【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-特训02 几何篇-解答题（第1、4章）

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特训02 几何篇-期中解答题（第1、4章）
基础特训练

特训第一阶——基础特训练
一、解答题
1．已知：如图，在□中，点、分别在、上，且平分，//．求证：四边形是菱形．

【答案】见详解
【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得AB＝AE，可得结论．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质等知识，证明AB＝AE是解题的关键．
2．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．

【答案】
【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．
【解析】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，
，
菱形的面积为，
∴，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．
3．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．

【答案】见解析
【分析】根据垂直的性质可得，利用各角之间的等量关系可得，再由矩形的判定定理即可证明．
【解析】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】题目主要考查矩形的判定定理及各角之间的等量代换，理解题意，结合图形，熟练运用矩形的判定定理是解题关键．
4．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．

【答案】证明见解析．
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，

∴（SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，．
（1）若，，求的长；
（2）求证：四边形是菱形．

【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得；
（2）先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得证．
【解析】解：（1）四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2），，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，，．

(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24

【分析】（1）先证四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝BC＝CD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质和三角形面积关系得S菱形ADCE＝2S△ACD＝S△ABC，即可求解．
（1）
证明：∵，，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）
解：∵四边形ADCE是菱形，点D是BC的中点，
∴S菱形ADCE＝2S△ACD＝S△ABC＝AB•AC＝×8×6＝24．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ADCE为菱形是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．

(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由见解析

【分析】（1）根据矩形的性质得∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，，利用HL即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得BE＝DF，即可得CE＝AF，根据可证四边形AECF是平行四边形，根据可得四边形AECF是菱形．
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴（HL）；
（2）
当时，四边形AECF是菱形，理由如下：
解：∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BC＝AD，
∴CE＝AF，
∵，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵，
∴四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键
8．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点， F为BC延长线上的一点，且CE=CF．

(1)求证： BE=DF
(2)若∠CDF=40°，求∠BEF的度数
【答案】(1)见详解
(2)95°

【分析】（1）可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等；
（2）由（1）中的全等可得∠DFC=∠BEC=50°，易得∠CFE=45°，相加即可得到所求角的度数．
（1）
证明：∵ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠ECB=∠FCD，
∵，
∴,
∴BE=DF；
（2）
∵∠CDF=40°，∠DCF=90°，
∴∠DFC =50°，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠DFC=∠BEC=50°，
∵CE=CF，∠DCF=90°
∴∠CEF=45°，
∴∠BEF=∠CEF+∠BEC =95°．
【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形和全等三角形的相关知识是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．

(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)正方形，

【分析】（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形；
（2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可．
（1）
解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）
解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE，
∴四边形ADCE是正方形，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，三线合一定理，熟知相关特殊四边形的性质与判定条件是解题的关键．
10．如图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，求证：四边形AECF是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB=DC，AB∥DC，再证AE=CF，即可得出结论；
（2）证出∠CEO=∠CFO，则CE=CF，再由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
又∵BE=DF，
∴AB+BE=DC+DF，
即AE=CF，
∵AE=CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分；
（2）∵AB∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO=∠CEO，
∴∠CEO=∠CFO
∴CE=CF，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定，证明四边形AECF为平行四边形是解题的关键．
11．如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在AB与BC边上的点，且BE=CF．求证：

(1)OE⊥OF．
(2)若正方形的边长为1cm，求出四边形OEBF的面积
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）首先根据题干条件证明△OBE≌△OCF，进而得到∠BOE=∠COF，再利用角之间的关系得到∠EOF=∠BOC=90°，于是结论得证；
（2）由（1）得出，再求出OB=OC，则可由=得出结果．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF，AC⊥BD，
∵BE=CF，
∴△OBE≌△OCF，
∴∠BOE=∠COF，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠EOB+∠BOF=∠EOF，∠COF+BOF=∠BOC=90°，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴OE⊥OF．
（2）
解：∵边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴BC=1，OB=OC，∠BOC=90°，
∴OB=OC=BC=，
由（1）知，△BOE≌△COF，
∴，
∴
=
=
=．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是求出∠EOF=∠BOC=90°，此题难度不大．
12．如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，过点作于点，交于点．

