【期末满分冲刺】2022-2023学年 北师大版数学九年级上学期-特训03 代数篇（第2、3章）

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特训03 代数篇（第2、3章）
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ）
A．5x2+2x＝6 B．x2+y2＝4 C． D．3x+1＝0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ）
A．2 B． C．2或 D．0
【答案】B
【分析】把0代入一元二次方程，得，根据一元二次方程的形式：，即可．
【解析】解：∵0是的根
∴
∴
∵一元二次方程
∴
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义和解．
3．用配方法解方程时．变形结果正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可．
【解析】解：



．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的边长为（    ）
A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定
【答案】B
【分析】求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长．
【解析】解：方程x2-3x-4=0因式分解得：（x-4）（x+1）=0，
解得：x=4或x=-1（舍去），
∴等腰直角三角形斜边上的高为4，即为斜边上的中线，
则这个直角三角形斜边的边长为8．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
5．随着10月18号第十七届景德镇国际博览会开幕，吸引来无数国内外陶瓷爱好者来景德镇旅游，外国友人汤姆和杰瑞计划看完陶瓷会展之后，然后各自在“古窑”，“瑶里”，“古县衙”，“陶溪川”这四个景点中选一个去参观，汤姆和杰瑞正好选中同一地方的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用列表法得到16种等可能结果，其中汤姆和杰瑞正好选中同一地方的有4种情况，再根据概率公式计算，即可求解．
【解析】解：设“古窑”，“瑶里”，“古县衙”，“陶溪川”这四个景点分别用A、B、C、D表示，
根据题意，列出表格如下：

A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD

一共得到16种等可能结果，其中汤姆和杰瑞正好选中同一地方的有4种情况，
∴汤姆和杰瑞正好选中同一地方的概率是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
6．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8-2x）cm，宽为（5-2x)cm，然后根据底面积是，即可列出方程．
【解析】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（8-2x）（5-2x）=18，
故选：B．
【点晴】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题意，正确理解题意，利用题目的数量关系列出方程．
7．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（    ）
A．60 B．56 C．54 D．52
【答案】C
【分析】设设黑色棋子有x枚，根据摸到白色棋子的频率稳定在0.1列出方程求解即可．
【解析】解：设黑色棋子有x枚，
∵摸到白色棋子的频率稳定在0.1，
∴，
解得,
经检验是方程的解，
∴黑色棋子有54枚，
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据频率求频数，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【答案】D
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解析】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率是，不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6的概率是，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
9．已知方程（1）与方程（2），其中ac≠0，a≠c．下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是．其中正确的是（    ）．
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①方程（1）有两个相等的实数根，则，对于方程（2）有，则方程（2）也有两个相等的实数根；②利用求根公式分别求出两个方程的解，然后进行判断即可；③把x=1分别代入，，得：，于是得到结论正确；
④把x=2分别代入，得：，等式的两边通除以4得到得：，于是得到结论正确．
【解析】解：①∵方程（1）有两个相等的实数根，
∴，
∴方程（2）的，
∴方程（2）也有两个相等的实数根，故正确；
②当时，
解方程（1），得，
解方程（2），得，
∵a不一定等于c，
∴两个方程均存在实数根时，它们的根不一定相同；故错误；
③∵把x=1代入 ，得：，
把x=1代入，得：，
∴当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1，故正确；
④∵把x=2分别代入，得：，
∴，
∴是方程（2）的一个根，故正确；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
10．如图，在中，，．点是上一点，连接，将沿折叠至．连接，，平分交于点．若，则的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作EF⊥AC，EG⊥AB，通过勾股定理，求出AB，BC，的长度，E是∠BAC，的角平分线，得出AGEF为正方形，利用正方形性质及勾股定理即可求出答案．
【解析】解：作EF⊥AC，EG⊥AB，
由题得∠ABC=90°，，
∴∠BAC，=90°，BC=BC,，
∴AB：BC，=1:2，∠AC，B=30°，∠ABC，=60°，
又∵，
∴
∴
∴AB=,
∵AE是∠BAC，的角平分线
∴EG=EF，
∴四边形AGEF为正方形
设AG=x，∴FA=AG=GE=EF=x
FC,=，C,E=2x
∴

