【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-专题01 特殊平行四边形

这是一份【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-专题01 特殊平行四边形，文件包含期末满分冲刺2022-2023学年北师大版数学九年级上学期-专题01特殊平行四边形解析版docx、期末满分冲刺2022-2023学年北师大版数学九年级上学期-专题01特殊平行四边形原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

专题01 特殊平行四边形
一、单选题
1．下列命题中，正确的命题是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】B
【分析】利用平行四边形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线垂直、相等且平分的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
2．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（     ）

A．22 B．24 C．48 D．44
【答案】B
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解析】解： 菱形ABCD，

在Rt△BCO中， 即可得BD=8，

∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，  
BE=BC+CE=10，

∴△BDE是直角三角形，  
∴S△BDE=DE•BD=24．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
3．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）

A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
【答案】A
【分析】利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，∠DBC=45°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．
4．如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是22.5，则（    ）

A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据折叠和矩形的性质，可得∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，从而得到∠BDE=∠DBE，进而得到BE=DE，再由的面积是22.5，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
【解析】解：根据题意得： ∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵的面积是22.5，，
∴ ，解得： ，
∴，
在 中，由勾股定理得：
  ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了折叠和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
5．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（   ）度

A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】根据正方形的性质以及HL判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，即可求∠EAF=45°
【解析】解：在正方形ABCD中，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，
∵AG⊥EF，∴∠AGF=∠AGE=90°，
∵AG=AB，∴AG=AB=AD，
在Rt△ABF与Rt△AGF中，

∴△ABF≌△AGF，
∴∠BAF=∠GAF，
同理可得：△AGE≌△ADE，
∴∠GAE=∠DAE；
∴∠EAF=∠EAG+∠FAG，
∴∠EAF=45°
故选：B
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出△ABF≌△AGF．
6．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（    ）

A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5
【答案】C
【分析】先证四边形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP即可．
【解析】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
即，
故选：C．

【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（　　）

A．15 B．20 C． D．
【答案】A
【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．
【解析】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，

∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，
∴CF＝CE，，
在△CFO和△AEO中，，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB−AE＝24−CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得，
∴，
解得CE＝15，
∴AE＝15，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解决本题的关键是证明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．
8．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（    ）

A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
【答案】B
【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（    ）

A．不一定是平行四边形 B．当AC＝BD时，它为菱形
C．一定是轴对称图形 D．不一定是中心对称图形
【答案】B
【分析】先连接AC，BD，根据EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【解析】解：连接AC，BD，如图：

∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，故A错误；
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故D错误；
当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，故C错误；
∴说法正确的是当AC＝BD时，它为菱形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
10．如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、（不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ）

A．发生变化，存在最大值 B．发生变化，存在最小值
C．不发生变化，存在最大值 D．不发生变化，存在最小值
【答案】D
【分析】根据正方形的性质证明△AOM≌△BON，得到两个正方形重叠部分形成图形的面积S四边形OMBN=S△BOM+S△BON= S△BOM+S△AOM= S△AOB=S正方形ABCD为定值，再根据全等三角形与等腰直角三角形的性质得到的周长为MN+BM+BN=MN+AB=，故可得n存在最小值，故可判断求解．
【解析】∵四边形ABCD和四边形是正方形，
∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，∠MON=∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°
∴∠AOM=∠BON
∴△AOM≌△BON（ASA）
∴S△AOM≌S△BON
∵两个正方形重叠部分形成图形的面积S四边形OMBN=S△BOM+S△BON= S△BOM+S△AOM= S△AOB=S正方形ABCD
∴为定值，不发生变化，
∵△AOM≌△BON
∴OM=ON
∴△MON是等腰直角三角形
∴的周长为MN+BM+BN=MN+AB=，
故当MO最小时即OM⊥AB时，n存在最小值，
故选D．
【点睛】此题主要考查正方形的性质综合运用，解题的关键是熟知正方形的性质、全等三角形及等腰直角三角形的判定与性质．

二、填空题
11．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是_________．填代号①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【答案】④⑤⑥
【分析】根据平行四边形的性质以及矩形的性质进而分析得出答案即可．
【解析】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是90°；
⑥轴对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
【点睛】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键．
12．如图， 在矩形中， 对角线，相交于点，若，，则的长为_____．