(1)求证：；
(2)若，是的角平分线，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF=∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根据正方形的性质，可知BC=2，即可求出OE．
（1）
证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，
∴∠EOC=∠GOB=90°，
∴∠OEC+∠OCE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠OEC+∠OBG=90°，
∴∠OBG=∠OCE，
在△EOC和△GOB中，
，
∴△EOC≌△GOB（ASA），
∴BG=CE；
（2）
解：∵BF⊥CE，
∴∠EFB=∠CFB=90°，
∵BF是∠DBC的角平分线，
∴∠EBF=∠CBF，
∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF（SAS），
∴BE=BC，
在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，
∵OB=，
根据勾股定理，得BC=2，
∴OE+=2，
∴OE=2-．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
13．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：线段CE、CG、BC之间的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，推出DE=EF，即可证明；
（2）根据正方形的性质，利用SAS证明，推出，根据勾股定理，在中，，则．
（1）
证明：如图所示，过点作于点，作于点，
四边形ABCD为正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
∴在和中，
，
，
，
矩形为正方形．

（2）
解：，理由如下：
矩形为正方形，
，．
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
．
在中，，
．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，以及全等三角形的判定与性质，解题关键在于证明．
14．如图1，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于点E、F、O，连接CE、AF．

(1)求证：四边形AFCE为菱形；
(2)如图2，若，连接BE、DF分别交AF于点G，交CE于点H．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形(不包括四边形ABCD和四边形AFCE)．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形ABFE、平行四边形CDEF，平行四边形BEDF、平行四边形EGFH．

【分析】（1）证△AOE≌△COF（ASA），得EO=FO，则四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的判定与性质分别进行判定即可．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠EAC=∠FCA，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EF⊥AC，OA=OC，
在△AOE与△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）
解：图2中的所有平行四边形（不包括四边形ABCD和四边形AFCE）为平行四边形ABFE、平行四边形CDEF，平行四边形BEDF、平行四边形EGFH，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，
∵∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，
由（1）可知，四边形AFCE为菱形，
∴EF⊥AC，
∴ABEF，
∵ADBC，
∴四边形ABFE是平行四边形；
∴AE=BF，
∵ABEF，ABCD，
∴CDEF，
∴四边形CDEF是平行四边形；
∴DE=CF，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=CF，AFCE，
∴AE=DE，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
∴BEDF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点睛】本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，已知中，，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）或
【分析】（1）根据同角的余角相等，证明，然后根据正方形的性质，得出边相等，由三角形全等的判定条件SAS即可证明
（2）由（1）中全等的性质以及勾股定理求出DG的长，根据正方形的性质：对角线相等即可求解
（3）根据SAS证明，然后根据全等的性质，在直角△GFC根据勾股定理即可求解
【解析】（1）证明：四边形是正方形
，




在和中


故答案为
（2），，
在中



由（1）知，
，

连接

在中

四边形是正方形


故答案为
（3）如图所示，连接FG

四边形是正方形
，



由（1）知，
，，



在和中





设，则
由（2）知
在中


，
的值为或．
故答案为或
【点睛】本题主要考察三角形全等的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键
16． 如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．

(1)求证：
①BM＝CN；
②CN⊥BM；
(2)如图2，若M，N分别在OA，OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由．
【答案】(1)①见解析
②见解析
(2)成立，理由见解析

【分析】（1）①延长CN交BM于P，由四边形ABCD是正方形，得到OC=OB，∠COB=∠BOA=90°，于是推出△CON≌△BOM，结论可得；
②根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）成立，延长MB交CN于P，通过证明△CON≌△BOM，得到BM=CN，∠ONC=∠OMB根据等角的余角相等即可得到结论．
（1）
证明：①∵ABCD是正方形，
∴OB=OC， ∠BOM=90°=∠CON，
又OM=ON．
∴△BOM≌△CON(SAS)，
∴BM=CN，(全等三角形的对应边相等)．
②延长CN交BM于E，如图，

