2022-2023学年重庆市第一中学校九年级上学期期中数学试题(解析版)

这是一份2022-2023学年重庆市第一中学校九年级上学期期中数学试题(解析版)，共34页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；等内容，欢迎下载使用。

重庆一中初2023届九年级22-23学年度上期第二次测试题
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试照的答案书写在等题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线的顶点坐标为（，），对称轴为．
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方概涂题．
1. ﹣的相反数是（　　）
A. ﹣ B. C. D. ﹣
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0．
2. 下列4个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次分析求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 如图，，平分交于点E，若，则 （　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图：根据平角的定义及角平分线的性质求得的度数，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．
4. 一辆汽车行驶的速度（km/h）与时间（min）之间的变化关系如图所示，下列说法正确的是（　　）

A. 时间是因变量，速度是自变量 B. 汽车在时匀速行驶
C. 汽车在时匀速行驶 D. 汽车最快的速度是
【答案】C
【解析】
【分析】观察图像，结合题意，明确横轴与纵轴的意义，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：速度是因变量，时间是自变量，故选项A不合题意；
汽车在时，速度在增加，故选项B不合题意；
汽车在时，匀速运动，故选项C符合题意；
汽车最快的速度是，故选项D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是掌握函数的图像和实际意义的关系．
5. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
6. 如果m=，那么m的取值范围是（ ）
A. 0 【答案】C
【解析】
【分析】先估算在3与4之间，再根据m＝，即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵3＜＜4，
∴3−1＜−1＜4−1，
即2＜−1＜3，
∴m的取值范围是2＜m＜3．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一道基础题．
7. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图所示，正方形ABCD中，，点E为BC中点，于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）

A. B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，根据正方形的性质以及已知条件，求得，，进而求得，设，则，根据，求得，在中，勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，

正方形ABCD

正方形ABCD中，，点E为BC中点，






设，则

解得
，

在中，
故选B
【点睛】本题考查了求正切值，正方形的性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键．
9. 如图所示，一圆弧形拱门，其中路面 ， 垂直平分 且 ，则该拱门的半径为（　　）

A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据拱高得出 过圆心，且 ，根据垂径定理得出，设 ，根据勾股定理列方程，即，然后解方程即可．
【详解】解：如图，取圆弧形的圆心为O，连接 ，设 的半径为r，则 ，

∵拱高，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得：，
∴该拱门的半径为，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题关键．
10. 若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A. 15 B. 12 C. 11 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先解分式方程，根据解为非负数，得且，求出a的取值范围，再解不等式组，根据解集，可得a的取值范围，确定整数a的取值，进一步求和即可．
【详解】解：分式方程，
去分母，得，
解得，
根据题意，得且，
解得且，
解不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
根据题意，得，
∴且，
∴整数a可取1，2，4，5，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组等，熟练掌握解分式方程的步骤和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接，若平分，反比例函数（）的图像经过上的两点A，F，且，的面积为12，则k的值为（　　）

A. 12 B. 8 C. 6 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接，过点A作于点N，过点F作于点M，再说明是的中位线，即；再根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到，即；然后再根据矩形的性质求得，进一步求得，最后根据反比例函数k的几何意义即可解答．
【详解】解：如图，连接，过点A作于点N，过点F作于点M，
∵，
∴，
∴，
∵点A，F在反比例函数图像上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．

【点睛】本题属于反比例函数与几何的综合题，主要考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
12. 有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．
①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数，③
该小组成员分别得到一个结论：
甲：取，5个正整数不满足上述3个条件；
乙：取，5个正整数满足上述3个条件；
丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
丁：5个正整数，，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）；
戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）；
以上结论正确的个数有（　　）个．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据每个成员的前提，然后分别利用题中的3个条件，表示出五个数，通过它们各自的特点与要求进行求解．
【详解】解：甲：若 ，
由条件可得： ， ，
由条件得： ，
由条件得： ，
解得： ，
而 是奇数，
“甲：取，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确；
乙：若 ，
由条件知： ， ，
由条件可知： ，
由条件得： ，
解得： ，
是奇数，符合题意
“乙：取，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确；
丙：若 是4的倍数，设 ，
由条件知： ， ，
由条件可知： ，
由条件得： ，
解得： ，
是奇数，符合题意
“丙：当满足‘是4的倍数’时，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确；
丁：设 ，
由条件知： ， ，
由条件可知： ， 、 是奇数
由条件得： ，
解得： ，
是正整数