【答案】8
【分析】由四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得，由，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得三角形为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为可得出为，在直角三角形中，根据直角三角形的两个锐角互余可得为，根据角所对的直角边等于斜边的一半，由的长可得出的长．
【解析】解：四边形为矩形，
，，且，，
，
又，
为等边三角形，
，
在直角三角形中，，，
，
，
则．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含角直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解觉本题的关键．
13．菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是________．
【答案】24
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【解析】解：如图，当BD=6时，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∵AB=5，
∴AO=，
∴AC=8，
∴菱形的面积是：BD×AC=×6×8=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
14．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________．

【答案】65°##65度
【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案为：65°．
【点睛】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．

【答案】
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【解析】解：连接OP，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE，交BD于点F．若∠CDE＝30°，则∠DFC的度数为 ___．

【答案】105°
【分析】根据正方形性质和已知得AD=DE，根据等腰△ADE顶角为120°计算∠DAE=30°，由三角形的内角和定理得∠AFD=105°，通过证明△ADF≌△CDF证出∠DFC=∠AFD即可得到答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∵DC=DE，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=90°+30°=120°，
∴∠DAE=30°，
∴∠AFD=180°-25°-45°=105°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DFC=∠AFD=105°，
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键．
17．在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，作EF⊥CD于点F，连接BF，当，AE=时，则BF=__________．

【答案】5
【分析】先由，AE=求得CE=3，AC=4，再由正方形的性质及勾股定理求得BC=CD=4，进而求得CF=3，最后勾股定理即可求解．
【解析】解：∵，AE=，
∴CE=3，AC=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，，，
∴即，
∴BC=CD=4，
∵EF⊥CD，，
∴，
∴CF=EF，
∵EF⊥CD，
∴即
∴CF=3，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连结HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连结CF．

（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___；
（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___．
【答案】     2    
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【解析】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，，

四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：2；
（2）如图2，过作，交延长线于，连接，

∵ABCD，
，
∵HEGF，
，
，
在和中，

，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
∴，
设，则，
在中，，
，
，
即，
，
，
的最小值为，此时，
的最大值为8时，，
在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；
故答案为：；
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

三、解答题
19．如图，在中，点，分别是线段，的中点，且，延长至点使得，连结和．

（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明∠CDA=90°即可；
（2）利用矩形的性质得到BD，再利用勾股定理求解．
【解析】解：（1）∵E是AC中点，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵四边形ADCF是矩形，
∴，
∵D是AB中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定，勾股定理，记住矩形的判定方法是解题关键，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，属于中考常考题型．
20．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠EAO的度数．

【答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）证明平行四边形是矩形，只需要证明对角线即可，可通过已知条件证明求得即可．
（2）要求的度数，可先求的度数，再通过两锐角互补便可，根据角的比例系数可求得，，因此，
【解析】（1）解：∵，
∴
又∵，
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴四边形是矩形
（2）解：∵ ，是矩形
∴，
∴在中，
∴在中，
∴在中，
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的性质和角的换算，通过比值换算换算出角的度数再通过三角形内角和计算是解题的关键．
21．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连结，.

（1）求证：四边形是菱形.
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）在中，平分， 平分，证明CF=DC，即可说明四边形是菱形；
（2）作PH⊥BC于点H，求出CH，PH的长，即可求出CP长.
【解析】（1）∵在中，平分，
∴∠BCE=∠DCE，∠BCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
∵平分，
∴∠ADF=∠CDF，∠ADF=∠DFC，
∴∠CDF =∠DFC，
∴CF=DC=DE，
∵ED∥FC，
∴四边形是菱形；
（2）作PH⊥BC于点H，
∵∠BAD=120°，
∴∠PCH=60°，
∵四边形是菱形，AB=2，
∴CE=2，
∴CP=1，
∴CH=，PH=，
∵BC=3，
∴BH=，
∴.

【点睛】本题是对四边形综合的考查，熟练掌握菱形知识及勾股定理是解决本题的关键.
22．已知：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，CD上的点，且AE＝CF，连接BE、BF、EF．

（1）求证：EM＝FM；
（2）若DE：AE＝2：1，设S△ABE＝S，求S△BEF（用含S的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正方形的性质得到是等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）根据题意表示出AE，DE，DF，CF的长度，进而表示出的面积，即可求出的面积．
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵AE＝CF，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴EM＝FM；
（2）∵DE：AE＝2：1，
∴设，，，
∴，
∴，
同理可求得：，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积的求法，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质．
23．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．连接DE，DF，BE，BF．