∵△BOM≌△CON，
∴∠MBO=∠NCO(全等三角形的对应角相等)．
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD (正方形的对角线互相垂直)．
∴∠BOM=90°，
∴∠BMO+∠MBO=90°，
∴∠BMO+∠NCO=90°，
∴∠CEM=90°，
∴CN⊥BM．
（2）
解：成立；
证明：如图2，延长MB交CN于P，

∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠COB=∠BOA=90°，
在△CON与△BOM中，
，
∴△CON≌△BOM(SAS)，
∴BM=CN，∠ONC=∠OMB，
∵∠CNO+∠OCN=90°，
∴∠OMP+∠OCN=90°，
∴∠CPM=90°，
∴CN⊥BM．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）设代入求值即可；
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，从而可得结论．
【解析】解：（1）由设
∴
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得

整理得，
∴
∴
∴
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键．
18．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
【答案】
【分析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化简求解即可．
【解析】∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
∴
＝
＝
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．
19．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．

【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【解析】解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，

∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
20．如图，在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO：OE的值．

【答案】2：1
【分析】由E是AC的中点， ED∥AF，得FD=DC，又F是BC的中点，易得BO：OE=BF：FD=2：1．
【解析】∵E是AC的中点， ED∥AF
∴FD=DC
又∵F是BC的中点
∴BF=FC=2FD
∴BO：OE=BF：FD=2：1．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找准图中相等的比例关系．
21．如图，在中，，，，．

（1）求证：∽；
（2）求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，，从而可得到∽；
（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，从而可得到EC的长度．
【解析】（1）∵，
∴，，
∴∽；
（2）∵∽，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.
22．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，进而可证△ADF∽△DEC．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．
23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
24．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明△ACB∽△ECF．从而得到结论．
（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，从而得到结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．
∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴．
∴CF•CA＝CB•CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴．
∴．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用．
25．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足．

(1)求证：
(2)求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析

【分析】（1）根据DFBC，得，由AB⋅AF=DF⋅BC，得，∠AFE=∠DFA，可证△AEF∽△DAF，即可得答案；
（2）根据ABCD，得，由，得，再证四边形DFBC是平行四边形，得，最后根据DFBC，即可得答案．
(1)
解：∵DFBC，
∴ ，
∴，
∵AB⋅AF=DF⋅BC，
∴，
∴，
∵∠AFE=∠DFA，
∴△AEF∽△DAF，
∴∠AEF=∠DAF；
(2)
∵ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵DFBC，ABCD，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∴DF=BC，
∴，
∵DFBC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，做题的关键是相似三角形性质的灵活运用．
26．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．
(2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

培优特训练

特训第二阶——拓展培优练

一、解答题
1．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．

(1)若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
(2)用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)∠POE＝90°－2α
(2)BP＝，证明见解析
【分析】（1）先根据正方形的性质得：∠DBC=∠CDB=45°，则∠DBP=45°-α，根据直角三角形斜边中线的性质可得EO=BO，由等腰三角形性质和外角的性质可得结论；
（2）作辅助线，证明△ABE≌△CBE，则AE=CE，根据直角三角形斜边中线的性质得：OC=OB=OP=OE，证明△EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：BP=EC，所以BP=AE．
（1）
在正方形ABCD中，
BC＝DC；∠C＝90°
∴∠DBC＝∠CDB＝45°
∵∠PBC＝α
∴∠DBP＝45°－α
∵PE⊥BD，且O为BP的中点
∴EO＝BO
∴∠EBO＝∠BEO
∴∠EOP＝∠EBO＋∠BEO＝90°－2α
（2）
连接OC，EC
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE
∴AE＝CE
在Rt△BPC中，O为BP的中点
∴CO＝BO＝
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠COP＝2α
由（1）知∠EOP＝90°－2α
∴∠EOC＝∠COP＋∠EOP＝90°
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形
∴
∴EC＝OC
即BP＝
∴BP＝