解得x=1或x= （舍去）
∴x=1，即FA=AG=GE=EF=1
AE为正方形AGEF的对角线
∴AE=．
故选：A ．

【点睛】本题主要考查折叠的性质正方形的性质及勾股定理的应用，解题关键在于做出辅助线，得出AGEF为正方形．

二、填空题
11．把一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1化为一般形式是_____．
【答案】
【分析】先把方程左边进行化简，然后再移项即可．
【解析】解：
去括号，得，
移项合并，得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
12．已知，那么的值是______．
【答案】-5
【分析】先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．
【解析】解：∵，
∴






，
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
13．已知代数式x2+2x+t，若对于任意实数x，x2+2x+t的值始终大于0，则t的值可以为 ___.（写出一个即可）
【答案】2
【分析】先把x2+2x+t配方，再根据题意写出一个答案即可．
【解析】解：∵x2+2x+t=（x+1）2-1+t，
∵x2+2x+t的值始终大于0，
∴-1+t＞0即可，
∴t可取2，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查二次三项式的配方，掌握配方的基本方法是解题的关键．
14．关于x的一元二次方程＋4x－4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程＋4x－4＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
15．在一个不透明的布袋中装有100个红、蓝两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则布袋中蓝球可能有______个．
【答案】70
【分析】利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可．
【解析】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：，
解得：x=30，
100-30=70，
即布袋中蓝球可能有70个，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16．用数字1，3，5，7，9组成的五位数中，每个数字只出现一次．将所有这些五位数从小到大排列，则排在第25个的五位数是______．
【答案】31579
【分析】当万位为1，千位为3时，5，7，9一共有6种组合，同理当万位为1，千位是5或7或9时，都有6种组合，即当万位为1时有24种组合，由此可得从小到大第25个五位数为31579．
【解析】解：当万位为1，千位为3时，通过列举法可知5，7，9共有6种组合：579，597，759，795，957，975，
同理，当万位为1，千位是5或7或9时，都有6种组合，
即当万位为1时有24种组合，
由此可得从小到大第25个五位数是31579．
【点睛】本题考查列举法的应用，解题关键是确定万位、千位后再一一列举．
17．已知，且，则___________．
【答案】或
【分析】先对运用平方差公式进行因式分解求出x与y的关系，再将得出的x与y的关系代入要求的式子中进行化简求值即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
当x=2y时，


；
当时，


．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式和求分式的值，解决本题的关键是分解因式求出x与y的关系．
18．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 _____．
【答案】①③
【分析】由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x1＝3，x2＝2，可判断②不正确；根据（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（）2，可判定④不正确．
【解析】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；
④∵x＝（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣5x+6
＝
＝
＝
＝，
当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．

三、解答题
19．解下列方程
(1)（配方法）
(2)（公式法）
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）将方程进行移项配方得，开方计算即可得；
（2）将方程移项得，则，，，进行解答即可得；
（3）将方程进行去括号移项得，再因式分解得，即可得；
（4）将方程进行去括号移项得，再因式分解得，即可得．
（1）
解：
，



，．
（2）
解：

，，


，．
（3）
解：


，．
（4）
解：


，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
20．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）根据因式分解法求解即可；
（2）根据公式法求解即可．
（1）
解：，
∴，
∴或，
∴，；
（2）
解：，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法，灵活选用一元二次方程的解法进行求解是解题的关键．
21．解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)，
(6)
(7)
(8)

【分析】（1）变形后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）整理后利用配方法解方程即可；
（4）变形后利用直接开平方法解方程即可；
（5）利用直接开平方法解方程即可；
（6）利用因式分解法解方程即可；
（7）利用因式分解法解方程即可；
（8）分类讨论，再利用因式分解法解方程即可．
（1）




