【期末满分冲刺】人教版数学八年级上册-专题02《有关三角形全等的综合问题》期末重难点突破

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专题02 有关三角形全等的综合问题



1．在中，，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．
（1）如图（1），若点D在线段BC上，和之间有怎样的数量关系？（不必说明理由）
（2）若，当点D在射线BC上移动时，如图（2），和之间有怎样的数量关系？说明理由．

【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）根据题意证明，根据三角形的内角和即可求解；
（2）设AD与CE交于F点，根据题意证明，根据平角的性质即可求解．
【详解】（1）．理由如下：
，
．
，，
，
，
∴=
∵
∴;
（2）．理由如下：
设AD与CE交于F点．
，．
，，
，．
，．
，，
．

【我思故我在】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．

2．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【详解】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
详解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，
∵BH是△ABE的中线，
∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；
在△ADE和△BGE中，
∵，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴BE=AE=2a，
∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，
S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，
S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
我思故我在：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
3．（1）如图，以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．

【答案】（1）相等；（2）平方米．
【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键；
（2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米．
【详解】解：（1）△ABC与△AEG面积相等．
理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，

∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠GAN=180°，
∴∠BAC=∠GAN，
∴△ACM≌△AGN，
∴CM=GN，
∵S△ABC=AB•CM，S△AEG=AE•GN，
∴S△ABC=S△AEG；
方法2 如下图所示，延长GA到点H，使．连接EH，则．

∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴易证．
∴，
∴．
方法3 如下图所示，作关于直线AD的对称图形，则．

由对称性质，可知，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴·
方法4 如下图所示，作边BC上的高AN，分别过点E、点G作，，垂足分别为P，Q．

∵，
∴．
∵，
∴易证，
∴．
同理，可证，
∴，
∴
又∵，，
∴易证．
∴，，
∴
        
        
        
        ．
∴．
（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．
【我思故我在】本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键．
4．如图（1）在中，∠ACB＝，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

(1)求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE有怎样的关系？并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)DE=AD-BE，证明见解析

【分析】（1）由∠ACB=，得∠ACD+∠BCE=，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．
【详解】（1）证明：①∵∠ACB=，
∴∠ACD+∠BCE=，
又AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=，∠BCE+∠CBE=，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
②由①知△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）解：DE=AD-BE．
理由：∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=，
∴∠ACD+∠BCE=，∠BCE+∠CBE=，
∴∠ACD=∠CBE．
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
【我思故我在】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识，证明△ADC≌△CEB是解题的关键．
5．问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）；
（1）探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：；
（2）证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
（3）应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5.
【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）利用AAS证明即可；
（3）先利用AAS证明△ABE≌△CAF，然后求△ABD的面积即可.
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴∠DBA＋∠BAD=90°，∠BAD＋∠FAC=90°
∴∠DBA=∠FAC
在△ABD和△CAF中，

∴
；
（2）∵，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC
∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC
在△ABE和△CAF中

∴.
；
（3）∵，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC
∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC
在△ABE和△CAF中

∴

∴△ABE的面积＝△CAF的面积
∵
∴
∴
∴.
【我思故我在】此题考查的是全等三角形的判定，掌握用AAS证明两个三角形全等是解决此题的关键.
6．如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．

(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，

∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【我思故我在】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
7．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是__________；
（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请直接写出与的数量关系．

【答案】（1）；（2）成立；理由见解析；（3）
【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接AG，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，

∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，

∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）．
证明：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，

∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【我思故我在】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
8．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）；（2），理由详见解析.
【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案为.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.

∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【我思故我在】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．

(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
(2)求证：CF＝FG＋CE．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出；
（2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论．
（1）
解：在△ABC中，∵∠A＝80°，
∴，
∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
，
，
∠EDC=∠DBC+∠DCB
；
（2）
解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：

平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的一个外角，
，
为的一个外角，
，
平分，
，
，
∠A＝2∠BDF，

在和中，
，
，
，
，
．
【我思故我在】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的做辅助线是解决问题的关键．
10．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点， BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF．

(1)如图①，当AD平分∠BAC时，
① AB与AF相等吗？为什么？
②判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB．
【答案】(1)①，理由见解析；②，理由见解析；
(2)见解析

【分析】（1）①证明，即可推出；
②根据垂直平分可得，进而证明，可得，即可求解．
（2）过点作，交的延长线于点，证明,可得，进而证明，得出，根据同角的余角相等，可得，等量代换可得∠FDC＝∠ADB．
（1）
①，理由如下，
AD平分∠BAC，
，
BF⊥AD，
，
又，
，
；
②，理由如下，
，
，
又，
，
在与中
，
，
，
，
即；
（2）
过点作，交的延长线于点，如图，
，
，，
，
，
又，
，
，
点D为BC的中点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
∠FDC＝∠ADB．

【我思故我在】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．

【答案】（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示

∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，

∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【我思故我在】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．