【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，第（2）问有难度，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
2．如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作AF∥BC交的延长线于点，连接、，过点作于点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①四边形是______特殊四边形；
②若，，当______时，四边形是矩形；
③若，，当四边形是菱形时，则______．
【答案】(1)证明见解析
(2)①平行四边形，理由见解析；②3；③

【分析】由三角形中位线定理得，再由，即可得出结论；
由可知，四边形是平行四边形，则，再证，即可得出结论；
由矩形的性质得，再由线段垂直平分线的性质得即可；
由菱形的性质得，，再证是直角三角形，，则，然后由菱形的面积求解即可．
（1）
证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）
解：四边形是平行四边形，理由如下：
由可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
四边形是矩形，
，
，
，
，
故答案为：；
四边形是菱形，
，，
，
是直角三角形，，
，
由可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
3．已知：正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E是线段OC上的一动点，过点A作AG⊥BE交G，交BD于F．
(1)若动点E在线段OC上（不含端点），如图（1），求证：OF＝OE；
(2)若动点E在线段OC的延长线上，如图（2），试判断△OEF的形状，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析
(2)△OEF是等腰直角三角形，理由见解析

【分析】（1）根据题目已知条件证明AOF≌BOE即可得出答案；
（2）连接EF，同（1）中证明△AOF≌△BOE可得出结论．
（1）
解：证明：四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB ，AOB=BOC=90°
∵AG⊥BE交于点G，
∴∠AGE=90°
∴GAE+AEG=OBE+BEO=90°,
∴GAE=OBE
在△AOF和△BOE中
,
∴AOF≌BOE(ASA) ，
∴OF=OE；
（2）
△OEF是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接EF，

与（1）同理可证明△AOF≌△BOE（ASA）
∴OF=OE，
又∠BOC＝90°，
△OEF是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质定理以及全等三角形的判定与性质定理是解本题的关键．
4．已知菱形的对角线、交于点．

(1)如图，若点是上任意一点不与端点、重合，连接、求证：；
(2)如图，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若、、三点共线．求证：；
(3)如图，在菱形中，，，点为射线上的动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）如图中，连接，在上取一点，使得OG=OQ，连接，证明△BHG≌△AHC，推出BG=AC=2OC， QG=QC=OG，设OG=m，则，GQ=CQ=m，求出OG+OC=；
（3）如图中，以为边作等边△ABT，连接，过点作TH⊥AD 于点，在TH上取一点，使得AJ=JT，证明△ABQ≌△TBT，推出AQ=PT，当TP与TH重合时，的值最小，此时的值最小．
（1）
解：如图中，∵四边形是菱形，
，，
；
（2）
如图中，连接，在上取一点，使得OG=OQ，连接，
∵AD⊥AD，，
∴∠ADF=∠F=45°，
四边形是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，ADCB，
，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
，
∴∠DAC=∠DCA=67.5°，
∴∠HAC=∠HBG=22.5°，
∴△BHG≌△AHC，
∴BG=AC=2OC，
垂直平分线段，
，
∴∠GCA=∠GAC=22.5°，
∵OQ=OG，
∴∠OGQ=∠OQG=45°，
∵∠OQG=∠QGC+∠QCG，
∴∠OGC=∠GCQ=22.5°，
∴QG=QC=OG，
设OG=m，则，GQ=CQ=m，
∴OC=m+m，
∴OG+OC=m+m+m=2m+m，
∵
∴OG+OC=；

