福建省晋江市第一中学2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试题(含答案)

这是一份福建省晋江市第一中学2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年秋季九年级期中质量检测数学试题（满分：150分    考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的定义得出，进而求出答案．【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴，解得：，∴x的取值范围是：．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．2. 下列等式成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用二次根式的加法对A进行判断；利用算术平方根对B进行判断；利用二次根式的乘法法则对C进行判断；利用二次根式的性质对D进行判断．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；B、原计算错误，故不符合题意；C、正确，故符合题意；D、原计算错误，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．3. 如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（    ）A. O点 B. E点 C. G点 D. F点【答案】C【解析】【分析】延长AD到A1，使A1D=2OA，即可得到A的对应点A1，同法得到其余点的对应点，顺次连接，即可得到△A1B1C1．【详解】如图，点A的对应点为G点．故选：C．【点睛】本题考查了作图-位似变换，位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．4. 顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（    ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形【答案】D【解析】【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，再由矩形的对角线，即可得解．【详解】解：如图，连接、，、、、分别是矩形的、、、边上的中点，，（三角形的中位线等于第三边的一半），，，四边形是菱形．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．5. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（  ）．A.  B.  C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．【详解】解：∵关于的方程没有实数根，∴△=＜0，解得：，故选项中只有A选项满足，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.6. 若均为锐角，且，则（    ）.A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的特殊值解答即可．【详解】解：∵∠B，∠A均为锐角，且sinA=，cosB=，
∴∠A=30°，∠B=60°．
故选D．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．7. 如图，已知∠ADE=∠B，，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】关键两组对应角相等的三角形相似证明，再利用对应边成比例求．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．8. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米．A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD=3，经检验，CD=3是所列方程的解，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．9. 如图，G为的重心，过点G作，交AB、AC分别于D、E两点，若的面积为4，则的面积为（    ）A. 6 B. 8 C. 9 D. 18【答案】C【解析】【分析】延长交于H，根据三角形的重心的性质得到，根据相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：如图，延长交于H，∵G为的重心，∴，∵，∴，∵，∴，相似比为，∴与的面积之比为，∵的面积为4，∴的面积为9．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．10. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），是等腰直角三角形且，把绕点B顺时针旋转180°，得到，把绕点C顺时针旋转180°，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（    ）A. （4043，－1） B. （4043，1） C. （2022，－1） D. （2022，1）【答案】A【解析】【分析】过点P1作P1M⊥x轴于M，先分别求出点P1、P2、P3、P4的坐标并找出横纵坐标的变化规律，然后归纳出点Pn的坐标，即可求出结论．【详解】解：过点P1作P1M⊥x轴于M，∵, ，是等腰直角三角形且，P1M⊥x轴，∴AM=BM=，∴AM为的中点，在中，，AM为的中点，∴P1M==1，∴点P1的坐标为（1,1）其中横坐标为：2×1－1, 纵坐标为：，同理可得点P2的坐标为（3,-1）其中横坐标为： 纵坐标为： ，点P3的坐标为（5,1）其中横坐标为：2×3－1, 纵坐标为： ，点P4的坐标为（7,-1）其中横坐标为：2×4－1, 纵坐标为：，∴点Pn的坐标为，∴点的坐标为，即 ．故选：A．【点睛】此题考查的是探索坐标规律题，掌握等腰直角三角形的性质、找出横纵坐标的变化规律并归纳公式是解决此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 化简为最简二次根式的结果是___________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质和化简的方法进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质以及化简方法是正确解答的前提．12. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度是，堤高，则坡面AB的长度是___________m．【答案】10【解析】【分析】根据坡度的定义即可求出AC的长，再根据勾股定理即可得解．【详解】根据题意可知，即，∴，∴．故答案为：10．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理．掌握坡度的定义是解题关键．13 如果，那么______．【答案】##【解析】【分析】根据比例的性质可得，进而即可求得【详解】解：∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．14. 如图，相交于点O，添加一个条件_____________，可以使．【答案】【解析】【分析】此题是开放题，解题时注意相似三角形的判定定理．此题的已知条件为，根据有两个角对应相等的三角形相似，可添加或；根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可添加．【详解】解：此题答案不唯一：∵，要使使，∴可添加：或或，故答案为：或或．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的三角形相似．解题时注意要认真分析．15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．【答案】2【解析】【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，∴CD=AB=4，∵AF=DF，AE=EC，∴EF=CD=2，故答案为2.16. 如图，菱形的边长为8，E、F分别是、上的点，连接、、，与相交于点G，若，，则的长为___________．【答案】##【解析】【分析】证是等边三角形，推出，证明，可得，设，则，，然后证明，进而可以解决问题．【详解】解：∵菱形的边长为8，，∴，，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，，∵，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．