∴
（2）


x+6=0或x-2=0，
解得：x=-6或x=2，
∴
（3）







∴
（4）




∴
（5）


或
解得：或x=-2
∴，
（6）



x+1=0或x-1=0，
解得：x=1或x=-1
∴
（7）



x-2=0或x-3=0，
解得：x=2或x=3，
∴
（8）

解：当x-1≥0，即x≥1时，方程化为，
即，
解得：；
当x-1＜0，即x＜1时，方程化为，
即（x-1）（x+4）=0，
解得：（舍去），，
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
22．已知关于x的方程．
(1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】(1)a＝1，方程的另一个根为﹣3
(2)见解析

【分析】（1）将x=2代入方程得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，即可得到结论．
（1）
∵x＝2是方程的解
∴把x＝2代入方程得：4+2a-a﹣5＝0
解得a＝1
∵
∴
∴
∴a＝1，方程的另一个根为﹣3．
（2）
∵，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为、，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m＝4或m＝﹣1

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根运用根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求解即可．
（1）
证明：关于x的一元二次方程，
∵≥0，
∴


，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）
由根与系数的关系可得：，
∵，
∴，即，
整理得：，即，
所以m﹣4＝0或m+1＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
24．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．
抽取件数（件）
100
150
200
500
800
1000
合格频数
88
141
176
445
720
900
合格频率
－
0.94
0.88
0.89
0.90
－

(1)填写表中的空格；
(2)估计任意抽一件衬衣是合格品的概率的估计值；
(3)估计1200件衬衣中，次品大约有多少件？
【答案】(1)0.88，0.90
(2)0.9
(3)120件

【分析】（1）根据频数÷总数=频率，分别求出即可；
（2）根据（1）中所求即可得出任取1件衬衣是合格品的概率；
（3）利用总数× （1-合格率）可得结果．
（1）
解：88÷100=0.88，900÷1000=0.90；
填表如下：
抽取件数（件）
100
150
200
500
800
1000
合格频数
88
141
176
445
720
900
合格频率
0.88
0.94
0.88
0.89
0.90
0.90

故答案为：0.88，0.90；
（2）
解：由（1）中所求即可得出：
任意抽一件衬衣是合格品的概率的估计值为0.9；
（3）
解：估计次品的数量为1200×(1－0.9)＝120（件）．
答：次品大约有120件．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
25．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
(1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
(2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【答案】(1)
(2)5

【分析】（1）先利用树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）根据概率公式得到，求解即可．
（1）
解：如图画出树状图，

∵由图可知总共有六种情况，其中都是红球的情况有两种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为
（2）
解：由题意得，
，
解得
所以n的值为5．
【点睛】本题考查的是概率问题，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.
26．为迎接中国共产党成立100周年，让更多人了解红色文化艺术，凝聚和弘扬红色文化，某市举办一百周年红色文旅美术展活动，小唯与小亮都想去观展，但只有一张门票，于是两人想通过摸卡片的方式来决定谁去观展，规则如下：现有两组卡片，第一组卡片上写有A，B，C，第二组卡片上写有A，B，B，C，这两组卡片上除字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽取一张，记下字母后放回，称为摸卡片一次．
(1)若小亮从第二组中摸卡片12次，其中8次摸出的卡片上写有字母B，求这12次摸出的卡片上写有字母B的频率；
(2)小唯从第一组中摸卡片一次，小亮从第二组中摸卡片一次，若摸出的卡片上所写字母均为字母B，则小唯去观展，请用列表或画树状图的方法，求小唯去观展的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据频率=频数÷总数进行求解即可；
（2）画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）
解：，
∴这12次摸出的卡片上写有字母B的频率是；
（2）
解：画树状图如下：

由树状图可知一共有12种等可能的结果数，其中摸出的卡片上所写的字母均为字母B的结果数有2种，
∴小唯去观展的概率为
【点睛】本题主要考查了求频率，树状图或列表法求解概率，熟知频率=频数÷总数以及树状图或列表法求解概率的方法是解题的关键
27．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：