是奇数，符合题意也是正整数
“丁： 5个正整数 ， ， ， ， 满足上述3个条件，则”，结论正确；
戊：设 ，
由条件知： ， ，
由条件可知： ， 、 是奇数
由条件得： ，
解得： ，

， ，的平均数为
，的平均数为
， ，的平均数与 ，的平均数之和为
正整数
是5的倍数，不一定是10的倍数
“戊： 5个正整数 ， ， ， ， 满足上述3个条件，则 ， ，的平均数与 ，的平均数之和是”，结论错误；
综上所述，结论正确的个数有4个
故选：C
【点睛】本题考查了奇偶数的特点，解一元一次方程 ，求平均数等知识点，解题关键是分别表示出5个符合结论以及题干条件的数，然后利用5个数的特点与要求进行求解．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）将每小题的答案宣接填写在答题卡中对应的横线上．
13. ______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据绝对值、零指数幂和负整指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了绝对值、零指数幂和负整指数幂，准确的计算是解决本题的关键．
14. 从一副扑克牌中挑出一张红桃、三张黑桃，把它们背面朝上洗匀放在桌子上，随机从中抽取一张，记下花色后放回，再次洗匀放在桌上并随机再抽取一张，两次抽到的扑克牌花色一样的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】将两次抽牌的总情况按花色列表，再用概率等于所求情况数与总情况数之比即可．
【详解】解：列表如下：

红
红
红
黑
红




红




红




黑




由表知，共有16种等可能结果，其中两次抽到的扑克牌花色一样的有10种结果，
所以两次抽到扑克牌花色一样的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法求概率，解题关键是熟悉列表法的适用情况，并且掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以BC为直径的半圆O与AD相切于点E，连接BE，以点B为圆心，BE长为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是____．（结果保留π）

【答案】##
【解析】
【分析】阴影部分的面积＝矩形ABCD的面积－的面积－扇形的面积即可得出答案．
【详解】解：连接，

∵半圆O的直径是，半圆O与AD相切于点E，
∴，，
∴四边形为正方形，为对角线，
∴＝，，
∴阴影部分的面积＝矩形ABCD的面积－的面积－扇形的面积
即：阴影部分的面积＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的求法以及矩形的性质，勾股定理等知识点，正确得出的长以及是解本题的关键．
16. 节日将至，某水果店打算将红心猕猴桃、奉节脐橙、阿克苏糖心苹果以鲜果礼盒的方式进行销售．其中一个红心猕猴桃与一个阿克苏糖心苹果成本价之和为一个奉节脐橙的成本价的两倍，一个阿克苏糖心苹果与一个红心猕猴桃成本价之差的两倍等于一个奉节脐橙的成本价．商家打算将甲种鲜果礼盒装红心猕猴桃6个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；乙种鲜果礼盒装红心猕猴桃8个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；丙种鲜果礼盒装红心猕猴桃4个、奉节脐橙8个、阿克苏糖心苹果8个．已知每个鲜果礼盘的成本价定为各水果成本价之和，每个甲种鲜果礼盒在成本价的基础上提高之后进行销售，每个乙种鲜果礼盒的利润等于两个阿克苏糖心苹果的成本价，每个丙种鲜果礼盒的利润率和每个乙种鲜果礼盒时利润率相等．某单位元旦节发福利，准备给每个员工发一个鲜果礼盒．采购员向该水果店预订了80个甲种鲜果礼盒，预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间．该水果店通过核算，此次订单的利润率为，则该单位一共有________名员工．
【答案】140
【解析】
【分析】设一个红心猕猴桃的成本价为x元，一个奉节脐橙的成本价为z元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y元，然后由题意易得，则有甲种鲜果礼盒的成本价为元，乙种鲜果礼盒的成本价为元，丙种鲜果礼盒的成本价为元，进而可得甲的利润为元，乙的利润为元，利润率为，丙的利润为元，设预定乙种鲜果礼盒的数量为m，丙种鲜果礼盒的数量为n，则根据“订单的利润率为”列出方程，最后根据“预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间”来求解即可．
【详解】解：设一个红心猕猴桃的成本价为x元，一个奉节脐橙的成本价为z元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y元，由题意得：
，解得：，
∴甲种鲜果礼盒的成本价为元，乙种鲜果礼盒的成本价为元，丙种鲜果礼盒的成本价为元，
∴甲的利润为元，乙的利润为元，则有它的利润率为，进而可得丙的利润为元，
设预定乙种鲜果礼盒的数量为m，丙种鲜果礼盒的数量为n，由题意得：
，
化简得：，
∴，
∵预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间，
∴，即，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值可能为36、37、38、39、40、41、42、43、44，
∵n为正整数，
∴是6的倍数，
∴，
∴该单位一共有80+40+20=140（名）；
故答案为140．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握利用消元思想及不定方程的求解方法是解题的关键．
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题部必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
分析】（1）先按照完全平方公式，单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并即可；
（2）先计算括号内减法，再把除法转化为乘法运算，再约分即可得到答案．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】