(1)证明：△ADE≌△CBF．
(2)若AB=4，AE=2，求四边形BEDF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠DAE=∠BCF=45°，再由SAS可证△ADE≌△CBF；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD=AC=8，DO=BO=4．再证明四边形BEDF为菱形，因为AE=CF=2，所以可得OE=2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE=2，进而四边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案．
（1）
证明：∵正方形ABCD，
∴AD=BC=AB=CD，∠DAE=∠BCF=45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
（2）
解：∵AB=AD=，
∴BD==8，
∵正方形ABCD，
∴AC=BD=8，DO=BO=4，OA=OC=4，AC⊥BD
∵AE=CF=2，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF=4-2=2，
故四边形BEDF为菱形．
∴DE=BE=BF=DF
∵∠DOE=90°，
∴DE===2．
∴4DE=，
故四边形BEDF的周长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．
24．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连结MG．若MG＝5，正方形边长为8，求BE的长．

【答案】（1）①见解析；②GFC是等腰三角形，理由见解析；（2）BE的长为14或2．
【分析】（1）①根据SAS证明DAH≌DCH，即可解决问题；
②只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题①如图当点F在线段CD上时，连接DE．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．由勾股定理分别求出EC即可解决问题．
【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在DAH和DCH中，
，
∴DAH≌DCH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：GFC是等腰三角形，
理由：∵DAH≌DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴GFC是等腰三角形．
（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．

∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝10，
在RtDCE中，CE＝＝＝6，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．

同法可证GM是DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝10，
在RtDCE中，CE＝＝＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2．
综上所述，BE的长为14或2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，在中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
【答案】（1）见解析；（2）①12；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再根据中点的定义得到AF=BE，可得四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AF，可得结论；
（2）①连接AE交BF于点O，由菱形性质可得∠AOB=90°，从而求出菱形ABEF的面积，可得四边形ABCD的面积，根据CG⊥AB可得CG，从而求出AG，证明△AFG≌△DFH，得到AG=DH，在△GCH中利用勾股定理求出GH即可；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，求出FK，从而得到△BGF和△BGC的面积，从而分别得出S1和S2，可得S1-S2．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴AF=AD，BE=BC，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①连接AE交BF于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=BE=4，OA=OE=AE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA==3,
∴AE=2OA=6，
∴S菱形ABEF=AE·BF=×6×8=24，
∵E、F分别是BC、AD中点，
∴BE=EC，AF=FD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，
∴S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，
∴S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，
∵CG⊥AB，
∴S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°，
∴CG=，
∵AD=BC=2AB=10，
∴BG=，
∴AG=AB-BG=5-=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFH中，
，
∴△AFG≌△DFH（ASA），
∴AG=DH=，
∴CH=CD+DH=5+=，
在Rt△GCH中，GH==12；

②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，
∴S四边形ABEF=AB·FK=5FK=24，
∴FK=，
∴S△BGF=BG·FK==，
S△BGC=BG·CG==，
∵S2=S△BGC-S△BGP=-S△BGP，
S1=S△BGF-S△BGP=-S△BGP，
∴S2-S1=-=．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，重点考查了几何图形的推理论证能力，同时也要结合已知条件作出辅助线，扩大运用范围．
26．如图1，已知正方形ABCD，对角线交于点O，H为边AB上一点，且满足OHBC，

(1)求证：H为AB中点；
(2)如图2，E为AD上一点，F为CD上一点，且AF=BE，求证：AF⊥BE；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HG，K为AF上一点，连接DK、KC、OK，若满足∠ABE+∠AKD+∠KCD=135°，，△OKD的面积为，求CK长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）取中点M，连接，利用正方形的性质及中位线的性质与平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，即可证明；
（2）根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得出，结合图形求解即可；
（3）根据直角三角形斜边上的中线得出，结合图形及各角之间的关系得出，过C作延长线于点W，过O作于Q，作于P，得出四边形OPWQ为矩形，再由全等三角形及正方形的判定得出四边形为正方形，结合正方形的性质及题意得出，设，利用勾股定理求解即可得出结果．
（1）
证明：取中点M，连接，
∵四边形为正方形，

∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴H为中点．
（2）
解：∵四边形为正方形  
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）
∵中，，HG为斜边中线，，
∴
由，
由（2）得∠DAK=∠ABE，  
∴，
∴，
∴


=135°，
∴，
过C作延长线于点W，
过O作于Q，作于P，
∴四边形OPWQ为矩形，  
∴，
即，
∵OC=OD，
∴，
∴OP=OQ，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，  
∴WK=CW，
∵，
∴DQ=PC，即PW+CW=KQ+DK，
∵，
∴DK=2PW=2OQ，
由的面积得，
解得：，
设，  
在，
，
解得：（负值舍去），
．
【点睛】题目主要考查正方形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理解三角形等，综合性较强，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．