【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-专题02 一元二次方程

这是一份【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-专题02 一元二次方程，文件包含期末满分冲刺2022-2023学年北师大版数学九年级上学期-专题02一元二次方程解析版docx、期末满分冲刺2022-2023学年北师大版数学九年级上学期-专题02一元二次方程原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
专题02 一元二次方程
一、单选题
1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．
【解析】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；
②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；
③x2＋＋5＝0是分式方程；
④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；
⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；
⑥12x-10=0是一元一次方程．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
2．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ）
A．1 B． C．6 D．1或
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义可得出，解出m的值即可．
【解析】根据题意可知，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出关于m的关系式是解题关键．
3．用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化二次项系数为1，把常数项3右移，然后等式两边同时加上一次项系数−的一半的平方，再整理即可．
【解析】解：由原方程得，−x=-3，
配方得：−x+=-3+，即．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，
4．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ）
A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法
B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法
D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
【答案】D
【分析】要看式子的特点，先看它是几项式，再看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法．
【解析】解：①3x2-12=0符合ax2=b（a，b同号且a≠0）的特点所以用直接开平方法；
②3x2-4x-2=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；
③20x2-9x-16=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；
④3（4x-1）2=7（4x-1），可以把4x-1看做是个整体，利用因式分解法解方程，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
5．方程4x2﹣2x﹣1=0根的情况为(   )
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】计算出判别式的值即可判断．
【解析】解：∵Δ=（-2）2-4×4×(-1)=4+16=20>0，
∴方程4x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
6．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（    ）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】设小道的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为（40-2x）m，宽为（26-x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为864m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）
A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
【答案】B
【解析】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，可得：α•β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，
故选B．
8．已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，且 ，则 的值为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得，代入代数式即可求解．
【解析】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而得出答案．
【解析】当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，△=1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x-m+1=0分解为
（mx2-m）+（x+1）=0
m（x2-1）+（x+1）=0
m（x+1）（x-1）+（x+1）=0
（x+1）（mx-m+1）=0，
当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．
10．2020年国庆节即将来临，荣县一中准备在初三年级选取部分班级组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应选取（    ）支球队参加比赛
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x−1）场球，第二个球队和其他球队打（x−2）场，以此类推可以知道共打（1＋2＋3＋…＋x−1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【解析】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1＋2＋3＋…＋x−1＝15，即，
∴，
∴x＝6或x＝−5（不合题意，舍去），
答：应邀请6个球队参加比赛，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，注意：此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
11．若的三边分别为、、，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，则的形状为（　　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】先根据方程有两个相等的实数根得，再得，得直角三角形；由得a=10，b=10，从而可得为等腰直角三角形．
【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
∴为直角三角形，
又，
∴a=10，b=10，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②正确；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．

二、填空题
13．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
【答案】     m=﹣1     ﹣2     ﹣4     3
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解析】解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，
解得m=1或﹣1且m≠1，
所以，m=﹣1，
m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
所以，此方程为，
所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．
故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．若一元二次方程的一个根为0，则___________．
【答案】1
【分析】把代入原方程求得a的值，结合一元二次方程的定义综合得到答案．
【解析】解：把代入得：，
解得：，
又因为：为一元二次方程，
所以：，
所以：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念及一元二次方程的解，掌握相关知识点是解题关键．
15．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______．
【答案】24
【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=48，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【解析】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，
∴ab=48，
∴菱形的面积=ab=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
16．若a是方程的解，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】将代入方程，得，代入代数式即可求出代数式得值．
【解析】解：∵a是方程的解
∴
∴
∴


故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程的解代入代数式．
17．已知x2＝2x+15，则代数式=__________．
【答案】或
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
【解析】解：
＝
＝2x×
＝．
∵，
∴，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝4；
当x＝﹣3时，原式＝．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
18．某中学组织初二学生开展篮球比赛，以班为单位单循环形式（每两班之间赛一场），现计划安排21场比赛，则共有_____个班级参赛．
【答案】
【分析】设有x个班级参赛，x个球队比赛总场数为，即可列方程．
【解析】解：设有x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：，
解得：，（舍），
则共有个班级参赛，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，得到总场数的等量关系是解本题的关键．
19．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是______ ．
【答案】2018
【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案．
进行求值即可．
【解析】解：，
，




，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
20．如图，正方形ABCD中，，点E在AD上，，连接BE将△ABE沿着BE翻折得△FBE，点A的对应点为点F，连接CF，则CF的长为______．

【答案】
【分析】过点F作MN∥AB交AD，BC于点M，N，由翻折可知：EF=AE=1，BF=AB=3，∠EFB=∠A=90°，设 则 由勾股定理可得 解得EM=，FN=，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解析】解：如图，过点F作交AD，BC于点M，N，

在正方形ABCD中，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
四边形ABNM为矩形，

∵AD=BC=AB=3，DE=2AE，
∴AE=1，DE=2，
由翻折可知：EF=AE=1，BF=AB=3，∠EFB=∠A=90°，
设
则
∴  
解得：，（不符合题意的根已舍去）
∴
∴CN=DM=DE-EM=2-=，
在Rt△FCN中，根据勾股定理得：

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用，正方形的性质，熟练掌握折叠的性质、一元二次方程的解法是解决问题的关键．

三、解答题
21．方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0
(1)m为何值时，方程是一元二次方程；
(2)m为何值时，方程是一元一次方程．
【答案】(1)m＝﹣3
(2)3或±2或±

【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案；
（2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案；
（1）
解：根据题意，则
∵方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程，
∴且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．
故m为﹣3时，原方程是一元二次方程；
（2）
解：根据题意，则
∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，
∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或或，
解得m＝3或m＝±2或m＝±
故m为3或±2或±时，原方程是一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算．
22．请选择合适的方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
（1）
解：∵原方程中，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）
解：将原方程因式分解得：，
∴或，
∴，．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，利用公式法解方程要求熟练掌握求根公式，利用因式分解法解方程要求会熟练进行因式分解．
23．已知关于x的方程．
(1)求证：不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为−3，求该方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)1

【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可；
（2）把x＝﹣3代入求出k，再解一元二次方程即可得到另一根．
（1）
证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）
解：把x＝3代入得：
9﹣3k+k﹣5＝0，
解得k＝2，
∴原方程为，
∴，
∴方程的另一个根为1．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）当⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当⇔方有两个相等的实数根；（3）当⇔方程没有实数根，和理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．
24．关于x的一元二次方程
(1)若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围；
(2)若、是方程的两根，且出，求k的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据方程有两个不等的实数根，可得，代入求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，然后根据列方程求解即可．
（1）
解：关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，
，
解得：；
（2）
若、是方程的两根，
，，
，
，
整理得：，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，熟知：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；对于一元二次方程的两个根：；是解本题的关键．
25．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．

(1)用含x的代数式表示y，并求出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积为76.5平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
【答案】(1)．
(2)AB的长为7米．
(3)不能围成面积为76.5平方米的花圃．

【分析】（1）根据各边长度间的关系可得出米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y；
（2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）不能围成面积为76.5平方米的花圃，根据围成花圃的面积为76.5平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△