∴．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 计算：【答案】【解析】【分析】先求特殊锐角三角函数值，再根据零次幂、负整数指数幂的性质计算，再算加减即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了零次幂、负整数指数幂以及含有特殊锐角三角函数的实数混合运算．熟记特殊锐角三角的函数值是解题的关键．18. 解方程：．【答案】x1=3+，x2=3﹣【解析】【分析】先把-4移到方程的右边，然后方程两边都加9，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可.【详解】解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即（x﹣3）2=13，  开方得x﹣3=±， ∴x1=3+，x2=3﹣【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．19. 先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】先计算括号内的代数式，然后化除法为乘法进行化简，然后代入求值．【详解】，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值．注意先把代数式化简，然后再代入求值．20. 如图，在△ABC中，AB＝，AC，点D在AC上，且AD＝AB，(1)用尺规作图作出点D(保留作图痕迹，不必写作法)；(2)连接BD，并证明：△ABD∽△ACB．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先尺规作线段AB的垂直平分线，再以点A为圆心，以AB的一半作弧，与AC的交点即为点D的位置；（2）根据两边成比例且夹角相等证明即可．【详解】解：（1）点D的位置如图所示：（2）∵，且∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．21. 已知a，b是方程的两个不相等的实根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；    （2）；    （3）．【解析】【分析】（1）由根与系数的关系得出，整体代入计算可得；（2）将原式展开整理成，再将、的值整体代入计算可得；（3）由a是方程的一个根得到，将原式整理成，再将、的值整体代入计算可得．【小问1详解】解：∵a、b是方程的两个不相等的实根，∴，则；【小问2详解】解：由（1）得，，∴；【小问3详解】解：由（1）得，∵a是方程的根，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握是一元二次方程的两根时，，．22. 某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利125元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为80元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2250元，每件应降价多少元？【答案】（1）平均每次降价盈利减少的百分率为；    （2）若商场每天要盈利2250元，每件应降价65元．【解析】【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：，即可求解；（2）设每件应降价x元，由题意得方程，进而求解．【小问1详解】解：设盈利减少的平均百分率为a，根据题意，得：，解得：（舍）或，答：平均每次降价盈利减少的百分率为；【小问2详解】设每件应降价x元，根据题意，得，解得：，∵尽快减少库存，∴，答：若商场每天要盈利2250元，每件应降价65元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23. 八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）【答案】八仙阁AB的高度为48米．【解析】【分析】证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．【详解】解：由题意得，，则四边形均为矩形．所以米，米，在中，，则．设米，在中，，则，即，解得：，所以米，则（米）．答：八仙阁AB的高度为48米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．（1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．【答案】（1）①不“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析    （2）或    （3）时，的最大值为9【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．【小问1详解】解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；小问2详解】解：方程得：，或，方程是常数）是“差1方程”，或，或；【小问3详解】解：由题可得：∴解方程得，关于的方程、是常数，是“差1方程”，，，，，，时，的最大值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．25. 在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　   　，tan30°＝　   　，发现结论：tanA　   　2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路进行余下的求解：（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．①tan2A＝　   　；②求tan3A的值．【答案】（1），，≠；（2）﹣2；（3）①；②.【解析】【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论；（2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论；（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果；②作BM交AC于点M，使∠MBE=∠EBA，则∠BMC=3∠A．利用角平分线的性质和勾股定理求出EM的长，求tan∠BMC得结果.【详解】（1）tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA≠2tan∠A，故答案为，，≠；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，如图1，延长CA至D，使得DA＝AB，∴AD＝AB＝，∴∠D＝∠ABD，∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；（3）①如图2，作AB垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝，∴BC＝1，AB＝，设AE＝x，则EC＝3﹣x，在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，∴tan2A＝tan∠BEC＝＝，故答案为；②如图3，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y，∵∠MBE＝∠EBA，∴，即，∴BM＝y，在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2即（y）2＝（﹣y）2+1，整理，得117y2+120y﹣125＝0，解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去）即EM＝，CM＝﹣＝，∴tan3A＝tan∠BMC＝，＝＝．【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中作辅助线构造2∠A、3∠A是解决本题的关键．