．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，分式的化简，掌握“完全平方公式的应用，分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
18. 如图，在中，点为边上的中点，连接．
（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点为边上的中点，
∴，在和中，

∴ ______，
∴ ______，
∵，
∴ ______．
∴四边形是平行四边形．
又∵______，
∴平行四边形是菱形．

【答案】（1）见解析；
（2），，，．
【解析】
【分析】（1）根据题意即可完成作图；
（2）结合（1）根据菱形的判定即可完成证明．
【小问1详解】
解：如图，射线即为所求；
【小问2详解】
证明：∵点为边上的中点，
∴，在和中，

∴，
∴
∵，
∴
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．

故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图．全等三角形的判定与性质．平行四边形的判定与性质．菱形的判定．解题关键是掌握基本作图方法．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. “创文明校园，创卫生校园”一直是学校的重要工作，为了解学生对创文创卫工作的认识，某小学进行了问卷调查．现从五、六年级各随机抽取20名学生的调查结果（满分为100分，分数用x表示，共分成四个等级：A：，B：，C：，D：）若低于90分记为不合格，已知下面的信息．
五年级随机抽取了20名学生的分数是： 72，80，81，82，86，88，90，90，91，91，91，92，93，93，95，95，96，96，99，99．
六年级随机抽取了20名学生的分数中，A，B两组数据个数相等；B，C两组的数据是：86，88，90，90，91，91，91，92，92，93．
年级
五年级
六年级
平均数
90
91.5
中位数
91
a
众数
b
91
合格率
70%
m%
根据以上信息，回答下列问题：
填空：
（1）a=______ ；b=______ ；m=______ ．
（2）根据以上数据分析，你认为五、六年级哪个年级学生对创文创卫工作了解得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校五年级有200名学生，六年级有210名学生，估计这两个年级对创文创卫工作了解情况为合格的共有多少人？
【答案】（1）92； 91； 80
（2）六年级学生对创文创卫工作了解得更好，理由见解析．
（3）308人
【解析】
【分析】（1）先根据中位数和众数的定义求得a、b的值，再求出六年级成绩分数不低于90分的人数所占百分比，便可求得m的值；
（2）可从中位数、平均数的角度分析；
（3）用各年级的人数乘以合格率即可．
【小问1详解】
解：六年级成绩的中位数，
五年级成绩的众数，
六年级成绩的合格率为，
所以m＝80．
【小问2详解】
解：六年级学生对创文创卫工作了解得更好．理由如下：
六年级成绩的平均数和中位数均大于五年级．
【小问3详解】
解：（人）．
答：估计这两个年级对创文创卫工作了解情况为合格的共有308人．
【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数，解题的关键是掌握众数、中位数以及平均数的定义．
20. 如图，抛物线和反比例函数的图象都经过．

