(     )

A．sinB＝       B．sinC＝       C．tanB＝      D．sin2B＋sin2C＝1

答案：A

例2.(2021·贵港)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan ∠DEC的值是_________．

答案：

跟踪训练

1．(2021·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC的值为(      )

A．           B．          C．            D．

答案：B

2．(2021·绍兴)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为(      )

A．          B．           C．            D．2

答案：D

母题剖析

题型二 解直角三角形在实物情景中的应用

例3.(2021·江西)图①是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图②是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5 cm.

(1)求∠ABC的度数；

(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5 cm.在图②中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位)

(参考数据：sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，sin 23.6°≈0.40，≈1.414)

解：(1)如图②，过点B作BH⊥MP，

垂足为H，过点M作MI⊥FG，

垂足为I，过点P作PK⊥DE，

垂足为K，∵MP＝25.3 cm，

BA＝HP＝8.5 cm，∴MH＝MP－HP＝25.3－8.5＝16.8(cm)，

在Rt△BMH中，cos ∠BMH＝＝＝0.4，

∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH＋∠ABC＝180°，

∴∠ABC＝180°－66.4°＝113.6°；

(2)∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，

∴∠NMI＝180°－∠BMN－∠BMH＝180°－68.6°－66.4°＝45°，

∵MN＝28 cm，∴cos 45°＝＝，∴MI≈19.80 cm，

∵KI＝50 cm，∴PK＝KI－MI－MP＝50－19.80－25.3＝4.90≈5.0(cm)，

∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．

跟踪训练

3．(2020·江西)如图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120 mm，支撑板长CD＝80 mm，底座长DE＝90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果保留小数点后一位)

(1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；

(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．

(参考数据：sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839，sin 26.6°≈0.448，cos 26.6°≈0.894，tan 26.6°≈0.500，≈1.732)

解：(1)过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，

过点C作CN⊥DE，垂足为N，

由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，

在Rt△CDN中，CN＝CD·sin ∠CDE＝80×＝40(mm)＝FM，∠DCN＝30°，

又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝50°，

∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，

∴∠ACF＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC·sin 40°＝80×0.643≈51.44，

∴AM＝AF＋FM＝51.44＋40≈120.7(mm).

答：点A到直线DE的距离约为120.7 mm；

(2)旋转后，如图③所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°，

在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，

∴tan ∠D＝＝＝0.500，

∴∠D＝26.6°，

因此旋转的角度为：60°－26.6°＝33.4°.

答：CD旋转的角度约为33.4°.

随堂检测

1．(2021·江西模拟)锐角三角函数tan 45°的值为(     )

A.　　　　 B．　　　　C．　　　D．1

答案：D

2．(2021·金华)如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(     )

A．4cosα米         B．4sinα米          C．4tanα米         D．米

答案：A

3．(2021·泰安)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)(      )

A．136.6米        B．86.7米         C．186.7米        D．86.6米

答案：A

4．(2021·广元)如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A，B，C，D，O均在格点上，其中A，B，D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠BAE的正切值为________．

答案：

5．(2021·阜新)如图，甲楼高21 m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为______m(结果精确到1 m，≈1.7).

答案：57

6．图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm，AB＝30 cm，BC＝35 cm.(结果精确到0.1).

(1)如图②，∠ABC＝70°，BC∥OE.

①填空：∠BAO＝____°.

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．

(2)如图③，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求∠ABC的大小．

(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)

解：(1)①过点A作AG∥BC，如图①，则∠BAG＝∠ABC＝70°，

∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，

∴∠BAO＝90°＋70°＝160°；

②过点A作AF⊥BC于点F，

如图②，则AF＝AB·sin ∠ABF＝30sin 70°≈28.2(cm)，

∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF＋OA－CD＝28.2＋6.8－8＝27(cm)；

(2)过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，

过A作AF⊥BM于点F，如图③，

则∠MBA＝70°，AF＝28.2 cm，DH＝6 cm，BC＝35 cm，CD＝8 cm，

∴CM＝AF＋AO－DH－CD＝28.2＋6.8－6－8＝21(cm)，

∴sin ∠MBC＝＝＝0.6，∴∠MBC＝36.8°，

∴∠ABC＝∠ABM－∠MBC＝33.2°.

易错提示

中考失分点专练：没有先确定直角

1.在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝________________________．

答案：或