根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加知识竞赛的学生共有 　　人；
(2)扇形统计图中，m＝　　，C等级对应的圆心角为 　　度；
(3)小永是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
【答案】(1)40
(2)10，144
(3)

【分析】（1）根据D等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用A等级的人数除以总人数，求出m的值，再用360°乘以C等级所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小永被选中参加区知识竞赛的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
（1）
参加知识竞赛的学生共有：12÷30%＝40（人）；
故答案为：40；
（2）
m%＝×100%＝10%，即m＝10；
C等级对应的圆心角为：360°×（1﹣20%﹣10%﹣30%）＝144°；
故答案为：10，144；
（3）
小永用A表示，其他3名同学分别用B、C、D表示，
根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中小永被选中参加区知识竞赛的有6种，
则小永被选中参加区知识竞赛的概率是．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法、列表法树状图法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．
28．根据《广州市初中学业水平考试体育与健康考试实施意见》，2021年至2022年广州中考实施方案，广州市体育中考分成：一类考试项目：（1）中长跑：800米（女）、1000米（男）；二类考试项目：跳类：立定跳远、三级蛙跳、一分钟跳绳；投掷类：投掷实心球、推铅球；球类：足球、篮球、排球．某中学毕业班学生1120人，现抽取240名学生对四个项目A中长跑、跳绳、足球、实心球的喜好进行抽样调查调查结果如图．

(1)补全条形图；
(2)依据本次调查的结果，估计全体1120名学生中最喜欢A中长跑的人数；
(3)现从喜欢中长跑的学生中选取两人作为领跑员，符合条件的有甲乙两名男生和丙丁两名女生，从这四人中任选两人，求刚好选中甲和丁的的概率．
【答案】(1)见解析
(2)280人
(3)

【分析】（1）利用总人数×百分比求出A的人数，再用总人数减去A、B、D的人数，得到C的人数，补全条形图即可；
（2）利用全体×喜欢A的百分比进行计算即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
（1）
解：A项目人数为（人，
项目人数为（人，
补全图形如下：

（2）
估计全体1120名学生中最喜欢A中长跑的人数为（人；
（3）
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中刚好选中甲和丁的有2种结果，
刚好选中甲和丁的概率为．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．熟练掌握条形图和扇形图之间的联系和相应的计算公式是解题的关键．
29．学校组秋游，安排给九年级三辆车（用甲、乙、丙表示），小敏与小聪都可以从这三辆车中任选一辆拼车，他们乘车的所有可能的结果可列表（不完整）如下：
小聪选的车
小敏选的车
甲
乙
丙
甲
甲，甲
甲，乙

乙
乙，甲

乙，丙
丙

丙，乙
丙，丙

试将上表内容用完整的树状图表示，并求出小敏、小聪拼车的概率．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】解：填表如下：
小聪选的车
小敏选的车
甲
乙
丙
甲
甲，甲
甲，乙
甲，丙
乙
乙，甲
乙，乙
乙，丙
丙
丙，甲
丙，乙
丙，丙


共有9种等可能的情况数，其中小敏、小聪拼车的有3种，
则小敏、小聪拼车的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
30．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．

(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当为何值时，△PQB为直角三角形．
【答案】(1)5
(2)4
(3)或或．

【分析】（1）由 是等腰直角三角形，可得，即可得出的值；
（2）过点作于点，则，，，代入面积公式即可得出，解方程即可；
（3）根据，，，表示出，，的长，再分或或，分别列出方程．
（1）
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5；
（2）
过点作于点，

平分，
，
，
又，，
，
，
，
（负值舍去），
；
（3）
如图，连接，，，

由题意知，，，，
，
，
，
①若，
则，
，（舍去），
②若，
则，
，
③若，
则，
（舍，
综上所述，的值为：或或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
31．曹老师十分想通过坐标和图形研究二元一次方程组的解．现在想请你和老师一起把这个问题弄清楚：
(1)老师分别在表中列出了几组满足方程的和的值，又在表中列出了几组满足方程的和的值，请你帮忙把两个表格填写完整．
表．