（1）求抛物线顶点B的坐标和反比例函数的表达式，并在同一坐标系中画出函数的图象；
（2）点在反比例函数的图像上，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；；图象见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把分别代入和中，解方程即可得到结论；
（2）把点在反比例函数的图像上，得到点，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
【小问1详解】
解：把代入得，，
解得，
∴，
∴抛物线顶点B的坐标为；
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
在同一坐标系中画出函数图象如图所示；
【小问2详解】
解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴点，
∴的面积；
【小问3详解】
解：由函数图象知，不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和反比例函数的解析式，三角形面积的计算，反比例函数的图形，不等式的解集，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
21. 某风景区准备修一条长6400米步道，在修了1600米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用68天完成了全部任务．
（1）原来每天修多少米步道？
（2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资329600元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？
【答案】（1）80米 （2）4000元
【解析】
【分析】（1）设原来每天修x米步道，则每天加班后修米，根据“共用68天完成了全部任务”，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：加班后每天的工作量为米，设安排工人加班前每天需支付工人工资y元，根据“加班后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资329600元，”列出方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设原来每天修x米步道，则每天加班后修米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天修80米步道；
【小问2详解】
解：由（1）得：（米），
设安排工人加班前每天需支付工人工资y元，
根据题意得，（元），
解得，
答：安排工人加班前每天需支付工人工资4000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
22. 今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处，烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进，15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．

（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．（参考数据：，结果保留两位小数）
【答案】（1）；
（2）1.37km．
【解析】
【分析】（1）根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；
（2）过点C作交AB延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形BEFD，可得，表示出DF，CF，进而得出结论．
【详解】（1）根据题意可知：，
∴，
∴，
答：妈妈步行的速度为；
（2）如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
过点D作于点F，得矩形BEFD，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：明明从C处到D处的距离约为1.37km．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．
23. 材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个致为“完全上升数”．例如：A＝123，满足1＜2＜3，且1＋2＝3，所以123是“完全上升数”：B＝346，满足3＜4＜6．且3＋4≠6，所以346不是“完全上升数”．
材料二：对于一个“完全上升数”m＝100a＋10b＋c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m′＝100c＋10b＋a，规定：
例如：m＝123为“完全上升数”m′＝321，F（m）＝．
（1）判断“上升数168，235是否为“完全上升数”，并说明理由．
（2）若m是“完全上升数”，且m与m′的和能被7整除，求F（m）的值．
【答案】或
【解析】
【分析】（1）根据题意“完全上升数”的定义判断即可；
（2）表示出m与m′，再根据m+m′能被7整除，求出F（m）的值即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴168不是“完全上升数”， 235是“完全上升数”；
（2）设“完全上升数”m的百位、十位、数字为，则个位数字为，
∵，
∴，，
则，
，
∴，，
∵，，
∴当能被整除时，能被整除，
∴时，；时，，
∴或满足题意，
当时，＝，
当时，＝，
综上，F（m）的值为或．
【点睛】本题考查了用定义解决问题，理解“上升数”和“完全上升数”的定义是解本题的关键．
24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．

（1）求的面积；
（2）如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作交直线于点D，过点P作直线轴交直线于点E，求的最大值及此时P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）10； （2）最大值为，；
（3）N点坐标为或或．
【解析】
【分析】分别求出点A，B，C的坐标，即可求解；
（2）证明，可得，再求出直线的解析式为，设，则，可用t表示出的长，并利用二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意可得平移后的抛物线的解析式为，从而得到，然后分三种情况解答，即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，
解得或4，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时；
【小问3详解】
解：∵原抛物线沿射线方向平移个单位，
∴原抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴正方向平移8个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴，
设，
①当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴）；
③当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴；
综上所述：N点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
25. 在等腰，且，．

（1）如图1，若点D是中点，过点D作于点E，，连接，求线段的长度．
（2）如图2，R，T是斜边上的三等分点，在外部取一点H，使得为等腰直角三角形，其中，，连接，求证：．
（3）如图3，在内部有一动点M，满足，将沿翻折至，取的中点N，P为线段上的一动点，连接，将沿直线翻折至，在P、M运动的过程中，当取得最小值时，且，求的值．（直接写出答案即可）
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）过点A作于点H．根据计算即可．
（2）过点A作于点P，过点H作于点Q，设，则，证明．
（3）构造辅助圆，根据正方形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理，折叠的性质计算求解即可．
【小问1详解】
解：如图1中，过点A作于点H．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：如图2中，过点A作于点P，过点H作于点Q，设，则，

∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图3中，∵，
∴，
∴点M的运动轨迹是圆，设圆心为T，连接，在优弧上取一点K，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，设，则，，
∴，
∴当点M落在线段上时，的值最小（如图4中），

∴，
过点N作于点J．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段最短是解题的关键．