（3）
如图中，以为边作等边△ABT，连接，过点作TH⊥AD 于点，在TH上取一点，使得AJ=JT，
∵∠PBQ=∠ABT=60°，
∴∠ABQ=∠TBP，
∵BP=BQ，，
∴△ABQ≌△TBT，
∴AQ=PT，
当与TH重合时，的值最小，此时的值最小．
四边形是菱形，
∴ADCB，
，
∵∠ABC=45°，∠BAT=60°，
∴∠BAD=135°，∠TAH=75°，
∵∠AHT=90°，
∴∠ATH=15°，
∵JA=JT，
∴∠JAT=∠JTA=15°，
∴∠AJH=∠JAT+∠JTA=30°，
设，则AJ=JT=2a，，
∵AT=AB=12，
∴
解得：
∴，
的最小值为．

【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
5．如图①，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．

(1)当时，求点的坐标；
(2)若点是的中点，连接，．当点在移动的过程中，等于多少度时，点，，，能组成平行四边形，并说明理由；求出此时点的坐标；
(3)连接，当点在移动的过程中，的长度是否存在最大值．如果存在，请直接写出结果；如果不存在，请简单说明理由．
【答案】(1)
(2)，此时
(3)存在，

【分析】（1）作CE⊥y轴，先证∠CDE=∠OAD=30°得CE=CD=，DE=，再由∠OAD=30°知OD=AD=3，从而得出点C坐标；
（2）延长交于点，依题意可得是等腰直角三角形，根据平行四边形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据平行四边形的性质，可得，即可得出，进而证明是等腰直角三角形即可求得，继而根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得，，根据平行四边形的性质求得，即可求得点的坐标；
（3）由M为AD的中点，知OM=3，CM=，由，知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值．
（1）
解：如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=30°，
∴在Rt△CED中，CE=CD=，DE=，
在Rt△OAD中，∠OAD=30°，
∴OD=AD=3，
∴点C的坐标为
（2）
当四边形是平行四边形时，如图，延长交于点，

是的中点，

是等腰三角形

是等腰直角三角形

四边形是平行四边形，
∴


是等腰直角三角形
，
是等腰直角三角形
，

四边形是平行四边形，







（3）
存在，OC的最大值为，
如图2，设M为AD的中点，

∴OM=3，CM=，
∴OC≤OM+CM=，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值，
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
6．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．

(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BCA＝∠DCA＝45°，再利用对顶角相等可得∠ACF＝∠ACE，然后根据角平分线的定义可得∠EAC＝∠FAC，从而证明△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性质即可解答；
（2）根据正方形的性质可得AC＝AB，再利用三角形的外角和已知∠EAF＝45°，可得∠AEC＝∠FAC，然后再利用（1）的结论可证明△ECA∽△ACF，利用相似三角形的性质即可解答．
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵∠BCF＝∠DCE，
∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAC＋∠EAC＝45°，
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°，
∴∠AEC＝∠FAC，
由（1）得：∠ACF＝∠ACE，
∴△ECA∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝CE•CF，
∴（AB）2＝CE•CF，
∴CE•CF＝2AB2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连接AF交DE于点G．

(1)如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
(2)如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
(3)在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG=AE？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）利用SAS证明△ABF≌△DAE即可；
（2）利用勾股定理求出AC的长，证明△AEG∽△CDG，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）由（2）可知当F与C重合时，此时，则要使AE=AG，那么点F要在BC的延长线上，如图所示，设AF与CD交于M，先证明MG=MD，在Rt△ADM中由勾股定理得到，求出，则，证明△ADM∽△FCM，求出，由此即可得到答案．
（1）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，AB=DA=BC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
（2）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=2，，∠B=90°，
∴△AEG∽△CDG，
∵E是AB的中点，
∴AB=CD=2AE，
∴，
∴CG=2AG，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∵AC=AG+CG，
∴，
∴；
（3）
解：当时，，理由如下：
由（2）可知当F与C重合时，此时，
∴要使AE=AG，那么点F要在BC的延长线上，如图所示，设AF与CD交于M，
若AE=AG，则∠1=∠2，
∵，  
∴∠1=∠4，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
∴MG=MD，
在RT△ADM中，，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△ADM∽△FCM，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件，正方形的性质是解题的关键．
8．如图1，四边形是矩形，点P是对角线上的一个动点（不与A、C重合），过点P作于点E，连接，已知，设．