_____
______
____
______
______


表．









_____
_____
_____
____
______


(2)请你以“表”中每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出表格内各点，再顺次连接各点，你能得到什么图形？

(3)同样，请你继续以“表”中每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出表格内各点，再顺次连接各点，你能得到什么图形？
(4)请直接写出方程组的解，并在坐标系中，用点表示这个方程组的解．
(5)按照刚才的方法，曹老师将和两个方程的解也分别用坐标表示了出来，并画出了两条直线（坐标系）已知这两条直线相交于点 ．请你根据图象直接写出方程组的解．并求出的值．

【答案】(1)         ；        
(2)画图象见解析，图象为一条直线
(3)画图象见解析，图象为一条直线
(4)，画图象见解析，点坐标为（1，2）
(5)

【分析】（1）由得，分别将表1中的值带入计算即可完成表1，由得，分别将表2中的值带入计算即可完成表2；
（2）根据表1中的点在直角坐标系中描出来即可得到答案；
（3）根据表2中的点在直角坐标系中描出来即可得到答案；
（4）先解方程组，再在图纸描出该点即可；
（5）两个图形的交点即为方程组的解，再将方程组的解代入即可得到m的值．
（1）
表：由得，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
故答案为：，，，，；
表：由得，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
故答案为：，，，，；
（2）
用描点，连线，做出函数图象，图象为一条直线，如图：

（3）
用描点，连线，做出函数图象，图象为一条直线，如图：

（4）
解方程组得：
，
点坐标为．
如图：

（5）
两条直线的交点坐标即为方程组的解，
即；
把，代入得：，
解得：．
方程组的解为；．
【点睛】本题考查直角坐标系和二元一次方程组，解题的关键是根据熟练掌握二元一次方程组的相关知识．
32．【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
【直接应用】
方程的解是，________，________．
【类比迁移】
解方程：．
【问题解决】
如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．

【答案】（1）4，2；（2）或；（3）或
【分析】（1）首先提出，然后因式分解多项式，求解即可得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设的长为，根据勾股定理 可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【解析】（1），
，
，
∴或或，
故答案为：4，2；
（2），
方程的两边平方，得，
即，
，
或，
当时，，
是原方程的解，
当时，，
是原方程的解，
的解是或；
（3）因为四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
，
两边平方得：，
整理得：，
两边平方并整理得：，
解得：或，
的长为或．
【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根，解决（3）时，根据勾股定理和线段长，列出方程是关键．
33．如图①，矩形的分别在y轴与x轴上，已知点B的坐标为，动点D从点O开始沿射线OA以每秒3个单位的速度运动，动点E从点C始沿射线CO以每秒k个单位的速度运动.点D，E同时出发，设运动时间为t秒．将沿折叠，得到．


（1）若k的值为4，则t为何值时四边形为正方形？
（2）k为何值时四边形为矩形？
（3）如图②，在线段上取一点F，使得，连结，，是否存在一个k值，使得四边形为菱形？若存在，求出k以及此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或12s；（2）当时，或时，四边形为矩形；（3），时，四边形为菱形．
【分析】（1）当时，四边形为正方形，根据，构建方程即可解决问题；
（2）当在直线AB上，点D与点A重合时，四边形为矩形，根据，构建方程即可解决问题；
（3）假设存在．根据菱形的性质，勾股定理构建方程组即可解决问题．
【解析】解：（1）如解图①中，

当时，四边形为正方形，
四边形是矩形，，
，，
，，
，
解得：或，
或12s时，四边形为正方形．
（2）当在直线AB上，点D与点A重合时，四边形为矩形，如解图② ，

∴，，
∴，
∴OD=OE，
∵依题意得：
，解得：，；
当时，或时，四边形为矩形；
（3）假设存在．如解图③中，

四边形为菱形，
，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
，
整理得：，
解得，（舍弃），
∵，
∴，
，   
，时，四边形为菱形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．