(1)当时，求的长；
(2)如图2，连接，交于点O，若，求此时m的值？
(3)如图3，过点P作交边于点F，设，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，16

【分析】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）先判断全等三角形△BOC∽△ACB，再根据全等性质求出OC，再利用△ACD∽△PCE对应边成比例，得到CE＝，最后利用△EOC∽△ADC，对应边成比例，列出方程求解．
（3）根据相似三角形的判定和性质得到△BPG∽△PFE，利用相似比得到，由△ACD∽△PCE的对应边成比例得到，从而列出方程即可求解．
（1）
解：由已知，在Rt△ADC中，，
当AP＝m＝2时，PC＝AC﹣AP＝5﹣2＝3，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
∴，
即,
∴PE＝；
（2）
解：如图， BE⊥AC

∴∠BOC＝∠EOC＝90°，
∴∠BOC＝∠ABC
∵∠BCO＝∠ACB
∴△BOC∽△ACB，
∴，
即，
∴OC＝；
∵AP＝m，则PC＝5﹣m，
由（1）得：△ACD∽△PCE，
∴，
即，
∴CE＝，
∵∠EOC＝∠ADC＝90°，∠ECO＝∠ACD
∴△EOC∽△ADC，
∴， 即，
解得：m＝
（3）
如图2，延长EP交AB于G，

∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，
∴△BPG∽△PFE，
∴，
由（1）得：△PCE∽△ACD，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴5m+4n＝16．
【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理进行解答．
9．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两条直角边分别与交于点D和点B．

【探究一】小明说：由四边形内角和知识很容易得到的值．
如果你是小明，得到的正确答案应是：___________．
【探究二】小亮说：连接（如图2），若平分，那么也平分．请你说明当平分时，也平分的理由．
【探究三】小红说：若平分平分，我发现与具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断与有怎样的位置关系并说明理由．
【答案】【探究一答案】180
【探究二答案】证明见解析
【探究三答案】见解析，
【分析】（1）根据四边形的性质，可得答案；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解；
（3）根据补角的性质，可得,根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
【解析】
【探究一详解】由四边形内角和，得：
，
故答案为：180．
【探究二详解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
【探究三详解】如图，延长DE交BF于G，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，利用相似三角形的判定与性质是解题关键．
10．如图，在矩形ABCD中，，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．

(1)若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
(2)试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
(3)连接CP，若，，求线段BE和CP的长．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
(3)，

【分析】（1）根据，BC＝8，E是BC中点，得AB=12，BE=4，设BF=x，则AF=12-x，在Rt△BEF中，可得，解得x即可；
（2）由A、E关于FG对称，即得GF⊥AE，过点G作GM⊥AB于点M，可证△ABE∽△GMF，即得，故；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于点N，利用相似三角形的性质求出PN、CN即可解决问题．
（1）
∵，BC＝8，E是BC中点，
∴AB=12，BE=4，
设BF=x，则AF=12-x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF=AF=12-x，
在Rt△BEF中，，
可得，
解得，
∴BF= ；
（2）
，，
理由如下：∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于点M，如图：

∵AE⊥GF，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD，
∴；
（3）
过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：

由，设BE=3k，则BF=4k，
EF=AF=5k，AB=9k，
∵，，
∴AE=，
∴，
∴k=1或-1（舍），
∴BE=3，AB=9，
∵BC:AB=2:3，
∴BC=6，
∴BE=CE=3，AD=PE=BC=6，
∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，
∴∠FEB+∠PEN=90°，∠PEN+∠EPN=90°，
∴∠FEB=∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴，
∴，
∴，，
∴CN=EN-EC=，
∴，
∴BE=3，CP= ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．